Оюутан эхний жилдээ 2-р зэрэглэлийн гадаргуутай ихэвчлэн тулгардаг. Эхлээд энэ сэдвийн даалгаврууд нь энгийн мэт санагдаж болох ч та дээд математикт суралцаж, шинжлэх ухааны тал руугаа гүнзгийрснээр эцэст нь болж буй зүйлд өөрийгөө чиглүүлэхээ больж чадна. Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд зөвхөн цээжлэхээс гадна тухайн гадаргууг хэрхэн олж авах, коэффициентийг өөрчлөх нь координатын анхны системтэй харьцуулахад түүнд хэрхэн нөлөөлж, түүний байршилд хэрхэн нөлөөлж, шинэ системийг хэрхэн олох талаар ойлгох шаардлагатай. (түүний төв нь гарал үүслийн координаттай давхцаж байгаа бөгөөд тэгш хэмийн тэнхлэг нь координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд параллель байна). Эхнээс нь эхэлцгээе.
Тодорхойлолт
GMT-г 2-р эрэмбийн гадаргуу гэж нэрлэдэг бөгөөд координатууд нь дараах хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлийг хангадаг:
F(x, y, z)=0.
Гадаргуут хамаарах цэг бүр тодорхой үндэслэлээр гурван координаттай байх ёстой нь ойлгомжтой. Хэдийгээр зарим тохиолдолд цэгүүдийн байрлал нь жишээлбэл, хавтгай болж доройтож болно. Энэ нь зөвхөн координатуудын аль нэг нь тогтмол бөгөөд зөвшөөрөгдөх утгын бүх мужид тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг.
Дээр дурдсан тэгш байдлын бүрэн будсан хэлбэр дараах байдалтай байна:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – зарим тогтмолууд, x, y, z – зарим цэгийн аффин координатад харгалзах хувьсагчууд. Энэ тохиолдолд тогтмол хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлтэй ямар ч цэг тохирохгүй.
Ихэнх жишээн дээр олон тооны хүчин зүйлүүд тэгтэй тэнцүү хэвээр байгаа бөгөөд тэгшитгэлийг маш хялбаршуулсан болно. Практикт цэг нь гадаргууд хамаарах эсэхийг тодорхойлох нь тийм ч хэцүү биш (тэгшитгэлд түүний координатыг орлуулж, ижил төстэй байдал ажиглагдаж байгаа эсэхийг шалгахад хангалттай). Ийм ажлын гол зүйл бол сүүлийнхийг каноник хэлбэрт оруулах явдал юм.
Дээр бичсэн тэгшитгэл нь 2-р эрэмбийн аливаа (доор жагсаасан) гадаргууг тодорхойлно. Бид доорх жишээнүүдийг авч үзэх болно.
2-р зэрэглэлийн гадаргуугийн төрөл
2-р эрэмбийн гадаргуугийн тэгшитгэлүүд нь зөвхөн Anm коэффициентүүдийн утгуудад ялгаатай. Ерөнхий үүднээс авч үзвэл тогтмолуудын тодорхой утгуудын хувьд янз бүрийн гадаргууг дараах байдлаар ангилж болно:
- Цилиндр.
- Зууван төрөл.
- Гиперболын төрөл.
- Конус хэлбэр.
- Параболик төрөл.
- Онгоц.
Жагсаалтад орсон төрөл бүр нь байгалийн ба төсөөлөлтэй байдаг: төсөөлөлд бодит цэгүүдийн байрлал нь нэг бол илүү энгийн дүрс болж доройтож, эсвэл огт байхгүй болно.
Цилиндр
Харьцангуй нийлмэл муруй нь зөвхөн суурь дээр байрладаг тул чиглүүлэгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг тул энэ нь хамгийн энгийн төрөл юм. Генераторууд нь суурь байрлах хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамууд юм.
