"Фермагийн теорем-богино нотолгоо" гэсэн хүсэлтийн түгээмэл байдлаас харахад энэ математикийн асуудал үнэхээр олон хүний сонирхлыг татдаг. Энэ теоремыг анх Пьер де Ферма 1637 онд Арифметикийн хуулбарын ирмэг дээр хэлсэн бөгөөд тэрээр ирмэг дээр нь багтахааргүй том шийдэлтэй гэж мэдэгджээ.
Анхны амжилттай нотолгоог 1995 онд хэвлүүлсэн нь Фермагийн теоремыг Эндрю Уайлсын бүрэн нотолгоо юм. Үүнийг "гайхалтай ахиц дэвшил" гэж тодорхойлсон бөгөөд 2016 онд Уайлс Абелийн шагналыг авахад хүргэсэн. Харьцангуй товч тайлбарласан ч Фермагийн теоремын нотолгоо нь модулийн теоремын ихэнх хэсгийг нотолсон бөгөөд бусад олон асуудалд шинэ хандлагууд болон модулийг өргөх үр дүнтэй аргуудыг нээж өгсөн. Эдгээр ололт нь математикийг 100 жилийн дараа ахиулсан. Өнөөдөр Фермагийн жижиг теоремын баталгаа нь тийм биш юмЭнэ бол ер бусын зүйл.
Шийдвэрлэгдээгүй асуудал нь 19-р зуунд алгебрийн тооны онолыг хөгжүүлэхэд түлхэц өгч, 20-р зуунд модульчлэлийн теоремын нотолгоог хайхад түлхэц өгсөн. Энэ бол математикийн түүхэн дэх хамгийн онцлох теоремуудын нэг бөгөөд Фермагийн сүүлчийн теоремыг хуваах бүрэн нотолгоо хүртэл Гиннесийн амжилтын номонд "хамгийн хэцүү математикийн бодлого" гэж бичигдэж байсан бөгөөд үүний нэг онцлог нь энэ нь хамгийн олон амжилтгүй нотолгоог агуулсан.
Түүхэн мэдээлэл
Пифагорын тэгшитгэл x2 + y2=z2 хязгааргүй тооны эерэг утгатай байна x, y, z-ийн бүхэл тоон шийдлүүд. Эдгээр шийдлүүдийг Пифагорын гурвал гэж нэрлэдэг. Ойролцоогоор 1637 онд Ферма номын ирмэг дээр a + b =c -д ямар ч ерөнхий тэгшитгэл байхгүй гэж бичжээ. Хэрэв n нь 2-оос их бүхэл тоо бол натурал тоон дахь шийдлүүд. Хэдийгээр Ферма өөрөө асуудлынхаа шийдэлтэй гэж мэдэгдсэн ч түүний баталгааны талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл үлдээгээгүй. Фермагийн теоремын анхан шатны нотолгоо нь түүнийг бүтээгчээс авсан нь түүний бардам шинэ бүтээл байв. Францын агуу математикчийн номыг нас барснаас хойш 30 жилийн дараа нээсэн. Фермагийн сүүлчийн теорем гэж нэрлэгддэг энэхүү тэгшитгэл нь гурван зуун хагасын турш математикт шийдэгдээгүй хэвээр байв.
Теорем нь эцэстээ математикийн хамгийн алдартай шийдэгдээгүй асуудлын нэг болсон. Үүнийг нотлох оролдлого нь тоон онолын томоохон хөгжилд хүргэвТэр үед Фермагийн сүүлчийн теорем нь математикт шийдэгдээгүй асуудал гэж нэрлэгдэх болсон.
