Призм бол нэлээд энгийн геометрийн гурван хэмжээст дүрс юм. Гэсэн хэдий ч зарим сургуулийн сурагчид түүний үндсэн шинж чанарыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг бөгөөд үүний шалтгаан нь дүрмээр бол буруу ашигласан нэр томъёотой холбоотой байдаг. Энэ нийтлэлд бид призм гэж юу болох, тэдгээрийг юу гэж нэрлэдэгийг авч үзэх, мөн зөв дөрвөлжин призмийг дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно.
Геометрийн призм
Гурван хэмжээст дүрсийг судлах нь орон зайн геометрийн чухал хэсэг болох стереометрийн ажил юм. Стереометрийн хувьд призмийг орон зайд тодорхой зайд дурын хавтгай олон өнцөгтийн зэрэгцээ хөрвүүлснээр үүссэн ийм дүрс гэж ойлгодог. Зэрэгцээ орчуулга гэдэг нь олон өнцөгтийн хавтгайд перпендикуляр тэнхлэгийг тойрон эргэх хөдөлгөөнийг бүрэн хассан хөдөлгөөнийг хэлнэ.
Призмийг олж авах тайлбарласан аргын үр дүнд хоёроор хязгаарлагдах дүрс үүсдэг.ижил хэмжээтэй, зэрэгцээ хавтгайд байрлах олон өнцөгт, тодорхой тооны параллелограммууд. Тэдний тоо нь олон өнцөгтийн талуудын (орой) тоотой давхцдаг. Ижил олон өнцөгтийг призмийн суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн гадаргуугийн талбай нь суурийн талбай юм. Хоёр суурийг холбосон параллелограммууд нь хажуугийн гадаргууг үүсгэдэг.
Призмын элементүүд ба Эйлерийн теорем
Үзэж буй гурван хэмжээст дүрс нь олон талт хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл огтлолцсон хавтгайнуудын багцаас бүрддэг тул тодорхой тооны орой, ирмэг, нүүрээр тодорхойлогддог. Тэд бүгд призмийн элементүүд юм.
18-р зууны дундуур Швейцарийн математикч Леонхард Эйлер олон өнцөгтийн үндсэн элементүүдийн тооны хоорондын холбоог тогтоожээ. Энэ хамаарлыг дараах энгийн томъёогоор бичнэ:
Ирмэгийн тоо=оройн тоо + нүүрний тоо - 2
Аливаа призмийн хувьд энэ тэгш байдал үнэн юм. Хэрэглээний жишээг өгье. Ердийн дөрвөлжин призм байна гэж бодъё. Тэр доорх зураг байна.
Үүний оройн тоо 8 (дөрвөлжин суурь бүрт 4) байгааг харж болно. Хажуугийн эсвэл нүүрний тоо 6 (2 суурь, 4 хажуугийн тэгш өнцөгт) байна. Дараа нь ирмэгийн тоо нь:
байх болно.
Хавирганы тоо=8 + 6 - 2=12
Хэрэв та нэг зураг руу хандвал бүгдийг нь тоолж болно. Найман ирмэг нь сууринд байх ба дөрвөн ирмэг нь эдгээр сууринд перпендикуляр байна.
Призмын бүрэн ангилал
Энэ ангиллыг ойлгох нь чухал бөгөөд ингэснээр та дараа нь нэр томъёонд андуурч болохгүй бөгөөд жишээлбэл, гадаргуугийн талбай эсвэл тоон эзэлхүүнийг тооцоолохдоо зөв томьёо ашиглана.
Дурын хэлбэрийн аливаа призмийн хувьд түүнийг тодорхойлох 4 шинж чанарыг ялгаж болно. Тэднийг жагсаацгаая:
- Суурийн олон өнцөгтийн булангийн тоогоор: гурвалжин, таван өнцөгт, найман өнцөгт гэх мэт.
- Полигон төрөл. Энэ нь зөв эсвэл буруу байж болно. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжин жигд бус, харин тэгш талт гурвалжин зөв.
- Олон өнцөгт гүдгэрийн төрлөөр. Энэ нь хотгор эсвэл гүдгэр байж болно. Гүдгэр призм нь хамгийн түгээмэл.
- Суурь ба хажуугийн параллелограммуудын хоорондох өнцөгт. Хэрэв эдгээр бүх өнцөг нь 90o-тэй тэнцүү бол тэдгээр нь зөв призмийн тухай ярьдаг, хэрэв бүгд зөв биш бол ийм дүрсийг ташуу гэж нэрлэдэг.
Энэ бүх зүйлээс би сүүлчийнх нь дээр анхаарлаа хандуулмаар байна. Шулуун призмийг тэгш өнцөгт призм гэж бас нэрлэдэг. Энэ нь параллелограммууд нь ерөнхий тохиолдолд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдагтай холбоотой (зарим тохиолдолд дөрвөлжин байж болно).
Жишээ нь дээрх зурагт таван өнцөгт хотгор тэгш өнцөгт эсвэл шулуун дүрсийг харуулж байна.
Ердийн дөрвөлжин призм
Энэ призмийн суурь нь ердийн дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл дөрвөлжин юм. Дээрх зурагт энэ призм ямар байгааг харуулсан байна. Түүний хоёр квадратаас гаднадээд ба доод хязгаарыг хязгаарлах ба үүнд 4 тэгш өнцөгт багтана.
Энгийн дөрвөлжин призмийн суурийн талыг а үсгээр, хажуугийн ирмэгийн уртыг c үсгээр тэмдэглэе. Энэ урт нь мөн зургийн өндөр юм. Дараа нь энэ призмийн бүх гадаргуугийн талбайг томъёогоор илэрхийлнэ:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Энд 1-р томьёо нь суурийн нийт талбайд оруулах хувь нэмрийг, 2-р гишүүн нь хажуугийн гадаргуугийн талбайг илэрхийлнэ.
Талуудын уртын танилцуулсан тэмдэглэгээг харгалзан бид тухайн зургийн эзлэхүүний томъёог бичнэ:
V=a2c
Өөрөөр хэлбэл эзэлхүүнийг дөрвөлжин суурийн талбай ба хажуугийн ирмэгийн уртын үржвэрээр тооцно.
Шоо хэлбэр
Хүн бүр энэ хамгийн тохиромжтой гурван хэмжээст дүрсийг мэддэг боловч цөөхөн хүн үүнийг ердийн дөрвөлжин призм гэж бодсон бөгөөд түүний тал нь дөрвөлжин суурийн хажуугийн урттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл c=a.
Шоо дөрвөлжингийн хувьд нийт гадаргуугийн талбай болон эзэлхүүний томъёо нь дараах хэлбэртэй байна:
S=6a2
V=a3
Шоо нь 6 ижил квадратаас тогтсон призм тул тэдгээрийн аль ч зэрэгцээ хосыг суурь гэж үзэж болно.
Шоо бол байгальд олон металл материал, ионы талстуудын талст тор хэлбэрээр бүтээгдсэн өндөр тэгш хэмтэй дүрс юм. Жишээлбэл, алт, мөнгө, зэс, ширээний тордавс нь куб.