График нь дугуй цилиндрийг харуулж байна, зууван цилиндрийн онцгой тохиолдол. XY хавтгайд түүний проекц нь эллипс (манай тохиолдолд тойрог) - чиглүүлэгч, XZ дээр - тэгш өнцөгт байх болно - генераторууд нь Z тэнхлэгтэй параллель байдаг тул үүнийг ерөнхий тэгшитгэлээс авахын тулд танд хэрэгтэй болно. коэффициентүүдэд дараах утгыг өгнө:
Ердийн тэмдэгтүүдийн оронд серийн дугаартай x, y, z, x-г ашигладаг - энэ нь хамаагүй.
Үнэндээ 1/a2болон энд заасан бусад тогтмолууд нь ерөнхий тэгшитгэлд заасан ижил коэффициентүүд боловч тэдгээрийг энэ хэлбэрээр бичих нь заншилтай байдаг - энэ нь каноник дүрслэл. Цаашид зөвхөн ийм тэмдэглэгээг ашиглана.
Гипербол цилиндрийг ингэж тодорхойлдог. Схем нь адилхан - гипербол нь хөтөч болно.
y2=2px
Параболик цилиндрийг арай өөрөөр тодорхойлдог: түүний канон хэлбэр нь параметр гэж нэрлэгддэг p коэффициентийг агуулдаг. Үнэн хэрэгтээ коэффициент нь q=2p-тэй тэнцүү боловч үүнийг танилцуулсан хоёр хүчин зүйлд хуваах нь заншилтай байдаг.
Бас нэг төрлийн цилиндр бий: төсөөлөлтэй. Ийм цилиндрт ямар ч бодит цэг байдаггүй. Үүнийг тэгшитгэлээр тодорхойлнозууван цилиндр, гэхдээ нэгжийн оронд -1 байна.
Зуйван төрөл
Эллипсоидыг аль нэг тэнхлэгийн дагуу сунгаж болно (түүний дагуу энэ нь дээр дурдсан a, b, c тогтмолуудын утгуудаас хамаарна; илүү том коэффициент нь том тэнхлэгтэй тохирч байх нь ойлгомжтой.).
Хуурамч эллипсоид бас байдаг - координатын нийлбэрийг коэффициентүүдээр үржүүлсэн нь -1 байх нөхцөлд:
Гиперболоид
Тогтмолуудын аль нэгэнд хасах тэмдэг гарч ирэхэд эллипсоидын тэгшитгэл нь нэг хуудастай гиперболоидын тэгшитгэл болж хувирна. Энэ хасах нь x3 координатаас өмнө байх албагүй гэдгийг ойлгох хэрэгтэй! Энэ нь зөвхөн тэнхлэгүүдийн аль нь гиперболоидын эргэлтийн тэнхлэг болохыг тодорхойлдог (эсвэл үүнтэй зэрэгцээ, учир нь квадрат дээр нэмэлт нэр томъёо гарч ирэх үед (жишээлбэл, (x-2))2) зургийн төв шилжиж, үүний үр дүнд гадаргуу нь координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ хөдөлдөг). Энэ нь 2-р зэрэглэлийн бүх гадаргууд хамаарна.
Түүнээс гадна тэгшитгэлүүдийг каноник хэлбэрээр үзүүлсэн бөгөөд тогтмолыг өөрчлөх замаар өөрчлөх боломжтой гэдгийг ойлгох хэрэгтэй (тэмдэг хадгалагдсан!); Тэдний хэлбэр (гиперболоид, конус гэх мэт) хэвээр байх болно.
Энэ тэгшитгэлийг аль хэдийн хоёр хуудастай гиперболоид өгсөн.
Конус гадаргуу
Конус тэгшитгэлд нэгж байхгүй - тэгтэй тэнцүү байна.
Зөвхөн хязгаарлагдмал конус гадаргууг конус гэнэ. Доорх зургаас харахад график дээр конус гэж нэрлэгддэг хоёр зүйл байх болно.
