Математикийн чухал ойлголт бол функц юм. Үүний тусламжтайгаар та байгальд болж буй олон үйл явцыг төсөөлж, график дээрх томъёо, хүснэгт, зургийг ашиглан тодорхой хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг тусгах боломжтой. Үүний нэг жишээ бол шингэний давхаргын биед үзүүлэх даралтын хэмжээ нь живэх гүн, хурдатгал - тодорхой хүчний объектод үзүүлэх нөлөө, температурын өсөлт - дамжуулж буй энерги болон бусад олон процессуудаас хамаардаг. Функцийг судлах нь график байгуулах, түүний шинж чанар, хамрах хүрээ, утга, өсөлт, бууралтын интервалыг тодруулахад оршино. Энэ үйл явцын чухал цэг бол экстремум цэгүүдийг олох явдал юм. Үүнийг хэрхэн зөв хийх талаар, мөн яриа цааш үргэлжлэх болно.
Тодорхой жишээн дээрх үзэл баримтлалын тухай
Анагаах ухаанд функциональ график зурах нь өвчтөний биеийн байдал ямар байгааг нүдээр харуулж, түүний бие дэх өвчний явцыг хэлж өгдөг. Өдрөөр хэмжигдэх хугацааг ҮХ тэнхлэгийн дагуу, хүний биеийн температурыг OY тэнхлэгийн дагуу зурсан гэж үзье. Зураг нь энэ үзүүлэлт хэрхэн огцом өсч байгааг тодорхой харуулж байна, мөндараа нь унана. Функц нь өмнө нь нэмэгдэж, буурч эхлэх үеийг тусгасан онцгой цэгүүдийг анзаарахад хялбар байдаг. Эдгээр нь өвчтөний температурын хамгийн дээд цэгүүд, өөрөөр хэлбэл өвчтөний биеийн байдал өөрчлөгддөг хамгийн чухал утгууд (хамгийн их ба хамгийн бага) юм.
Налалтын өнцөг
Функцийн дериватив хэрхэн өөрчлөгдөхийг зурагнаас тодорхойлоход хялбар байдаг. Хэрэв графикийн шулуун шугамууд цаг хугацааны явцад дээшлэх юм бол эерэг байна. Тэд эгц байх тусам налуугийн өнцөг нэмэгдэх тусам деривативын үнэ цэнэ ихсэх болно. Бууралтын үед энэ утга нь сөрөг утгыг авч, экстремум цэгүүдэд тэг болж хувирах ба сүүлийн тохиолдолд деривативын графикийг OX тэнхлэгтэй параллель зурсан болно.
Өөр аливаа үйл явцыг ижил аргаар авч үзэх хэрэгтэй. Гэхдээ энэ ойлголтын хамгийн сайн зүйл бол график дээр тодорхой харуулсан янз бүрийн биеийн хөдөлгөөнийг хэлж чадна.
Хөдөлгөөн
Зарим объект шулуун шугамаар хөдөлж, жигд хурдтай байна гэж бодъё. Энэ хугацаанд биеийн координатын өөрчлөлт нь тодорхой муруйг графикаар илэрхийлдэг бөгөөд математикч үүнийг параболын салбар гэж нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ координатын үзүүлэлтүүд секунд тутамд илүү хурдан, хурдан өөрчлөгддөг тул функц байнга нэмэгдэж байна. Хурдны график нь деривативын зан төлөвийг харуулсан бөгөөд түүний утга нь мөн нэмэгддэг. Энэ нь хөдөлгөөнд чухал цэг байхгүй гэсэн үг.
Энэ нь тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлэх байсан. Гэвч хэрэв бие нь гэнэт удаашрахаар шийдсэн бол зогсоод өөр газар хөдөлж эхэлнэчиглэл? Энэ тохиолдолд координатын үзүүлэлтүүд буурч эхэлнэ. Мөн функц нь эгзэгтэй утгыг дамжуулж, өсөлтөөс буурах руу шилжих болно.
Энэ жишээн дээр та функцийн график дээрх экстремум цэгүүд нь нэгэн хэвийн байхаа болих мөчид гарч ирдэг гэдгийг дахин ойлгож болно.
Деривативын физик утга
Өмнө нь тайлбарласан нь дериватив нь үндсэндээ функцийн өөрчлөлтийн хурд гэдгийг тодорхой харуулсан. Энэхүү сайжруулалт нь түүний физик утгыг агуулдаг. Хэт их цэгүүд нь график дээрх чухал хэсгүүд юм. Тэгтэй тэнцүү болж байгаа деривативын утгыг тооцоод тэдгээрийг олж илрүүлэх боломжтой.
Өөр нэг шинж тэмдэг байгаа нь экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл юм. Ийм гулзайлтын газар дахь дериватив нь тэмдэгээ өөрчилдөг: максимум мужид "+"-ээс "-" хүртэл, хамгийн бага бүсэд "-"-ээс "+" хүртэл.
