Функц ба тэдгээрийн графикийг судлах нь ахлах сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хүрээнд онцгой анхаарал хандуулдаг сэдэв юм. Математикийн шинжилгээний зарим үндсийг - ялгах - математикийн шалгалтын профайлын түвшинд оруулсан болно. Зарим сургуулийн сурагчид функц болон деривативын графикийг андуурч, алгоритмыг мартдаг тул энэ сэдвээр асуудалтай тулгардаг. Энэ нийтлэлд даалгаврын үндсэн төрлүүд болон тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно.
Функцийн утга нь юу вэ?
Математикийн функц нь тусгай тэгшитгэл юм. Энэ нь тоонуудын хоорондын харилцааг тогтоодог. Энэ функц нь аргументын утгаас хамаарна.
Функцийн утгыг өгөгдсөн томъёоны дагуу тооцно. Үүнийг хийхийн тулд энэ томьёоны хүчинтэй утгын мужид тохирох аливаа аргументыг x-ийн оронд орлуулж, шаардлагатай математик үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ. Юу?
Функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ?график функц ашиглаж байна уу?
Функцийн аргументаас хамаарах хамаарлыг графикаар дүрслэхийг функцийн график гэнэ. Энэ нь хувьсагч эсвэл аргументын утгыг хэвтээ абсцисса тэнхлэгийн дагуу, босоо ординатын тэнхлэгийн дагуу харгалзах функцийн утгыг дүрсэлсэн тодорхой нэгж сегмент бүхий хавтгай дээр бүтээгдсэн.
Аргументийн утга их байх тусам график дээр баруун талд байрлана. Функцийн өөрийнх нь утга их байх тусам оноо өндөр байна.
Энэ юу гэсэн үг вэ? Функцийн хамгийн бага утга нь график дээрх хамгийн доод цэг байх болно. Үүнийг диаграмын сегментээс олохын тулд танд:хэрэгтэй.
1) Энэ хэсгийн төгсгөлийг олж тэмдэглэ.
2) Энэ сегментийн аль цэг хамгийн доогуур байгааг нүдээр тодорхойлно.
3) Хариуд нь цэгийг у тэнхлэгт проекцлох замаар тодорхойлж болох тоон утгыг бичнэ үү.
Дериватив график дээрх экстремум цэгүүд. Хаана хайх вэ?
Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдвэрлэхдээ заримдаа функцийн биш, харин түүний деривативын графикийг өгдөг. Санамсаргүй тэнэг алдаа гаргахгүйн тулд нөхцөлийг анхааралтай уншсан нь дээр, учир нь энэ нь туйлын цэгүүдийг хаанаас хайхаас хамаарна.
Тэгэхээр дериватив нь функцийн агшин зуурын өсөлтийн хурд юм. Геометрийн тодорхойлолтын дагуу дериватив нь өгөгдсөн цэг рүү шууд татагдсан шүргэгчийн налуутай тохирч байна.
Экстремум цэгүүдэд шүргэгч нь Үхрийн тэнхлэгтэй параллель байдаг нь мэдэгдэж байна. Энэ нь түүний налуу нь 0 гэсэн үг.
Эндээс бид экстремум цэгүүдэд дериватив нь x тэнхлэг дээр байрладаг эсвэл алга болдог гэж дүгнэж болно. Гэхдээ үүнээс гадна эдгээр цэгүүдэд функц нь чиглэлээ өөрчилдөг. Өөрөөр хэлбэл, өсөлтийн дараа энэ нь буурч эхэлдэг бөгөөд дериватив нь эерэгээс сөрөг болж өөрчлөгддөг. Эсвэл эсрэгээр.
Хэрэв дериватив эерэгээс сөрөг болвол энэ нь хамгийн дээд цэг юм. Хэрэв сөрөг нь эерэг бол - хамгийн бага цэг.
Чухал: Хэрэв та даалгаварт хамгийн бага эсвэл дээд цэгийг зааж өгөх шаардлагатай бол хариуд нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу харгалзах утгыг бичих хэрэгтэй. Харин функцийн утгыг олох шаардлагатай бол эхлээд аргументын харгалзах утгыг функцэд орлуулж, тооцоолох хэрэгтэй.
Дериватив ашиглан экстремум оноог хэрхэн олох вэ?
Үзэж буй жишээнүүд нь үндсэндээ дериватив эсвэл эсрэг деривативын графиктай ажиллах шалгалтын 7-р даалгаврыг хэлдэг. Харин USE-ийн 12-р даалгавар - сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олох (заримдаа хамгийн том нь) - нь ямар ч зураглалгүйгээр хийгддэг бөгөөд математикийн анализын үндсэн ур чадвар шаарддаг.
Үүнийг гүйцэтгэхийн тулд дериватив ашиглан экстремум цэгүүдийг олох чадвартай байх шаардлагатай. Тэдгээрийг олох алгоритм нь дараах байдалтай байна:
- Функцийн деривативыг ол.
- Үүнийг тэг болгож тохируулна уу.
- Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
- Оолсон цэгүүд нь экстремум эсвэл гулзайлтын цэг эсэхийг шалгана уу.
