Тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжин. ABCD дөрвөлжин нь тойрог дотор бичигдсэн байна

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Математикийг алгебр, геометр гэж хувааснаар сургалтын хэрэглэгдэхүүн улам хэцүү болж байна. Шинэ тоо, тэдгээрийн онцгой тохиолдлууд гарч ирнэ. Материалыг сайн ойлгохын тулд объектын ойлголт, шинж чанар, холбогдох теоремуудыг судлах шаардлагатай.

Ерөнхий ойлголт

Дөрвөн өнцөгт гэдэг нь геометрийн дүрс гэсэн үг. Энэ нь 4 цэгээс бүрдэнэ. Түүнээс гадна тэдгээрийн 3 нь нэг шулуун дээр байрладаггүй. Заасан цэгүүдийг цуваа холбосон сегментүүд байна.

Сургуулийн геометрийн хичээл дээр судлагдсан бүх дөрвөн өнцөгтийг дараах диаграммд үзүүлэв. Дүгнэлт: танилцуулсан зураг дээрх аливаа объект өмнөх зургийн шинж чанартай байна.

Дөрвөн өнцөгт нь дараах төрлийн байж болно:

• Параллелограмм. Үүний эсрэг талуудын параллелизм нь харгалзах теоремуудаар нотлогддог.
• Трапец. Зэрэгцээ суурьтай дөрвөн өнцөгт. Нөгөө хоёр нам нь тийм биш.
• Тэгш өнцөгт. Бүх 4 булантай зураг=90º.
• Ромб. Бүх тал нь тэнцүү зураг.
• Дөрвөлжин. Сүүлийн хоёр зургийн шинж чанарыг хослуулсан. Түүний бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь зөв.

Энэ сэдвийн гол тодорхойлолт нь тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжин дүрс юм. Энэ нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ. Энэ бол тойргийг дүрсэлсэн дүрс юм. Энэ нь бүх оройг дамжин өнгөрөх ёстой. Тойрог дотор сийлсэн дөрвөн өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр 360º болно.

Дөрвөн өнцөгт бүрийг бичиж болохгүй. Энэ нь 4 талын перпендикуляр биссектриса нь нэг цэгт огтлолцохгүй байж болохтой холбоотой юм. Энэ нь 4 өнцөгтийг тойрсон тойргийн төвийг олох боломжгүй болгоно.

Онцгой тохиолдол

Дүрэм болгонд үл хамаарах зүйл бий. Тиймээс, энэ сэдэвт бас онцгой тохиолдлууд байна:

• Параллелограммыг тойрог дотор бичих боломжгүй. Зөвхөн түүний онцгой тохиолдол. Энэ бол тэгш өнцөгт.
• Хэрэв ромбын бүх оройнууд тойрсон шугаман дээр байвал дөрвөлжин байна.
• Трапецын бүх оройнууд тойргийн хил дээр байна. Энэ тохиолдолд тэд тэгш өнцөгт дүрсийг ярьдаг.

Тойрог доторх бичээстэй дөрвөлжингийн шинж чанарууд

Өгөгдсөн сэдвээр энгийн бөгөөд төвөгтэй бодлого шийдвэрлэхийн өмнө мэдлэгээ шалгах хэрэгтэй. Сургалтын материалыг судлахгүйгээр нэг жишээг шийдэх боломжгүй.

Теорем 1

Тойрог дотор сийлсэн дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр 180º байна.

Баталгаа

Өгөгдсөн: дөрвөлжин ABCD нь тойрог дотор бичигдсэн байна. Үүний төв нь О цэг. Бид _<A + _<C=180º ба _< гэдгийг батлах хэрэгтэй. B + _<D=180º.

Танилцуулсан тоонуудыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

1. _{<A нь О цэг дээр төвлөрсөн тойрог дотор бичигдсэн байна. Үүнийг ½ BCD (хагас нум)-аар хэмжинэ.}
2. _{<C нэг тойрогт бичигдсэн байна. Үүнийг ½ BAD (хагас нуман)-аар хэмждэг.}
3. BAD болон BCD нь бүхэл тойрог үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн магнитуд нь 360º.
4. _<A + _{<C нь харуулсан хагас нумын нийлбэрийн талтай тэнцүү байна.}
5. Тиймээс _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Үүнтэй адил нотолгоо нь _<B болон _{<D. Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдэх хоёр дахь шийдэл бий.}

1. Дөрвөн өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 360º гэдэг нь мэдэгдэж байна.
2. Учир нь _<A + _<C=180º. Үүний дагуу _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Теорем 2

(Үүнийг ихэвчлэн урвуу гэж нэрлэдэг) Дөрвөн өнцөгт байвал _<A + _<C=180º ба _{<B +} <_{D=180º (хэрэв тэдгээр нь эсрэгээрээ байвал) ийм дүрсийг тойруулан тойрог дүрсэлж болно.}

Баталгаа

ABCD дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр 180º-тай тэнцүү байна. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Бид ABCD-ийн эргэн тойронд тойрог тойрч болохыг батлах хэрэгтэй.}

Геометрийн хичээлээс дөрвөн өнцөгтийн 3 цэгээр тойрог зурж болохыг мэддэг. Жишээлбэл, та A, B, C цэгүүдийг ашиглаж болно. D цэг хаана байрлах вэ? 3 таамаг байна:

1. Тэр тойрог дотор дууслаа. Энэ тохиолдолд D шугамд хүрэхгүй.
2. Тойрогоос гадуур. Тэр тодорхойлсон шугамаас хол давсан.
3. Энэ нь тойрог дээр харагдаж байна.

