Сургуулийн геометрийн хичээл нь планиметр ба хатуу геометр гэсэн хоёр том хэсэгт хуваагддаг. Стереометр нь орон зайн дүрс, тэдгээрийн шинж чанарыг судалдаг. Энэ нийтлэлд бид шулуун призм гэж юу болохыг судалж, диагональ урт, эзэлхүүн, гадаргуугийн талбай зэрэг шинж чанаруудыг тодорхойлсон томьёо өгөх болно.
Призм гэж юу вэ?
Сургуулийн хүүхдүүдээс призмийн тодорхойлолтыг нэрлэхийг хүсэхэд тэд энэ дүрс нь хоёр ижил зэрэгцээ олон өнцөгт, талууд нь параллелограммаар холбогдсон гэж хариулдаг. Энэ тодорхойлолт нь олон өнцөгтийн хэлбэр, тэдгээрийн зэрэгцээ хавтгайд харилцан байрлуулах нөхцөлийг ногдуулдаггүй тул аль болох ерөнхий юм. Нэмж дурдахад энэ нь дөрвөлжин, ромб, тэгш өнцөгтийг багтаасан параллелограммуудыг холбодог гэсэн үг юм. Дөрвөн өнцөгт призм гэж юу болохыг доороос харж болно.
Приз нь n + 2-ээс бүрдэх олон талт (олон талт) гэдгийг бид харж байна.талууд, 2 × n орой ба 3 × n ирмэгүүд, энд n нь олон өнцөгтүүдийн аль нэгний талын (орой) тоо юм.
Хоёр өнцөгтийг ихэвчлэн зургийн суурь гэж нэрлэдэг ба бусад нүүр нь призмийн талууд юм.
Шууд призмийн тухай ойлголт
Янз бүрийн төрлийн призмүүд байдаг. Тиймээс тэд тогтмол ба жигд бус дүрсүүдийн тухай, гурвалжин, таван өнцөгт болон бусад призмүүдийн тухай ярьдаг, гүдгэр ба хотгор дүрсүүд байдаг, эцэст нь тэдгээр нь налуу, шулуун байдаг. Сүүлчийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярилцъя.
Зөв призм нь бүх талын дөрвөлжин нь тэгш өнцөгтэй олон талтуудын судлагдсан ангийн ийм дүрс юм. Ийм дөрвөн өнцөгт нь тэгш өнцөгт ба дөрвөлжин гэсэн хоёр төрлийн л байдаг.
Зургийн авч үзсэн хэлбэр нь чухал шинж чанартай: шулуун призмийн өндөр нь хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна. Зургийн бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү байгааг анхаарна уу. Хажуугийн нүүрний хувьд ерөнхий тохиолдолд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш юм. Призм шулуун байхаас гадна зөв байх тохиолдолд тэдгээрийн тэгш байдал боломжтой.
Доорх зурагт таван өнцөгт суурьтай шулуун дүрсийг харуулж байна. Бүх хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байгааг харж болно.
Призмын диагональ ба түүний шугаман параметр
Аливаа призмийн гол шугаман шинж чанар нь түүний өндөр h ба суурийн хажуугийн урт ai, энд i=1, …, n байна. Хэрэв суурь нь ердийн олон өнцөгт бол түүний шинж чанарыг тодорхойлохын тулд нэг талын уртыг мэдэхэд хангалттай. Тэмдэглэгдсэн шугаман параметрүүдийг мэдэх нь бидэнд хоёрдмол утгагүй боломжийг олгодогЗургийн эзэлхүүн эсвэл гадаргуу зэрэг шинж чанарыг тодорхойлно.
Шулуу призмийн диагональууд нь зэргэлдээ биш дурын хоёр оройг холбосон хэрчмүүд юм. Ийм диагональ гурван төрлийн байж болно:
- суурь хавтгайд хэвтэж байх;
- хажуугийн тэгш өнцөгтүүдийн хавтгайд байрладаг;
- ботьд хамаарах тоо.
Суурьтай холбоотой диагональуудын уртыг n-gon-ийн төрлөөс хамааруулан тодорхойлох ёстой.
Хажуугийн тэгш өнцөгтийн диагональуудыг дараах томъёогоор тооцоолно:
d1i=√(ai2+ h2).
Эзэлхүүний диагональуудыг тодорхойлохын тулд та харгалзах суурийн диагональ ба өндрийн уртын утгыг мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв суурийн зарим диагональыг d0i үсгээр тэмдэглэсэн бол эзлэхүүний диагональ d2i-ийг дараах байдлаар тооцоолно:
d2i=√(d0i2+ h2).
Жишээ нь энгийн дөрвөлжин призмийн хувьд эзлэхүүний диагональ урт нь:
байх болно.
d2=√(2 × a2+ h2).
Тэгш гурвалжин призм нь гурван төрлийн диагоналын зөвхөн нэгийг нь агуулна гэдгийг анхаарна уу: хажуугийн диагональ.
Судалсан хэлбэрийн хэлбэрийн гадаргуу
Гадаргын талбай нь дүрсийн бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм. Бүх царайг дүрслэхийн тулд призмийг сканнердах хэрэгтэй. Жишээ болгон таван өнцөгт дүрсийг ийм шүүрдэхийг доор үзүүлэв.
Бид хавтгай дүрсүүдийн тоо n + 2, n нь тэгш өнцөгт болохыг харж байна. Бүх шүүрлийн талбайг тооцоолохын тулд хоёр ижил суурийн талбай болон бүх тэгш өнцөгтийн талбайг нэмнэ. Дараа нь харгалзах томьёо нь дараах байдлаар харагдах болно:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Энэ тэгшитгэл нь судлагдсан төрлийн призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь зургийн өндөр ба суурийн периметрийн үржвэртэй тэнцүү болохыг харуулж байна.
So-ийн суурийн талбайг тохирох геометрийн томъёог ашиглан тооцоолж болно. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт призмийн суурь нь тэгш өнцөгт гурвалжин бол бид дараахийг авна:
So=a1 × a2 / 2.
Энд a1 болон a2 нь гурвалжны хөл юм.
Хэрэв суурь нь тэгш өнцөг ба талуудтай n-gon бол дараах томьёо зөв байх болно:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Эзлэхүүний томьёо
Хэрэв түүний суурийн талбай So болон h өндөр нь мэдэгдэж байгаа бол ямар ч төрлийн призмийн эзэлхүүнийг тодорхойлох нь тийм ч хэцүү ажил биш юм. Эдгээр утгыг хамтад нь үржүүлснээр бид зургийн V эзлэхүүнийг авна, өөрөөр хэлбэл:
V=So × h.
Шулуу призмийн h параметр нь хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү тул эзлэхүүнийг тооцоолох бүх асуудал So талбайг тооцоолоход бууна. Бидний дээраль хэдийн хэдэн үг хэлж, So тодорхойлох хэд хэдэн томьёо өгсөн. Энд бид зөвхөн дурын хэлбэрийн суурьтай бол үүнийг энгийн сегментүүдэд (гурвалжин, тэгш өнцөгт) хувааж, тус бүрийн талбайг тооцоолж, дараа нь S авахын тулд бүх талбайг нэмэх хэрэгтэй гэдгийг анхаарна уу. o.