Чухал тэмдэглэл: бүх гэж үзсэн каноник тэгшитгэлд тогтмолуудыг анхдагчаар эерэгээр авдаг. Үгүй бол тэмдэг нь эцсийн графикт нөлөөлж болзошгүй.
Координатын хавтгайнууд нь конусын тэгш хэмийн хавтгай болж, тэгш хэмийн төв нь эх дээр байрлана.
Төсөөллийн конус тэгшитгэлд зөвхөн нэмэх тал бий; энэ нь нэг бодит оноотой.
Параболоид
Сансар огторгуйн 2-р эрэмбийн гадаргуу нь ижил төстэй тэгшитгэлтэй байсан ч өөр өөр хэлбэртэй байж болно. Жишээлбэл, хоёр төрлийн параболоид байдаг.
x2/a2+y2/b2=2z
З тэнхлэг нь зурагт перпендикуляр байх үед эллипс параболоид нь эллипс рүү проекц болно.
x2/a2-y2/b2=2z
Гипербол параболоид: ZY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүд парабол, XY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүд нь гиперболуудыг үүсгэнэ.
огтлолцох онгоц
2-р зэрэглэлийн гадаргуу нь хавтгай болж доройтох тохиолдол байдаг. Эдгээр онгоцыг янз бүрийн аргаар байрлуулж болно.
Эхлээд огтлолцох хавтгайг авч үзье:
x2/a2-y2/b2=0
Каноник тэгшитгэлийн энэхүү өөрчлөлт нь зөвхөн хоёр огтлолцох хавтгай (төсөөл!); бүх бодит цэгүүд тэгшитгэлд байхгүй координатын тэнхлэг дээр байна (каноник дээр - Z тэнхлэг).
Зэрэгцээ онгоц
y2=a2
Зөвхөн нэг координат байх үед 2-р эрэмбийн гадаргуу нь хос зэрэгцээ хавтгай болж доройтдог. Өөр ямар ч хувьсагч Y-ийн оронд байж болохыг санаарай; дараа нь бусад тэнхлэгүүдтэй параллель онгоцууд гарч ирнэ.
y2=−a2
Энэ тохиолдолд тэд төсөөлөл болж хувирдаг.
Давхсан онгоц
y2=0
Ийм энгийн тэгшитгэлийн үед хос онгоц нэг болж доройтож - давхцдаг.
Гурван хэмжээст суурьтай тохиолдолд дээрх тэгшитгэл нь y=0 шулуун шугамыг тодорхойлохгүй гэдгийг битгий мартаарай! Үүнд бусад хоёр хувьсагч байхгүй, гэхдээ энэ нь тэдний утга тогтмол бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг.
Барилга
Оюутны хувьд хамгийн хэцүү ажлын нэг бол 2-р зэрэглэлийн гадаргууг барих явдал юм. Нэг координатын системээс нөгөөд шилжих нь тэнхлэгүүдтэй харьцах муруйн өнцгүүд болон төвийн офсетийг харгалзан үзвэл бүр ч хэцүү байдаг. Зургийн ирээдүйн дүр төрхийг аналитик ашиглан хэрхэн тууштай тодорхойлохыг давтан хэльеарга.
2-р зэрэглэлийн гадаргууг барихын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
- тэгшитгэлийг канон хэлбэрт оруулах;
- судлж буй гадаргуугийн төрлийг тодорхойлох;
- коэффициентийн утгууд дээр үндэслэн байгуулна.
Доорх бүх төрлийг авч үзнэ:
Нэгтгэхийн тулд энэ төрлийн даалгаврын нэг жишээг дэлгэрэнгүй тайлбарлая.