Нотлох баримтын товч түүх
Хэрэв Ферма өөрөө нотолсон шиг n=4 бол анхны тоо болох n индексүүдийн теоремыг батлахад хангалттай. Дараагийн хоёр зуунд (1637-1839) энэ таамаглал нь зөвхөн 3, 5, 7-р анхны тоонуудад нотлогдсон боловч Софи Жермен анхны тоон ангиудад хамаарах аргыг шинэчилж, нотолсон. 19-р зууны дундуур Эрнст Куммер үүнийг өргөтгөж, бүх энгийн анхны тоонуудын теоремыг баталж, жигд бус анхны тоонуудыг тус тусад нь шинжилсэн. Куммерын ажил дээр үндэслэн компьютерийн нарийн судалгааг ашиглан бусад математикчид теоремын шийдлийг бүх үндсэн илтгэгчийг дөрвөн сая хүртэл хамрах зорилготойгоор өргөтгөж чадсан боловч бүх илтгэгчийн нотолгоо олдохгүй хэвээр байв (математикчид Теоремын шийдлийг ихэвчлэн боломжгүй, туйлын хэцүү эсвэл одоогийн мэдлэгээр боломжгүй гэж үздэг).
Шимура, Танияма хоёрын бүтээл
1955 онд Японы математикч Горо Шимура, Ютака Танияма нар математикийн тэс өөр хоёр салбар болох эллипс муруй ба модуль хэлбэрийн хооронд холбоо бий гэж сэжиглэж байжээ. Тухайн үед Танияма-Шимура-Вэйлийн таамаглал, (эцсийн эцэст) модульчлэлийн теорем гэж нэрлэгддэг байсан, энэ нь Фермагийн сүүлчийн теоремтой ямар ч холбоогүй, дангаараа оршин тогтнож байсан. Энэ нь өөрөө математикийн чухал теорем гэж өргөн тархсан боловч (Фермагийн теорем шиг) үүнийг батлах боломжгүй гэж үздэг байв. Тэр үедҮүний зэрэгцээ Фермагийн сүүлчийн теоремийн нотолгоог (математикийн нарийн төвөгтэй томьёог хувааж, хэрэглэх замаар) зөвхөн хагас зуун жилийн дараа хийсэн.
1984 онд Герхард Фрей өмнө нь огт хамааралгүй, шийдэгдээгүй байсан эдгээр хоёр асуудлын хооронд илэрхий холбоо байгааг анзаарчээ. Энэ хоёр теорем хоорондоо нягт уялдаатай болохыг бүрэн нотлох баримтыг 1986 онд Кен Рибет нийтэлсэн бөгөөд Жан-Пьер Серрагийн хэсэгчилсэн нотолгоонд тулгуурлан "эпсилоны таамаглал" гэгддэг нэг хэсгээс бусад бүх зүйлийг нотолсон. Энгийнээр хэлбэл, Фрей, Серра, Рибе нарын эдгээр бүтээлүүд хэрвээ модуляр байдлын теоремыг ядаж хагас тогтворжсон зууван муруйн ангид нотолж чадвал Фермагийн сүүлчийн теоремын баталгаа эрт орой хэзээ нэгэн цагт нээгдэх болно гэдгийг харуулсан. Фермагийн сүүлчийн теоремтой зөрчилдөж болох аливаа шийдлийг модулийн теоремтой зөрчилдөхөд ашиглаж болно. Иймд хэрэв модульчлэлийн теорем үнэн болсон бол тодорхойлолтоор Фермагийн сүүлчийн теоремтой зөрчилдсөн шийдэл байж болохгүй, энэ нь удахгүй батлагдах ёстой байсан гэсэн үг.
Хэдийгээр энэ хоёр теорем нь математикийн хэцүү, шийдэгдэхгүй гэж үздэг байсан ч хоёр япон хүний хийсэн ажил нь Фермагийн сүүлчийн теоремыг хэрхэн өргөтгөж, заримыг нь биш бүх тоогоор баталж болох тухай анхны санал болгосон юм. Судалгааны сэдвийг сонгосон судлаачдын хувьд хамгийн чухал зүйл бол Фермагийн сүүлчийн теоремоос ялгаатай нь модуляр байдлын теорем нь судалгааны гол идэвхтэй талбар байсан явдал байв. Зөвхөн түүхэн хачирхалтай зүйл биш харин нотлох баримтыг боловсруулсан тул түүний ажилд зарцуулсан цагийг мэргэжлийн үүднээс зөвтгөж болно. Гэсэн хэдий ч Таниама-Шимура таамаглалыг шийдвэрлэх нь тохиромжгүй гэдэгтэй ерөнхий санал нэгдсэн.