Үүнийг хийхийн тулд диаграмм зураад цааш үргэлжлүүлнэ үүүүссэн интервалууд нь сегментүүдэд хамаарах тоонуудыг деривативт орлуулах замаар деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно. Хэрэв тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ давхар үржвэрийн үндэс олсон бол эдгээр нь гулзайлтын цэг болно.
Теоремуудыг ашигласнаар аль цэгүүд хамгийн бага, аль нь хамгийн их болохыг тодорхойлно
Үүсмэлийг ашиглан функцийн хамгийн бага утгыг тооцоолох
Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа бид x тэнхлэгийн дагуух хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийн утгыг олох болно. Гэхдээ сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ?
Тодорхой цэг дээрх функцэд тохирох тоог олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Та энэ томъёонд аргументийн утгыг орлуулах хэрэгтэй.
Хамгийн бага ба хамгийн их оноо нь сегмент дээрх функцын хамгийн бага ба хамгийн том утгатай тохирч байна. Тэгэхээр функцийн утгыг олохын тулд олж авсан x утгуудаа ашиглан функцийг тооцоолох хэрэгтэй.
Чухал! Хэрэв даалгавар нь хамгийн бага эсвэл дээд цэгийг зааж өгөхийг шаарддаг бол хариуд нь та x тэнхлэгийн дагуу харгалзах утгыг бичих хэрэгтэй. Гэхдээ хэрэв та функцийн утгыг олох шаардлагатай бол эхлээд аргументийн харгалзах утгыг функцэд орлуулж, шаардлагатай математик үйлдлүүдийг хийх ёстой.
Хэрэв энэ сегмент дээр доод тал байхгүй бол би яах ёстой вэ?
Гэхдээ экстремум цэггүй сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ?
Энэ нь функц үүн дээр монотон буурч эсвэл нэмэгддэг гэсэн үг юм. Дараа нь та энэ сегментийн туйлын цэгүүдийн утгыг функцэд орлуулах хэрэгтэй. Хоёр арга бий.
1) Тооцоолсонөгөгдсөн сегмент дээр функц буурч эсвэл нэмэгдэж байгаа эсэхийг дүгнэхийн тулд дериватив ба эерэг эсвэл сөрөг байх интервалууд.
Тэдгээрийн дагуу функцэд аргументийн их эсвэл бага утгыг орлуулна уу.
2) Функцийн хоёр цэгийг зүгээр л орлуулж, үүссэн функцийн утгыг харьцуулна уу.
Аль даалгаварт дериватив олох нь сонголттой байдаг
Дүрмээр бол USE даалгавраас та деривативыг олох шаардлагатай хэвээр байна. Зөвхөн хоёр үл хамаарах зүйл байна.
1) Парабола.
Параболын оройг томъёогоор олно.
Хэрэв < 0 бол параболын салбарууд доош чиглэсэн байна. Мөн түүний оргил нь хамгийн дээд цэг юм.
Хэрэв > 0 байвал параболын салбарууд дээшээ чиглэсэн байвал орой нь хамгийн бага цэг болно.
Параболын оройн цэгийг тооцоолсны дараа та түүний утгыг функцэд орлуулж, функцийн харгалзах утгыг тооцоолох хэрэгтэй.
2) Функц y=tg x. Эсвэл y=ctg x.
Эдгээр функцууд нэг хэвийн нэмэгдэж байна. Тиймээс аргументийн утга их байх тусам функцын өөрийнх нь утга их байх болно. Дараа нь бид сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олохыг жишээн дээр авч үзэх болно.
Үндсэн төрлийн ажлууд
Даалгавар: функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утга. График дээрх жишээ.
Зураг дээр та f (x) функцийн деривативын графикийг [-6; 6]. Сегментийн аль цэгт [-3; 3] f(x) хамгийн бага утгыг авна уу?
Тиймээс эхлээд та заасан сегментийг сонгох хэрэгтэй. Үүн дээр функц нэг удаа тэг утгыг авч, тэмдэгээ өөрчилдөг - энэ бол экстремум цэг юм. Сөрөгөөс гарсан дериватив эерэг болсон тул энэ нь функцийн хамгийн бага цэг гэсэн үг юм. Энэ цэг нь аргумент 2-ын утгатай тохирч байна.
Хариулт: 2.
Жишээг үргэлжлүүлэн харна уу. Даалгавар: сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.
Функцийн хамгийн бага утгыг y=(x - 8) ex-7 [6; 8].
1. Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг авна.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Гарсан деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийг шийд.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, эсвэл ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, үндэс байхгүй
3. Функцийн туйлын цэгүүдийн утгыг, мөн тэгшитгэлийн язгуурыг орлуулна.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Хариулт: -1.
Тиймээс энэ нийтлэлд тусгай математикийн USE даалгаврыг амжилттай шийдвэрлэхэд шаардлагатай сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох тухай гол онолыг авч үзсэн болно. Мөн математикийн элементүүдШинжилгээг шалгалтын С хэсгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхэд ашигладаг, гэхдээ тэдгээр нь төвөгтэй байдлын өөр түвшнийг илэрхийлдэг нь ойлгомжтой бөгөөд тэдгээрийн шийдлийн алгоритмууд нь нэг материалын хүрээнд багтахад хэцүү байдаг.
