Өнөөдрийг хүртэл математикийн хамгийн хэцүү хэсгүүдийн нэг бол бутархай тоо юм. Бутархайн түүх нэг мянга гаруй жилтэй. Бүхэл бүтэн хэсгийг хэсэг болгон хуваах чадвар нь эртний Египет, Вавилоны нутаг дэвсгэрт үүссэн. Олон жилийн туршид бутархайгаар гүйцэтгэсэн үйлдлүүд илүү төвөгтэй болж, тэдгээрийн бичлэгийн хэлбэр өөрчлөгдсөн. Эртний ертөнцийн муж бүр математикийн энэ хэсэгтэй "харилцаа"-д өөрийн гэсэн онцлогтой байсан.
Бутархай гэж юу вэ?
Нэмэлт хүчин чармайлтгүйгээр бүхэл хэсгийг хэсэг болгон хуваах шаардлагатай болсон үед бутархай хэсгүүд гарч ирэв. Бутархайн түүх нь ашигтай асуудлыг шийдвэрлэхтэй салшгүй холбоотой. "Бутархай" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө араб үндэстэй бөгөөд "хуваах, хуваах" гэсэн утгатай үгнээс гаралтай. Эрт дээр үеэс хойш энэ утгаараа бага зэрэг өөрчлөгдсөн. Орчин үеийн тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: бутархай нь нэгжийн хэсэг буюу хэсгүүдийн нийлбэр юм. Үүний дагуу бутархайтай жишээнүүд нь тооны бутархайтай математик үйлдлүүдийн дараалсан гүйцэтгэлийг илэрхийлнэ.
Өнөөдөр хоёр байнатэдгээрийг бүртгэх арга зам. Энгийн болон аравтын бутархай нь өөр өөр цаг үед үүссэн: эхнийх нь илүү эртнийх.
Эрт дээр үеэс ирсэн
Тэд анх удаа Египет, Вавилоны нутаг дэвсгэр дээр фракцтай үйл ажиллагаа явуулж эхэлсэн. Хоёр улсын математикчдын арга барил ихээхэн ялгаатай байв. Гэсэн хэдий ч эхлэл нь тэнд тэнд байсан. Эхний бутархай нь хагас буюу 1/2 байсан. Дараа нь дөрөвний нэг, гуравны нэг гэх мэт. Археологийн малтлагын дагуу фракцууд үүссэн түүх нь 5 мянга орчим жилийн түүхтэй. Эхний удаад тооны бутархайг Египетийн папирус болон Вавилоны шавар хавтангаас олжээ.
Эртний Египет
Өнөөдрийн энгийн бутархайн төрөлд Египетийн гэж нэрлэгддэг бутархайнууд багтдаг. Эдгээр нь 1/n хэлбэрийн хэд хэдэн нөхцлийн нийлбэр юм. Тоолуур нь үргэлж нэг, хуваагч нь натурал тоо юм. Ийм фракцууд таахад хичнээн хэцүү байсан ч эртний Египетэд гарч ирсэн. Бүх хувьцааг тооцоолохдоо тэд ийм нийлбэр хэлбэрээр бичихийг оролдсон (жишээлбэл, 1/2 + 1/4 + 1/8). Зөвхөн 2/3 ба 3/4 фракцууд нь тусдаа тэмдэглэгээтэй, үлдсэн хэсэг нь нэр томъёонд хуваагдсан. Тооны бутархайг нийлбэр болгон харуулсан тусгай хүснэгтүүд байсан.
Иймэрхүү системийн тухай хамгийн эртний мэдэгдэж буй ишлэл нь МЭӨ 2-р мянганы эхэнд хамаарах Райндын математикийн папирусаас олдсон байдаг. Үүнд бутархайн нийлбэр хэлбэрээр үзүүлсэн шийдэл, хариулт бүхий бутархайн хүснэгт, математикийн бодлого багтсан болно. Египетчүүд тооны бутархайг хэрхэн нэмэх, хуваах, үржүүлэхийг мэддэг байсан. Нил мөрний хөндийн зураг авалтиероглиф ашиглан бичсэн.