Фермийн сүүлчийн теорем: Вилсын нотолгоо
Багаасаа Фермагийн сүүлчийн теоремыг сонирхож, эллипс муруй болон зэргэлдээх домэйн дээр ажиллаж байсан туршлагатай Английн математикч Эндрю Уайлс Рибет Фрейгийн онолыг үнэн зөвөөр нотолсон гэдгийг мэдээд Танияма-Шимурагийн үзэл баримтлалыг нотлохоор шийджээ. Таамаглал нь Фермагийн сүүлчийн теоремыг батлах арга зам юм. 1993 онд зорилгоо зарласнаас хойш 6 жилийн дараа Уайлс теоремыг шийдэх асуудал дээр нууцаар ажиллаж байхдаа холбогдох таамаглалыг баталж чадсан бөгөөд энэ нь эргээд Фермагийн сүүлчийн теоремыг батлахад тусалсан юм. Wiles-ийн баримт бичиг хэмжээ, хамрах хүрээний хувьд асар том байсан.
Түүний анхны нийтлэлийн нэг хэсэгт алдаа гарсан бөгөөд энэ теоремыг хамтран шийдвэрлэхийн тулд Ричард Тейлортой дахин нэг жил хамтран ажиллах шаардлагатай болсон. Үүний үр дүнд Фермагийн сүүлчийн теоремийн Wiles-ийн эцсийн нотолгоо удахгүй гараагүй. 1995 онд энэ нь Вилзийн өмнөх математикийн бүтээлээс хамаагүй бага хэмжээгээр хэвлэгдсэн нь теоремыг батлах боломжийн талаар өмнөх дүгнэлтдээ алдаагүйг харуулсан юм. Wiles-ийн амжилтыг алдартай хэвлэлд өргөнөөр сурталчилж, ном, телевизийн нэвтрүүлэгт сурталчлав. Одоо батлагдсан Танияма-Шимура-Вейлийн таамаглалын үлдсэн хэсгүүдМодульчлэлийн теорем гэгддэг бөгөөд үүнийг 1996-2001 оны хооронд Уайлсын бүтээл дээр үндэслэсэн бусад математикчид нотолсон. Уайлс амжилтынхаа төлөө 2016 оны Абелийн шагнал зэрэг олон шагналыг хүртэж, шагнуулжээ.
Уайлс Фермагийн сүүлчийн теоремын нотолгоо нь эллипсийн муруйнуудын модульчлэлийн теоремыг шийдвэрлэх онцгой тохиолдол юм. Гэсэн хэдий ч энэ бол ийм том хэмжээний математикийн үйлдлийн хамгийн алдартай тохиолдол юм. Английн математикч Рибегийн теоремыг шийдэхийн зэрэгцээ Фермагийн сүүлчийн теоремийн нотолгоог олж авчээ. Фермагийн сүүлчийн теорем ба модуляр байдлын теоремыг орчин үеийн математикчид бараг бүх нийтээр нотлох боломжгүй гэж үздэг байсан ч Эндрю Уайлс шинжээчид хүртэл буруу байж болохыг шинжлэх ухааны ертөнцөд баталж чадсан.
Уайлс 1993 оны 6-р сарын 23-ны Лхагва гарагт Кембрижийн "Модуль хэлбэр, эллипс муруй ба Галуагийн дүрслэл" нэртэй лекц дээр нээлтээ зарлав. Гэвч 1993 оны есдүгээр сард түүний тооцоололд алдаа гарсан нь тогтоогджээ. Жилийн дараа буюу 1994 оны 9-р сарын 19-нд "Ажил амьдралынхаа хамгийн чухал мөч" гэж нэрлэх үеэрээ Уайлс уг асуудлын шийдлийг математикийн сэтгэлгээг хангахуйц хэмжээнд хүртэл засах боломжийг олгосон нэгэн илчлэлтэнд бүдэрсэн юм. нийгэмлэг.