Таталцлын нөлөөн дэх хөдөлгөөн
Өөр нөхцөл байдлыг төсөөлье. Бөмбөг тоглож байсан хүүхдүүд үүнийг шидээд тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр хөдөлж эхлэв. Эхний үед энэ биетийн хурд хамгийн том байсан боловч таталцлын нөлөөн дор буурч эхэлсэн бөгөөд секунд тутамд ижил утгатай, ойролцоогоор 9.8 м/с2. Энэ нь чөлөөт уналтын үед дэлхийн таталцлын нөлөөн дор үүсдэг хурдатгалын утга юм. Саран дээр энэ нь зургаа дахин бага байх болно.
Биеийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн график нь салаатай парабол,доошоо. Хэрхэн экстремум цэгүүдийг олох вэ? Энэ тохиолдолд энэ нь биеийн (бөмбөг) хурд нь тэг утгыг авдаг функцийн орой юм. Функцийн дериватив нь тэг болно. Энэ тохиолдолд чиглэл, улмаар хурдны утга нь эсрэгээр өөрчлөгддөг. Бие секунд тутамд доошоо нисч, хурдасч, ижил хэмжээгээр хурдасдаг - 9.8 м/с2.
Хоёр дахь дериватив
Өмнөх тохиолдолд хурдны модулийн графикийг шулуун шугамаар зурсан. Энэ хэмжигдэхүүний утга байнга буурч байгаа тул энэ шугам нь эхлээд доошоо чиглэнэ. Цаг хугацааны аль нэгэнд тэг хүрмэгц энэ утгын үзүүлэлтүүд нэмэгдэж, хурдны модулийн график дүрслэлийн чиглэл эрс өөрчлөгдөнө. Шугам одоо дээшээ чиглэж байна.
Хурд нь координатын цаг хугацааны дериватив нь бас чухал цэгтэй. Энэ бүсэд эхлээд буурч байгаа функц нэмэгдэж эхэлдэг. Энэ нь функцийн деривативын экстремум цэгийн газар юм. Энэ тохиолдолд шүргэгчийн налуу тэг болно. Мөн хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд координатын хоёр дахь дериватив болох тэмдгийг "-" -ээс "+" болгон өөрчилдөг. Мөн жигд удаанаас хөдөлгөөн жигд хурдасна.
Хурдатгалын график
Одоо дөрвөн зургийг авч үзье. Тэд тус бүр нь хурдатгал гэх мэт физик хэмжигдэхүүний цаг хугацааны өөрчлөлтийн графикийг харуулдаг. "А" тохиолдолд түүний утга эерэг, тогтмол хэвээр байна. Энэ нь биеийн хурд нь координаттай адил байнга нэмэгдэж байна гэсэн үг юм. Хэрвээобъект ийм байдлаар хязгааргүй урт хугацаанд хөдөлнө гэж төсөөлөөд үз дээ, координатын цаг хугацааны хамаарлыг тусгасан функц байнга нэмэгдэж байх болно. Үүнээс үзэхэд эгзэгтэй бүс нутаг байхгүй. Мөн деривативын график дээр экстремум цэг байхгүй, өөрөөр хэлбэл шугаман өөрчлөгдөж буй хурд.
Эерэг бөгөөд байнга нэмэгдэж буй хурдатгалтай "B" тохиолдолд мөн адил хамаарна. Үнэн, координат болон хурдны график энд арай илүү төвөгтэй байх болно.
Хурдатгал тэг болох хандлагатай үед
"B" зургийг харахад биеийн хөдөлгөөний онцлогийг харуулсан огт өөр дүр зургийг харж болно. Түүний хурдыг доош чиглэсэн мөчрүүдтэй парабола хэлбэрээр графикаар дүрслэх болно. Хэрэв бид хурдатгалын өөрчлөлтийг тодорхойлсон мөрийг OX тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлбэл, хурдатгал нь тэгтэй тэнцүү байх үед энэ чухал утга хүртэл объектын хурд нэмэгдэх болно гэж төсөөлж болно. улам удаан. Координатын функцийн деривативын экстремум цэг нь параболын яг дээд хэсэгт байх бөгөөд үүний дараа бие хөдөлгөөний мөн чанарыг эрс өөрчилж, нөгөө чиглэлд хөдөлж эхэлнэ.
Сүүлийн тохиолдолд "G" хөдөлгөөний мөн чанарыг нарийн тодорхойлох боломжгүй. Энд бид зөвхөн авч үзэж буй зарим хугацаанд хурдатгал байхгүй гэдгийг л мэдэж байна. Энэ нь объект байрандаа үлдэх эсвэл хөдөлгөөн тогтмол хурдтай явагдана гэсэн үг.