Эртний Египтэд хамаарах 1/n хэлбэрийн гишүүний нийлбэрээр тооны бутархайг илэрхийлэхийг зөвхөн энэ улсын математикчид хэрэглэж байсангүй. Дундад зууны үе хүртэл Грек болон бусад мужуудад Египетийн фракцуудыг хэрэглэж байсан.
Вавилон дахь математикийн хөгжил
Математик Вавилоны хаант улсад өөр харагдаж байсан. Энд бутархай тоо үүссэн түүх нь эртний улсын өмнөх Шумер-Аккадын соёл иргэншлээс өвлөн авсан тооны системийн онцлогтой шууд холбоотой юм. Вавилон дахь тооцооны техник нь Египетээс илүү тохиромжтой, төгс төгөлдөр байсан. Энэ улсын математик илүү өргөн хүрээний асуудлыг шийдсэн.
Та өнөөдөр вавилончуудын ололт амжилтыг дөрвөлжин бичгээр дүүргэсэн амьд үлдсэн шавар хавтангаар дүгнэж болно. Материалын онцлогоос шалтгаалан тэдгээр нь бидэнд маш олноор иржээ. Зарим эрдэмтдийн үзэж байгаагаар Вавилоны математикчид Пифагороос өмнө сайн мэддэг теоремыг нээсэн нь энэ эртний улсын шинжлэх ухаан хөгжиж байсныг илтгэх нь дамжиггүй.
Бутархай: Вавилон дахь бутархайн түүх
Вавилон дахь тооны систем нь хүйсээр жижиг байсан. Шинэ ангилал бүр өмнөхөөсөө 60-аар ялгаатай байв. Орчин үеийн ертөнцөд цаг хугацаа, өнцгийг заах ийм систем хадгалагдан үлджээ. Бутархай нь мөн хүйсийн жижиг байсан. Бичлэг хийхэд тусгай дүрс ашигласан. Египетийн нэгэн адил бутархайн жишээнүүдэд 1/2, 1/3, 2/3 гэсэн тусдаа тэмдэгт орсон байна.
Вавилонтогтолцоо нь төртэй хамт алга болоогүй. 60-р системээр бичигдсэн бутархайг эртний болон Арабын одон орон судлаач, математикчид ашигласан.
Эртний Грек
Энгийн бутархайн түүхийг эртний Грект төдийлөн баяжуулаагүй. Элласын оршин суугчид математик нь зөвхөн бүхэл тоогоор ажиллах ёстой гэж үздэг. Тиймээс эртний Грекийн сургаалуудын хуудсан дээрх бутархай үг хэллэг бараг гараагүй. Гэсэн хэдий ч Пифагорчууд математикийн энэ салбарт тодорхой хувь нэмэр оруулсан. Тэд бутархайг харьцаа эсвэл пропорц гэж ойлгодог байсан бөгөөд нэгжийг хуваагдашгүй гэж үздэг байв. Пифагор болон түүний шавь нар бутархайн ерөнхий онолыг бүтээж, бүх дөрвөн арифметик үйлдлийг хэрхэн гүйцэтгэх, мөн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж харьцуулах аргад суралцсан.
Ариун Ромын эзэнт гүрэн
Ромын бутархай систем нь "илжиг" хэмээх жингийн хэмжүүртэй холбоотой байв. 12 ширхэг хувьцаанд хуваасан. 1/12 ассаг унц гэж нэрлэдэг байсан. Бутархайн 18 нэр байсан. Тэдгээрийн зарим нь энд байна:
- хагас - хагас илжиг;
- sextante - ac-ийн зургаа дахь;
- хагас унц - хагас унц эсвэл 1/24 ац.
Ийм системийн тохиромжгүй тал нь тоог 10 эсвэл 100-ын хуваарьтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй байсан явдал юм. Ромын математикчид хувь хэмжээг ашиглан хүндрэлийг даван туулсан.