Д нь тойрог дотор байна гэж үзэх хэрэгтэй. Заасан оройн газрыг D´ эзэлж байна. Энэ нь дөрвөн өнцөгт ABCD´ болж хувирав.

Үр дүн:_<B + _{<D´=2 өдөр.}

Хэрэв бид AD´-ыг Е цэг дээр төвтэй байгаа тойрогтой огтлолцол хүртэл үргэлжлүүлж, E ба C-г холбовол бид бичээстэй ABCE дөрвөлжин хэлбэртэй болно. Эхний теоремоос тэгшитгэл гарч ирнэ.

Геометрийн хуулиудын дагуу _<D´ нь CD´E гурвалжны гадна талын булан учраас илэрхийлэл буруу байна. Үүний дагуу энэ нь _{<E-ээс их байх ёстой. Эндээс бид D нь тойрог дээр эсвэл гадна талд байх ёстой гэж дүгнэж болно.}

Үүний нэгэн адил, D´´ нь тодорхойлсон зургийн хил хязгаараас хэтэрсэн тохиолдолд гурав дахь таамаглал буруу болох нь нотлогдож болно.

Хоёр таамаглалаас цорын ганц зөв таамаглал гарч байна. D орой нь тойргийн шугам дээр байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, D нь E-тэй давхцаж байна. Үүнээс үзэхэд дөрвөн өнцөгтийн бүх цэгүүд дүрслэгдсэн шулуун дээр байрлана.

Эдгээрээсхоёр теорем, үр дагавар нь дараах болно:

Ямар ч тэгш өнцөгтийг тойрог дотор бичиж болно. Өөр нэг үр дагавар бий. Дурын тэгш өнцөгтийг тойруулж болно

Ижил ташаа бүхий трапецийг тойрог хэлбэрээр бичиж болно. Өөрөөр хэлбэл, ийм сонсогдож байна: ижил ирмэг бүхий трапецын эргэн тойронд тойрог дүрсэлж болно

Хэд хэдэн жишээ

Бодлого 1. ABCD дөрвөлжин тойрог дотор бичээстэй байна. _<ABC=105º, _<CAD=35º. _{<ABD-г олох хэрэгтэй. Хариултыг градусаар бичих ёстой.}

Шийдвэр. Эхлээд хариулт олоход хэцүү мэт санагдаж магадгүй.

1. Та энэ сэдвийн шинж чанаруудыг санаж байх хэрэгтэй. Тухайлбал: эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Геометрийн хувьд чадах бүхнээ олох гэсэн зарчмыг баримтлах нь дээр. Дараа нь хэрэг болно.

2. Дараагийн алхам: гурвалжны нийлбэр теоремыг ашиглана.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 3 75º=70º}

_<ABD болон _{<ACD гэж бичээстэй. Нөхцөлөөр тэд нэг нуман дээр тулгуурладаг. Үүний дагуу тэдгээр нь ижил утгатай байна:}

_<ABD=_<ACD=70º

Хариулт: _<ABD=70º.

Бодлого 2. BCDE нь тойрог дотор бичээстэй дөрвөн өнцөгт юм. _<B=69º, _<C=84º. Тойргийн төв нь E цэг. Ол - _<E.

Шийдвэр.

1. Теорем 1-ээр _{<E-г олох хэрэгтэй.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Хариулт: _{< E=96º.}

Бодлого 3. Тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжин өгөгдсөн. Өгөгдлийг зурагт үзүүлэв. Үл мэдэгдэх утгуудыг олох шаардлагатай x, y, z.

Шийдэл:

z=180º – 93º=87º (1-р теоремоор)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (1-р теоремоор)

Хариулт: z=87º, x=82º, y=98º.

Бодлого 4. Тойрог дотор дөрвөн өнцөгт бичээстэй байна. Утгыг зурагт үзүүлэв. x, y-г ол.

Шийдэл:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Хариулт: x=100º, y=109º.

Бие даасан шийдэлд зориулсан асуудлууд

Жишээ 1. Тойрог өгөгдсөн. Түүний төв нь О цэг юм. AC ба BD нь диаметр юм. _<ACB=38º. _{<AOD олох хэрэгтэй. Хариултыг градусаар өгөх ёстой.}

Жишээ 2. ABCD дөрвөлжин ба түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойрог өгөгдсөн. _<ABC=110º, _<ABD=70º. _{<CAD хай. Хариултаа градусаар бичнэ үү.}

Жишээ 3. Тойрог болон бичээстэй ABCD дөрвөлжин өгөгдсөн. Түүний хоёр өнцөг нь 82º ба58º. Та үлдсэн өнцгөөс хамгийн томыг нь олж хариултыг градусаар бичих хэрэгтэй.

Жишээ 4. ABCD дөрвөлжин өгөгдсөн. A, B, C өнцгийг 1: 2: 3 харьцаагаар өгсөн. Хэрэв заасан дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичиж чадвал D өнцгийг олох шаардлагатай. Хариултыг градусаар өгөх ёстой.

Жишээ 5. ABCD дөрвөлжин өгөгдсөн. Түүний талууд нь хүрээлэгдсэн тойргийн нумуудыг үүсгэдэг. AB, BC, CD болон AD зэрэг нь: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚ байна. Та _{<Өгөгдсөн дөрвөлжин хэсгээс олж хариултыг градусаар бичнэ үү.}