Ажлын тайлбар
Фермагийн теоремын нотолгоо Эндрю Уайлс нь алгебрийн геометр болон тооны онолын олон аргыг ашигладаг бөгөөд эдгээрт олон салаалсан байдаг.математикийн салбарууд. Тэрээр мөн орчин үеийн алгебрийн геометрийн стандарт бүтэц, тухайлбал схемийн ангилал, Ивасавагийн онол, мөн Пьер де Ферматад байгаагүй 20-р зууны бусад аргуудыг ашигладаг.
Нотлох баримт агуулсан хоёр нийтлэл нь 129 хуудас бөгөөд долоон жилийн хугацаанд бичигдсэн. Жон Коутс энэхүү нээлтийг тооны онолын хамгийн том ололтуудын нэг гэж тодорхойлсон бол Жон Конвей үүнийг 20-р зууны математикийн томоохон ололт гэж нэрлэжээ. Уайлс хагас тогтвортой эллипсийн муруйн тусгай тохиолдлын модуляр байдлын теоремыг нотлох замаар Фермагийн сүүлчийн теоремыг батлахын тулд модулийг өргөх хүчирхэг аргуудыг боловсруулж, бусад олон асуудалд шинэ хандлагуудыг нээсэн. Фермагийн сүүлчийн теоремыг шийдсэнийхээ төлөө тэрээр баатар цол хүртэж, бусад шагнал хүртжээ. Уайлс Абелийн шагнал хүртсэн нь мэдэгдэхэд Норвегийн Шинжлэх Ухааны Академи түүний амжилтыг "Фермагийн сүүлчийн теоремын гайхалтай бөгөөд энгийн нотолгоо" гэж тодорхойлсон.
Яаж байсан
Уайлсын эх гар бичмэлийг теоремын шийдлээр хянаж үзсэн хүмүүсийн нэг бол Ник Катц юм. Хяналтын явцад тэрээр британиас хэд хэдэн тодруулах асуулт асуусан нь Уайлсыг ажил нь тодорхой цоорхойтой гэдгийг хүлээн зөвшөөрөхөд хүргэсэн. Нотлох баримтын нэг чухал хэсэгт тодорхой бүлгийн дарааллыг тооцоолсон алдаа гарсан: Колывагин ба Флачийн аргыг өргөтгөхөд ашигласан Эйлерийн систем бүрэн бус байсан. Гэсэн хэдий ч алдаа нь түүний ажлыг дэмий хоосон болгосонгүй - Уайлсын бүтээл бүр нь маш чухал бөгөөд шинэлэг байсан.түүний ажлын явцад бий болгосон, гар бичмэлийн зөвхөн нэг хэсэгт нөлөөлсөн хөгжил, аргууд. Гэвч 1993 онд хэвлэгдсэн энэхүү анхны бүтээлд Фермагийн сүүлчийн теоремыг нотлох баримт үнэндээ байгаагүй.
Уайлс эхлээд дангаараа, дараа нь хуучин шавь Ричард Тейлортой хамтран теоремын шийдлийг дахин олох гэж бараг бүтэн жилийг зарцуулсан боловч бүх зүйл дэмий хоосон юм шиг санагдав. 1993 оны эцэс гэхэд Wiles-ийн нотолгоо туршилтанд бүтэлгүйтсэн гэсэн цуу яриа тархсан боловч энэ нь хэр ноцтой байсан нь тодорхойгүй байв. Математикчид Уайлсаас түүний ажлын нарийн ширийн зүйлийг хийсэн эсэхээс үл хамааран илчлэхийн тулд шахалт үзүүлж эхэлсэн бөгөөд ингэснээр математикчдийн өргөн хүрээний хүрээнийхэн түүний хүрч чадсан бүх зүйлийг судалж, ашиглах боломжтой болсон. Уайлс алдаагаа хурдан засахын оронд Фермагийн сүүлчийн теоремийн нотолгоонд нэмэлт хэцүү талуудыг л олж мэдсэн бөгөөд эцэст нь энэ нь ямар хэцүү байсныг ойлгосон.