Энгийн бутархай бичих
Эртний үед бутархайг аль хэдийн мэддэг арга замаар бичдэг байсан: нэг тоо нөгөөгөөр бичигддэг. Гэсэн хэдий ч нэг мэдэгдэхүйц ялгаа байсан. Тоолуур байрлаж байсанхуваагч дор. Эртний Энэтхэгт анх удаа бутархайг ингэж бичиж эхэлжээ. Арабууд бидний хувьд орчин үеийн аргыг хэрэглэж эхэлсэн. Гэвч эдгээр ард түмний хэн нь ч тоо болон хуваагчийг тусгаарлахын тулд хэвтээ шугам ашиглаагүй. Энэ нь анх 1202 онд Фибоначчийн нэрээр алдаршсан Пизагийн Леонардогийн зохиолуудад гардаг.
Хятад
Хэрэв энгийн бутархайн түүх Египетээс эхэлсэн бол аравтын бутархай анх Хятадад гарч ирсэн. Тэнгэрийн эзэнт гүрэнд тэдгээрийг МЭӨ 3-р зуунаас ашиглаж эхэлсэн. Аравтын бутархайн түүх нь Хятадын математикч Лю Хуйгаас эхэлсэн бөгөөд тэрээр эдгээрийг ашиглан квадрат язгуур гаргаж авахыг санал болгов.
МЭ III зуунд Хятадад жин, эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд аравтын бутархайг ашиглаж эхэлсэн. Аажмаар тэд математикт улам гүнзгий нэвтэрч эхлэв. Харин Европт аравтын бутархай нэлээд хожуу хэрэглэгдэж эхэлсэн.
Самаркандаас Аль-Каши
Хятадын өмнөх үеийнхээс үл хамааран аравтын бутархайг эртний Самарканд хотын одон орон судлаач аль-Каши нээсэн. Тэрээр 15-р зуунд ажиллаж, амьдарч байсан. Эрдэмтэн 1427 онд хэвлэгдсэн "Арифметикийн түлхүүр" хэмээх эмхэтгэлд өөрийн онолыг тодорхойлсон. Аль-Каши бутархайн тэмдэглэгээний шинэ хэлбэрийг ашиглахыг санал болгов. Бүхэл болон бутархай хэсгүүд хоёулаа нэг мөрөнд бичигдсэн. Самаркандын одон орон судлаач тэднийг таслалаар тусгаарлаагүй. Тэрээр бүхэл тоо болон бутархай хэсгийг хар, улаан бэхээр өөр өөр өнгөөр бичсэн. Аль-Каши заримдаа тэдгээрийг тусгаарлахын тулд босоо баар ашигладаг байсан.
Европ дахь аравтын тоо
Шинэ төрлийн бутархай 13-р зуунаас Европын математикчдын бүтээлд гарч эхэлсэн. Тэд аль-Кашигийн бүтээлүүд, түүнчлэн хятадуудын шинэ бүтээлийг сайн мэддэггүй байсан гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Жордан Неморариусын бүтээлүүдэд аравтын бутархайнууд гарч ирэв. Дараа нь тэдгээрийг 16-р зуунд Франсуа Вьет ашиглаж байжээ. Францын эрдэмтэн тригонометрийн хүснэгтүүдийг агуулсан "Математикийн канон"-ыг бичсэн. Тэдэнд Вьетнам аравтын бутархайг ашигласан. Бүхэл болон бутархай хэсгүүдийг салгахын тулд эрдэмтэн босоо шугам, мөн өөр үсгийн хэмжээг ашигласан.
Гэсэн хэдий ч эдгээр нь зөвхөн шинжлэх ухаанд хэрэглэгдэх онцгой тохиолдол байсан. Өдөр тутмын асуудлыг шийдэхийн тулд Европт аравтын бутархайг хэсэг хугацааны дараа ашиглаж эхэлсэн. Энэ нь 16-р зууны төгсгөлд Голландын эрдэмтэн Саймон Стивиний ачаар болсон юм. Тэрээр 1585 онд "Аравдугаарт" математикийн бүтээлээ хэвлүүлсэн. Үүнд эрдэмтэн аравтын бутархайг арифметик, мөнгөний системд ашиглах, хэмжүүр, жинг тодорхойлох онолыг тодорхойлсон.
