Эргэлтийн хөдөлгөөний динамик ба кинематикийн тоон судалгаанд эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад материаллаг цэг болон хатуу биетийн инерцийн моментийг мэдэх шаардлагатай. Бид нийтлэлд ямар параметрийн тухай ярьж байгаагаа авч үзэх бөгөөд үүнийг тодорхойлох томъёог өгөх болно.
Физик хэмжигдэхүүний талаархи ерөнхий мэдээлэл
Эхлээд материаллаг цэг болон хатуу биетийн инерцийн моментийг тодорхойлоод дараа нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд үүнийг хэрхэн ашиглахыг харуулъя.
Тэнхлэгээ тойрон r зайд эргэдэг m масстай цэгийн физик шинж чанарын дагуу дараах утгыг илэрхийлнэ:
I=mr².
Эндээс үзэхэд судлагдсан параметрийн хэмжилтийн нэгж нь квадрат метр тутамд килограмм (кгм²) байна.
Хэрэв тэнхлэгийг тойрсон цэгийн оронд нийлмэл хэлбэртэй бие эргэдэг бөгөөд энэ нь дотроо дурын массын тархалттай байвал түүний инерцийн момент тодорхойлогдоно.тэгэхээр:
I=∫m(r²дм)=ρ∫V(r²dV).
Энд ρ нь биеийн нягт юм. Интеграл томьёог ашиглан та ямар ч эргэлтийн системийн хувьд I-ийн утгыг тодорхойлж болно.
Инерцийн момент нь эргэлтийн хөдөлгөөнд масстай яг ижил утгатай байна. Жишээлбэл, шалны шүүрийг перпендикуляр биш харин түүний бариулаар дамжин өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх нь хамгийн хялбар гэдгийг хүн бүр мэддэг. Энэ нь эхний тохиолдолд инерцийн момент хоёр дахь үеийнхээс хамаагүй бага байгаатай холбоотой.
Би өөр өөр хэлбэртэй биеийг үнэлдэг
Эргүүлэх физикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ тодорхой геометрийн хэлбэртэй биет, тухайлбал цилиндр, бөмбөг, саваа зэрэгт инерцийн моментийг мэдэх шаардлагатай байдаг. Хэрэв бид дээр бичсэн томьёог I-д хэрэглэвэл бүх тэмдэглэгдсэн биетийн харгалзах илэрхийллийг олж авахад хялбар болно. Тэдгээрийн заримынх нь томъёог доор харуулав:
саваа: I=1/12ML²;
цилиндр: I=1/2MR²;
бөмбөрцөг: I=2 / 5MR².
Энд би биеийн массын төвөөр дамжин өнгөрөх эргэлтийн тэнхлэгийг өгсөн болно. Цилиндрийн хувьд тэнхлэг нь зургийн үүсгэгчтэй параллель байна. Бусад геометрийн биетүүдийн инерцийн момент ба эргэлтийн тэнхлэгүүдийн байршлын сонголтыг харгалзах хүснэгтээс олж болно. Өөр өөр дүрсийг тодорхойлохын тулд зөвхөн нэг геометрийн параметр болон биеийн массыг мэдэхэд хангалттай гэдгийг анхаарна уу.
Штайнерын теорем ба томьёо
Эргэлтийн тэнхлэг нь биеэс тодорхой зайд байрласан тохиолдолд инерцийн моментийг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та энэ сегментийн урт ба түүний массын төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн IO утгыг мэдэж байх ёстой бөгөөд энэ нь доорх хэсэгтэй параллель байх ёстой. авч үзэх. IO параметр ба үл мэдэгдэх I утгын хоорондын холболтыг Штайнерын теоремоор тогтооно. Материаллаг цэг ба хатуу биеийн инерцийн моментийг математикийн хувьд дараах байдлаар бичнэ:
I=IO+ Mh2.
Энд M нь биеийн масс, h нь массын төвөөс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зай бөгөөд үүнтэй харьцуулахад I-ийг тооцоолох шаардлагатай. Хэрэв та энэ илэрхийлэлийг өөрөө олоход хялбар болно. I-ийн интеграл томьёог ашиглаж, биеийн бүх цэгүүд r=r0 + h.
зайд байгааг анхаарна уу.
Штайнерын теорем нь олон практик нөхцөл байдлын хувьд I-ийн тодорхойлолтыг ихээхэн хялбарчилж өгдөг. Жишээлбэл, хэрэв та L урттай, M масстай саваа төгсгөлийг нь дайран өнгөрч буй тэнхлэгийн хувьд I олох шаардлагатай бол Штайнерын теоремыг ашигласнаар та дараахийг бичих боломжтой:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Та харгалзах хүснэгтээс харвал төгсгөлд нь эргүүлэх тэнхлэгтэй нимгэн бариулын хувьд яг ийм томьёо агуулж байгааг харж болно.
Моментийн тэгшитгэл
Эргэлтийн физикт моментуудын тэгшитгэл гэж томьёо байдаг. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:
M=Биα.
Энд M нь хүчний момент, α нь өнцгийн хурдатгал юм. Таны харж байгаагаар материаллаг цэг ба хатуу биетийн инерцийн момент ба хүчний момент нь хоорондоо шугаман хамааралтай байдаг. M утга нь системд α хурдатгалтай эргэлтийн хөдөлгөөнийг бий болгох F хүчний зарим боломжийг тодорхойлдог. M-ийг тооцоолохын тулд дараах энгийн илэрхийллийг ашиглана:
M=Fd.
Энд d нь моментийн мөр бөгөөд F хүчний вектороос эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна. Гар d нь жижиг байх тусмаа хүчний системийн эргэлтийг бий болгох чадвар бага байх болно.
Моментийн тэгшитгэл утгаараа Ньютоны 2-р хуультай бүрэн нийцэж байна. Энэ тохиолдолд би инерцийн массын үүргийг гүйцэтгэдэг.
Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Жингүй хэвтээ саваагаар босоо тэнхлэгт бэхлэгдсэн цилиндр хэлбэртэй системийг төсөөлье. Цилиндрийн эргэлтийн тэнхлэг ба гол тэнхлэг нь хоорондоо параллель байх ба тэдгээрийн хоорондох зай нь 30 см. Цилиндрийн масс 1кг, радиус нь 5 см.10-ийн хүч Цилиндрийн гол тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх вектор нь зураг дээр эргэлтийн траекторийн шүргэгч N үйлчилдэг. Энэ хүчний нөлөөгөөр дүрсийн өнцгийн хурдатгалыг тодорхойлох шаардлагатай.
Эхлээд I цилиндрийн инерцийн моментыг тооцоод үзье. Үүнийг хийхийн тулд Штайнер теоремыг ашигла, бидэнд:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210.05² + 10, 3²=0.09125 кгм².
Моментийн тэгшитгэлийг ашиглахын өмнө хийх хэрэгтэйхүчний моментийг тодорхойлох M. Энэ тохиолдолд бид:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Одоо та хурдатгалыг тодорхойлох боломжтой:
α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 рад/с².
Тооцоолсон өнцгийн хурдатгал нь секунд тутамд цилиндрийн хурд секундэд 5.2 эргэлтээр нэмэгдэхийг харуулж байна.