Нэмэх ажлыг зохицуулах
Сургуулийн алгебрийн хичээлд ихэвчлэн олддог, танд санал болгодог даалгаврууд руу орцгооё.шалгалтанд бэлтгэх. Доорх зурагт функцийн графикийг харуулав. Экстремум онооны нийлбэрийг тооцоолох шаардлагатай.
Функцийн шинж чанарын өөрчлөлт ажиглагдаж буй эгзэгтэй мужуудын координатыг тодорхойлох замаар y тэнхлэгт үүнийг хийцгээе. Энгийнээр хэлбэл, бид гулзайлтын цэгүүдийн хувьд x тэнхлэгийн дагуух утгуудыг олж, дараа нь үүссэн нөхцөлүүдийг нэмж үргэлжлүүлнэ. Графикаас харахад тэд дараах утгыг авч байгаа нь тодорхой байна: -8; -7; -5; -3; -2; нэг; 3. Энэ нь -21 болж, хариулт болно.
Хамгийн оновчтой шийдэл
Практик даалгаврыг гүйцэтгэхэд оновчтой шийдлийг сонгох нь хэр чухал болохыг тайлбарлах шаардлагагүй. Эцсийн эцэст зорилгодоо хүрэх олон арга зам байдаг бөгөөд хамгийн сайн арга бол дүрмээр бол зөвхөн нэг юм. Энэ нь жишээлбэл, усан онгоц, сансрын хөлөг, нисэх онгоц, архитектурын байгууламжийг төлөвлөхдөө эдгээр хүний гараар бүтсэн объектуудын оновчтой хэлбэрийг олоход маш чухал юм.
Тээврийн хэрэгслийн хурд нь таталцлын хүч болон бусад олон үзүүлэлтүүдийн нөлөөн дор үүссэн хэт ачааллаас ус, агаараар дамжин өнгөрөхөд үзүүлэх эсэргүүцлийг чадварлаг бууруулахаас ихээхэн хамаардаг. Далайд байгаа хөлөг онгоцонд шуурганы үед тогтвортой байх зэрэг чанарууд хэрэгтэй бөгөөд голын хөлөг онгоцны хувьд хамгийн бага ноорог чухал байдаг. Оновчтой дизайныг тооцоолохдоо график дээрх экстремум цэгүүд нь нарийн төвөгтэй асуудлын хамгийн сайн шийдлийн талаархи санааг нүдээр харуулах боломжтой. Ийм төрлийн даалгавар ихэвчлэн байдагэдийн засаг, эдийн засгийн салбарт, амьдралын бусад олон нөхцөл байдалд шийдэгддэг.
Эртний түүхээс
Эртний мэргэд ч гэсэн туйлын асуудал тулгардаг байсан. Грекийн эрдэмтэд математикийн тооцооллын тусламжтайгаар талбай, эзлэхүүний нууцыг амжилттай тайлав. Тэд ижил периметртэй янз бүрийн дүрс бүхий хавтгай дээр тойрог үргэлж хамгийн том талбайтай байдаг гэдгийг анх ойлгосон. Үүний нэгэн адил бөмбөг нь ижил гадаргуутай орон зай дахь бусад объектуудын дунд хамгийн их эзэлхүүнтэй байдаг. Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлониус зэрэг алдартай хүмүүс ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд өөрсдийгөө зориулжээ. Херон хэт туйлшралын цэгүүдийг олоход маш амжилттай байсан бөгөөд тэд тооцоолол хийж, ухаалаг төхөөрөмжүүдийг бүтээжээ. Эдгээрт ижил зарчмаар ажилладаг уур, насос, турбин ашиглан хөдөлдөг автомат машинууд багтсан.
Карфагений бүтээн байгуулалт
Нэг туйлширсан асуудлыг шийдэхэд үндэслэсэн домог байдаг. Мэргэд рүү хандсан Финикийн гүнжийн үзүүлсэн бизнесийн арга барилын үр дүн нь Карфагеныг барих явдал байв. Энэхүү эртний бөгөөд алдартай хотын газрыг Африкийн нэг овгийн удирдагч Дидод (захирагчийн нэр) бэлэглэжээ. Гэрээнд заасны дагуу үхрийн арьсаар хучих ёстой байсан тул талбай нь түүнд тийм ч том биш юм шиг санагдав. Гэвч гүнж цэргүүддээ үүнийг нимгэн тууз болгон хайчилж, бүс хийхийг тушаажээ. Энэ нь сайтыг хамарсан маш урт болсонХот бүхэлдээ багтах газар.