Цэг, цэг, таслал
Стевин ч таслал хэрэглээгүй. Тэр бутархайн хоёр хэсгийг дугуйлсан тэгээр салгав.
Аравтын бутархайн хоёр хэсгийг таслалаар тусгаарласан анхны тохиолдол нь зөвхөн 1592 онд байсан. Харин Англид цэгийг оронд нь ашигласан. АНУ-д аравтын бутархайг ингэж бичдэг хэвээр байна.
Бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг ялгахын тулд цэг таслалыг хоёуланг нь ашиглах санаачлагчдын нэг нь Шотландын математикч Жон Непьер юм. Тэрээр 1616-1617 онд саналаа тавьжээ. таслал ашигласанГерманы эрдэмтэн Йоханнес Кеплер нар.
Орос дахь бутархай
Оросын нутаг дэвсгэр дээр бүхэл бүтэн хэсгийг хэсэг болгон хуваахыг тодорхойлсон анхны математикч бол Новгородын лам Кирик байв. 1136 онд тэрээр "жилийг тооцоолох" аргыг тодорхойлсон бүтээл бичсэн. Кирик он тоолол, хуанлийн асуудлыг хөндсөн. Тэрээр бүтээлдээ цагийг хэсэг болгон хуваахыг иш татсан: тав, хорин тав гэх мэт.
Бүтэн хэсгийг хэсэг болгон хуваахыг XV-XVII зууны үед татварын хэмжээг тооцохдоо ашигласан. Бутархай хэсгүүдтэй нэмэх, хасах, хуваах, үржүүлэх үйлдлүүдийг ашигласан.
“Бутархай” гэдэг үг VIII зуунд Орост гарч ирсэн. Энэ нь "бутлах, хэсэг болгон хуваах" үйл үгнээс гаралтай. Манай өвөг дээдэс бутархайг нэрлэхдээ тусгай үг хэрэглэдэг байсан. Жишээлбэл, 1/2-ыг хагас эсвэл хагас, 1/4 - дөрөв, 1/8 - хагас цаг, 1/16 - хагас цаг гэх мэтээр тодорхойлсон.
Бутархайн онолыг орчин үеийнхээс нэг их ялгарахгүй, 1701 онд Леонтий Филиппович Магнитскийн бичсэн арифметикийн анхны сурах бичигт толилуулжээ. "Арифметик" нь хэд хэдэн хэсгээс бүрдсэн. Зохиогч "Эвдэрхий шугамын тоо эсвэл бутархайтай" хэсэгт бутархайн талаар дэлгэрэнгүй ярьдаг. Магнитский "эвдэрсэн" тоо, тэдгээрийн өөр өөр тэмдэглэгээ бүхий үйлдлүүдийг өгдөг.
Өнөөдөр бутархай тоо математикийн хамгийн хэцүү хэсгүүдийн нэг хэвээр байна. Бутархайн түүх ч бас энгийн биш байсан. Өөр өөр ард түмэн, заримдаа бие биенээсээ үл хамааран, заримдаа өмнөх үеийнхээ туршлагыг зээлж авснаар тооны бутархайг нэвтрүүлэх, эзэмших, ашиглах хэрэгцээ гарч ирэв. Бутархайн тухай сургаал үргэлж практик ажиглалт, амин чухал ач холбогдлын ачаар бий болсонасуудлууд. Талх хуваах, тэгш газар тэмдэглэх, татвар тооцох, цаг хугацааг хэмжих гэх мэт шаардлагатай байсан. Бутархай тоо, тэдгээртэй математикийн үйлдлүүдийг ашиглах онцлог нь тухайн муж дахь тооны систем, математикийн хөгжлийн ерөнхий түвшингээс хамаарна. Мянга гаруй жилийг даван туулж, тоон бутархайд зориулсан алгебрийн хэсэг бий болж, хөгжиж, өнөөдөр практик болон онолын олон төрлийн хэрэгцээнд амжилттай ашиглагдаж байна.