Уайлс 1994 оны 9-р сарын 19-ний өглөө тэрээр бууж өгөх, бууж өгөхийн даваан дээр байсан бөгөөд бүтэлгүйтэх гэж бараг л огцрох шахсан гэж мэдэгджээ. Тэрээр дуусаагүй бүтээлээ хэвлэн нийтлэхэд бэлэн байсан тул бусад хүмүүс түүн дээр тулгуурлан, түүний алдаа дутагдлыг олж мэдэх болно. Английн математикч өөртөө сүүлчийн удаа боломж олгохоор шийдэж, Колывагин-Флакын арга барил ажиллахгүй болсныг гэнэт мэдмэгцээ түүний арга бүтэлгүйтсэн гол шалтгааныг ойлгохыг оролдохын тулд сүүлчийн удаа теоремд дүн шинжилгээ хийжээ.мөн Ивасавагийн онолыг нотлох үйл явцад оруулснаар ажил хэрэг болно.
10-р сарын 6-нд Уайлс гурван хамтрагчдаа (Фалтинсыг оролцуулан) шинэ бүтээлээ дүгнэхийг хүссэн бөгөөд 1994 оны 10-р сарын 24-нд "Модуляр эллипсийн муруй ба Фермагийн сүүлчийн теорем" болон "Олголтын онолын шинж чанарууд" гэсэн хоёр гар бичмэлээ ирүүлсэн. Зарим Хекке алгебрын цагираг", хоёр дахь нь Уайлс Тейлортой хамтран бичсэн бөгөөд үндсэн нийтлэл дэх залруулсан алхмыг зөвтгөх тодорхой нөхцөл хангагдсан болохыг нотолсон.
Эдгээр хоёр баримт бичгийг хянаж үзээд эцэст нь 1995 оны 5-р сард Математикийн Анналс сэтгүүлд бүрэн эхээр нь хэвлүүлсэн. Эндрюгийн шинэ тооцоог өргөнөөр шинжилж, эцэст нь шинжлэх ухааны нийгэмлэг хүлээн зөвшөөрөв. Эдгээр баримт бичигт хагас тогтворгүй зууван муруйнуудын модуляр байдлын теоремыг тогтоосон бөгөөд энэ нь Фермагийн сүүлчийн теоремыг үүсгэснээс хойш 358 жилийн дараа нотлох сүүлчийн алхам юм.
Их асуудлын түүх
Энэ теоремыг шийдвэрлэх нь олон зууны турш математикийн хамгийн том асуудал гэж тооцогддог. 1816, 1850 онд Францын Шинжлэх Ухааны Академи Фермагийн сүүлчийн теоремыг ерөнхийд нь нотолсон шагналыг санал болгов. 1857 онд Академи Куммерийг хамгийн тохиромжтой тоонуудын судалгаанд зориулж 3000 франк, алтан медалиар шагнасан боловч тэрээр шагнал авах хүсэлт гаргаагүй байна. 1883 онд Брюсселийн академи түүнд өөр нэг шагнал санал болгосон.
Волфскелл шагнал
1908 онд Германы аж үйлдвэрч, сонирхогч математикч Пол Вольфскель 100,000 алтны тэмдэгтийг гэрээслэн үлдээжээ (тухайн үеийн их хэмжээний мөнгө)Гёттингений Шинжлэх Ухааны Академи, ингэснээр энэ мөнгө Фермагийн сүүлчийн теоремыг бүрэн нотлох шагнал болно. 1908 оны 6-р сарын 27-нд Академи шагнал гардуулах есөн дүрмийг нийтэлжээ. Бусад зүйлсийн дотор эдгээр дүрмүүд нотлох баримтыг хянан шалгасан сэтгүүлд нийтлэх шаардлагатай байв. Шагналыг хэвлэгдсэнээс хойш хоёр жилийн дараа олгох ёстой байв. Тэмцээн эхэлснээс хойш зуун жилийн дараа буюу 2007 оны 9-р сарын 13-нд дуусах ёстой байв. 1997 оны 6-р сарын 27-нд Уайлс Вольфшелийн мөнгөн шагнал, дараа нь дахин 50,000 доллар авчээ. 2016 оны 3-р сард тэрээр Норвегийн засгийн газраас Абелийн шагналын нэг хэсэг болгон 600,000 еврогийн шагналыг "Хагас тогтвортой эллипсийн муруйн модуляр байдлын таамаглалын тусламжтайгаар Фермагийн сүүлчийн теоремыг гайхалтай нотолж, тооны онолд шинэ эрин үеийг нээсэн"-ийн төлөө хүлээн авсан. Энэ бол даруухан англи хүний дэлхийн ялалт байлаа.
