Бөмбөлөг, цилиндр, конус, пирамид, призм зэрэг орон зайн дүрсүүдийн талаар ахлах сургуулийн сурагч бүр мэддэг. Энэ нийтлэлээс та гурвалжин призм гэж юу болох, ямар шинж чанартай болохыг мэдэх болно.
Бид нийтлэлд аль дүрсийг авч үзэх вэ?
Гурвалжин призм нь бусад ижил төстэй орон зайн дүрсүүдээс цөөн тал, орой, ирмэгтэй призмийн ангийн хамгийн энгийн төлөөлөгч юм. Энэхүү призм нь дурын хэлбэртэй байж болох хоёр гурвалжингаас бүрддэг боловч тэдгээр нь заавал бие биетэйгээ тэнцүү байх ёстой бөгөөд огторгуйд зэрэгцээ хавтгайд байх ёстой бөгөөд ерөнхий тохиолдолд бие биетэйгээ тэнцүү биш гурван параллелограммаас бүрддэг. Тодорхой болгох үүднээс тайлбарласан зургийг доор харуулав.
Гурвалжин призмийг яаж авах вэ? Энэ нь маш энгийн: та гурвалжинг аваад орон зай дахь вектор руу шилжүүлэх хэрэгтэй. Дараа нь хоёр гурвалжны ижил оройг сегментүүдээр холбоно. Тиймээс бид зургийн хүрээг олж авдаг. Хэрэв бид одоо энэ хүрээ нь хатуу талуудыг хязгаарлаж байна гэж төсөөлвөл бид олж авнагурван хэмжээст дүрсийг дүрсэлсэн.
Судлж буй призм ямар элементүүдээс тогтдог вэ?
Гурвалжин призм нь олон өнцөгт хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн огтлолцсон нүүр эсвэл талуудаас үүсдэг. Ийм таван талтай (хоёр гурвалжин, гурван дөрвөлжин) гэж дээр дурдсан. Гурвалжин талуудыг суурь гэж нэрлэдэг бол параллелограммуудыг хажуугийн нүүр гэж нэрлэдэг.
Ямар ч олон өнцөгттэй адил судлагдсан призм нь оройтой байдаг. Пирамидаас ялгаатай нь аливаа призмийн оройнууд тэнцүү байдаг. Гурвалжин дүрс нь зургаан ширхэгтэй. Тэд бүгд хоёуланд нь хоёуланд нь хамаарна. Суурийн хоёр ирмэг ба нэг хажуугийн ирмэг нь орой бүр дээр огтлолцоно.
Зургийн талуудын тоо дээр оройн тоог нэмээд гарсан утгаас 2-ын тоог хасвал авч үзэж буй призм хэдэн ирмэгтэй вэ гэсэн асуултын хариултыг авна.. Тэдгээрийн ес нь байна: зургаа нь суурийг хязгаарлаж, үлдсэн гурав нь параллелограммуудыг бие биенээсээ тусгаарладаг.
Хэлбэрийн төрлүүд
Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн гурвалжин призмийн хангалттай нарийвчилсан тайлбар нь хэд хэдэн төрлийн зурагтай тохирч байна. Тэдний ангиллыг анхаарч үзээрэй.
Судалсан призм нь налуу ба шулуун байж болно. Тэдний хоорондох ялгаа нь хажуугийн нүүрний төрлөөс хамаарна. Шулуун призм дээр тэдгээр нь тэгш өнцөгт, налуу нь ерөнхий параллелограммууд юм. Гурвалжин суурьтай хоёр призмийг доор харуулав, нэг нь шулуун, нөгөө нь ташуу.
Налуу призмээс ялгаатай нь шулуун призм нь суурийн хооронд бүх хоёр өнцөгт өнцөгтэй байдаг.талууд 90 ° байна. Сүүлийн баримт юу гэсэн үг вэ? Шулуун зураг дээрх гурвалжин призмийн өндөр, өөрөөр хэлбэл суурийн хоорондох зай нь аль ч хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна. Ташуу дүрсийн хувьд өндөр нь түүний хажуугийн аль нэг ирмэгийн уртаас үргэлж бага байна.
Гурвалжин суурьтай призм жигд бус, зөв байж болно. Хэрэв түүний суурь нь тэнцүү талуудтай гурвалжин бөгөөд зураг нь өөрөө шулуун байвал түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Ердийн призм нь ойлтын хавтгай ба эргэлтийн тэнхлэгийг багтаасан нэлээд өндөр тэгш хэмтэй байдаг. Ердийн призмийн хувьд түүний эзэлхүүн ба нүүрний гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог доор өгөв. Тиймээс, дарааллаар нь.
Гурвалжин призмийн талбай
Харгалзах томьёог олж авахын өмнө зөв призмийг нээцгээе.
Ижил тэгш өнцөгтийн гурван талбар, ижил талтай тэнцүү гурвалжны хоёр талбайг нэмснээр зургийн талбайг тооцоолох боломжтой нь ойлгомжтой. Призмийн өндрийг h үсгээр, гурвалжин суурийн талыг нь а үсгээр тэмдэглэе. Дараа нь S3 гурвалжны талбайн хувьд бид:
байна.
S3=√3/4a2
Энэ илэрхийлэл нь гурвалжны өндрийг суурьтай нь үржүүлээд үр дүнг 2-т хуваахад гарна.
Тэгш өнцөгтийн талбайн хувьд S4 бид авна:
S4=ah
Бүх талын талбайг нэмснээр бид зургийн нийт гадаргуугийн талбайг авна:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3aц
Энд эхний гишүүн нь суурийн талбайг, хоёр дахь нь гурвалжин призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тусгана.
Энэ томъёо нь зөвхөн энгийн дүрст хүчинтэй гэдгийг санаарай. Буруу налуу призм байгаа тохиолдолд талбайн тооцоог үе шаттайгаар хийх ёстой: эхлээд суурийн талбайг, дараа нь хажуугийн гадаргууг тодорхойлно. Сүүлийнх нь хажуугийн ирмэг ба хажуугийн гадаргуутай перпендикуляр зүсэлтийн периметрийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Зургийн хэмжээ
Гурвалжин призмийн эзэлхүүнийг энэ ангийн бүх дүрст нийтлэг томъёогоор тооцоолж болно. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:
V=So h
Энгийн гурвалжин призмийн хувьд энэ томьёо дараах тодорхой хэлбэрийг авна:
V=√3/4a2 h
Хэрэв призм жигд бус боловч шулуун байвал суурийн талбайн оронд гурвалжны харгалзах талбайг орлуулах хэрэгтэй. Хэрэв призм нь налуу байвал суурийн талбайг тодорхойлохоос гадна өндрийг нь тооцоолох хэрэгтэй. Дүрмээр бол талууд ба суурийн хоорондох хоёр талт өнцгийг мэддэг бол тригонометрийн томъёог ашигладаг.