Тооцооны гарал үүсэл
Тэгээд одоо эртний үеэс хожуу үе рүү шилжье. Сонирхолтой нь 17-р зуунд Кеплер дарс худалдагчтай уулзсанаар математик анализын үндсийг ойлгоход түлхэц болсон юм. Худалдаачин мэргэжлээрээ маш сайн мэдлэгтэй байсан тул торхонд байгаа ундааны хэмжээг төмрийн боолтоор буулгахад хялбархан тодорхойлж чаддаг байв. Ийм сониуч зангаа эргэцүүлэн бодоход нэрт эрдэмтэн энэ бэрхшээлийг өөрөө шийдэж чаджээ. Тухайн үеийн чадварлаг уяачид бэхэлгээний цагирагны тойргийн тодорхой өндөр, радиуст хамгийн их багтаамжтай байхаар хөлөг онгоц хийх арга барилыг эзэмшсэн нь тогтоогджээ.
Энэ нь Кеплерт эргэцүүлэн бодох шалтгаан байсан. Бочарс удаан хугацааны эрэл хайгуул, алдаа, шинэ оролдлого хийж, туршлагаа үеэс үед дамжуулж оновчтой шийдэлд хүрсэн. Гэвч Кеплер энэ үйл явцыг хурдасгаж, математикийн тооцоололоор богино хугацаанд үүнийг хэрхэн хийхийг сурахыг хүссэн. Хамтран ажиллагсдынхаа цуглуулсан түүний бүх хөгжүүлэлт нь одоо мэдэгдэж байгаа Ферма, Ньютон - Лейбницийн теорем болж хувирав.
Хамгийн их талбайн асуудал
Бидэнд 50 см урттай утас байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Түүнээс хамгийн том талбайтай тэгш өнцөгтийг хэрхэн яаж хийх вэ?
Шийдвэр гаргахдаа энгийн бөгөөд мэдэгдэж буй үнэнээс гарах ёстой. Бидний дүрсний периметр нь 50 см байх нь тодорхой байна. Энэ нь мөн хоёр талын уртаас хоёр дахин их хэмжээтэй байна. Энэ нь тэдгээрийн аль нэгийг нь "X" гэж тэмдэглэвэл нөгөөг нь (25 - X) гэж илэрхийлж болно гэсэн үг.
Бид эндээс авнаX-тэй тэнцүү талбай (25 - X). Энэ илэрхийллийг олон утгыг авах функцээр илэрхийлж болно. Асуудлыг шийдэхийн тулд тэдгээрийн дээд хэмжээг олох шаардлагатай бөгөөд энэ нь та экстремум цэгүүдийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм.
Ингэхийн тулд эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүүлнэ. Үр дүн нь энгийн тэгшитгэл: 25 - 2X=0.
Үүнээс бид талуудын аль нэг нь X=12, 5 гэдгийг мэдэж авна.
Тиймээс өөр: 25 – 12, 5=12, 5.
Асуудлын шийдэл нь 12.5 см талтай дөрвөлжин байх нь харагдаж байна.
Хамгийн дээд хурдыг хэрхэн олох вэ
Дахин нэг жишээ авч үзье. Шулуун хөдөлгөөнийг S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 тэгшитгэлээр тодорхойлсон бие байгаа гэж төсөөлөөд үз дээ. явсан нь метрээр, цаг нь секундээр илэрхийлэгдэнэ. Хамгийн их хурдыг олох шаардлагатай. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Татаж авсан нь эхний дериватив болох хурдыг олоорой.
Бид тэгшитгэлийг олж авна: V=- 3t2 + 18т – 24. Одоо асуудлыг шийдэхийн тулд дахин экстремум цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Үүнийг өмнөх даалгавартай ижил аргаар хийх ёстой. Хурдны эхний деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүл.
Бид авна: - 6t + 18=0. Тиймээс t=3 сек. Энэ бол биеийн хурд чухал утгыг авдаг үе юм. Бид олж авсан өгөгдлийг хурдны тэгшитгэлд орлуулж, дараахийг авна: V=3 м/с.
Гэхдээ энэ нь яг хамгийн дээд хурд гэдгийг яаж ойлгох вэ, учир нь функцийн эгзэгтэй цэгүүд нь түүний хамгийн их эсвэл хамгийн бага утга байж болно? Шалгахын тулд та секунд олох хэрэгтэйхурдны дериватив. Үүнийг хасах тэмдгээр 6-ын тоогоор илэрхийлнэ. Энэ нь олсон цэг нь хамгийн дээд цэг гэсэн үг юм. Хоёрдахь деривативын эерэг утгатай тохиолдолд хамгийн бага байх болно. Тиймээс олсон шийдэл зөв болсон.
Жишээ болгон өгсөн даалгаврууд нь функцийн экстремум цэгүүдийг олох замаар шийдэж болох ажлуудын зөвхөн нэг хэсэг юм. Үнэн хэрэгтээ өөр олон зүйл бий. Ийм мэдлэг нь хүн төрөлхтний соёл иргэншилд хязгааргүй боломжийг нээж өгдөг.