Уайлс нотлохоос өмнө Фермагийн теоремыг түрүүн дурдсанчлан олон зууны турш туйлын шийдэгдэх боломжгүй гэж үздэг байсан. Янз бүрийн үед олон мянган буруу нотлох баримтыг Вольфскелл хороонд танилцуулсан бөгөөд ойролцоогоор 10 фут (3 метр) захидал харилцаатай байв. Шагнал бий болсон эхний жилд (1907-1908) теоремыг шийдвэрлэхийг хүссэн 621 өргөдөл ирүүлсэн боловч 1970-аад он гэхэд тэдний тоо сард 3-4 өргөдөл болж буурчээ. Вольфшелийн тоймч Ф. Шлихтингийн хэлснээр ихэнх нотлох баримтууд нь сургуульд заадаг анхан шатны арга зүйд үндэслэсэн бөгөөд ихэвчлэн "техникийн мэдлэгтэй ч амжилтгүй ажил мэргэжилтэй хүмүүс" гэж танилцуулсан байна. Математикийн түүхч Ховард Авесийн хэлснээр сүүлчийнхФермагийн теорем нэгэн төрлийн дээд амжилт тогтоосон - энэ бол хамгийн олон тооны буруу нотолгоотой теорем юм.
Фермийн амжилт Япончуудад очсон
Өмнө нь дурьдсанчлан 1955 онд Японы математикч Горо Шимура, Ютака Танияма нар математикийн огт өөр салбар болох эллипс муруй ба модуль хэлбэрүүдийн хоорондын холбоог олж илрүүлсэн. Үүний үр дүнд үүссэн модуляр байдлын теорем (тухайн үед Таняма-Шимура таамаглал гэж нэрлэдэг байсан) эллипсийн муруй бүр модульчлагдсан бөгөөд энэ нь өвөрмөц модуль хэлбэртэй холбоотой байж болно гэсэн үг юм.
Энэ онолыг эхэндээ магадлал багатай эсвэл маш их таамаг дэвшүүлсэн гэж үгүйсгэж байсан ч тооны онолч Андре Вейл Японы дүгнэлтийг батлах нотлох баримт олсноор илүү нухацтай авч үзсэн. Үүний үр дүнд энэ таамаглалыг ихэвчлэн Танияма-Шимура-Вэйлийн таамаглал гэж нэрлэдэг. Тэрээр Лангландсийн хөтөлбөрийн нэг хэсэг болсон бөгөөд энэ нь ирээдүйд нотлох шаардлагатай чухал таамаглалуудын жагсаалт юм.
Нутгатай шалгасны дараа ч гэсэн таамаглалыг орчин үеийн математикчид туйлын хэцүү, эсвэл нотлох боломжгүй гэж хүлээн зөвшөөрсөн. Одоо энэ тодорхой теорем өөрийн шийдлээр дэлхийг гайхшруулж чадах Эндрю Уайлсаа хүлээж байна.
Фермагийн теорем: Перелманы нотолгоо
Хэдийгээр алдартай домог байсан ч Оросын математикч Григорий Перелман өөрийн бүх суут ухаантай ч Фермагийн теоремтой ямар ч холбоогүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь ямар ч байдлаар үүнийг үгүйсгэхгүй.шинжлэх ухааны нийгэмлэгт оруулсан олон хувь нэмэр.