Жишээ
Тэгшитгэл байна гэж бодъё:
3(x2-2x+1)+6ж2+2z2+ 60 жил+144=0
Үүнийг каноник хэлбэрт оруулъя. Бүтэн квадратуудыг онцлон тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл бид боломжит нөхцлүүдийг нийлбэр эсвэл зөрүүний квадратын тэлэлт байхаар зохион байгуулъя. Жишээ нь: (a+1)2=a2+2a+1 бол a2+2a +1=(a+1)2. Бид хоёр дахь хагалгааг хийнэ. Энэ тохиолдолд хаалт нээх шаардлагагүй, учир нь энэ нь зөвхөн тооцооллыг хүндрүүлэх болно, гэхдээ нийтлэг хүчин зүйл 6-г (Y-ийн бүтэн квадрат бүхий хаалтанд) хасах шаардлагатай:
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
z хувьсагч энэ тохиолдолд зөвхөн нэг удаа тохиолддог - та үүнийг одоохондоо ганцаараа үлдээж болно.
Бид энэ үе шатанд тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийдэг: бүх үл мэдэгдэх зүйлсийн өмнө нэмэх тэмдэг тавьсан; зургаад хуваахад нэг нь үлдэнэ. Тиймээс эллипсоидыг тодорхойлсон тэгшитгэлтэй байна.
144-ийг 150-6-д оруулсны дараа -6-г баруун тийш шилжүүлсэн болохыг анхаарна уу. Яагаад заавал ингэж хийх болов? Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээн дэх хамгийн том хуваагч нь -6 байх тул үүн дээр хуваагдсаны дараанэг нь баруун талд үлдсэн бол 144-өөс яг 6-г "хойшлуулах" шаардлагатай (баруун талд байх ёстой гэдгийг тодорхойгүй тоогоор үржүүлээгүй чөлөөт нэр томъёо байгаагаар илэрхийлдэг).
Бүх зүйлийг зургаад хувааж эллипсоидын каноник тэгшитгэлийг гарга:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Өмнө нь хэрэглэж байсан 2-р эрэмбийн гадаргуугийн ангилалд зургийн төв нь координатын эхэнд байх онцгой тохиолдлыг авч үздэг. Энэ жишээнд офсет байна.
Үл мэдэгдэх хаалт бүрийг шинэ хувьсагч гэж бид таамаглаж байна. Энэ нь: a=x-1, b=y+5, c=z. Шинэ координатуудад эллипсоидын төв нь (0, 0, 0) цэгтэй давхцаж байгаа тул a=b=c=0, эндээс: x=1, y=-5, z=0. Анхны координатуудад зургийн төв нь (1, -5, 0) цэг дээр байрладаг.
Элипсоид хоёр эллипсээс гарна: эхнийх нь XY хавтгайд, хоёр дахь нь XZ хавтгайд (эсвэл YZ - хамаагүй). Хувьсагчдыг хуваах коэффициентийг каноник тэгшитгэлд квадратаар илэрхийлнэ. Иймд дээрх жишээн дээр хоёр, нэг, гурвын язгуурт хуваах нь илүү зөв байх болно.
Ү тэнхлэгтэй параллель эхний эллипсийн бага тэнхлэг нь хоёр байна. X тэнхлэгтэй параллель гол тэнхлэг нь хоёрын хоёр үндэс юм. Хоёр дахь эллипсийн жижиг тэнхлэг нь Y тэнхлэгтэй параллель хэвээр байна - энэ нь хоёртой тэнцүү байна. Мөн Z тэнхлэгтэй параллель гол тэнхлэг нь гурвын хоёр үндэстэй тэнцүү байна.
Анх тэгшитгэлээс олж авсан өгөгдлийн тусламжтайгаар каноник хэлбэрт шилжүүлснээр эллипсоид зурж болно.
Дүгнэлт
Энэ нийтлэлд тусгагдсанЭнэ сэдэв нь нэлээд өргөн цар хүрээтэй боловч үнэндээ таны харж байгаагаар тийм ч төвөгтэй биш юм. Түүний хөгжил нь гадаргуугийн нэрс, тэгшитгэлийг цээжлэх тэр мөчид (мөн мэдээжийн хэрэг тэд хэрхэн харагддаг) дуусдаг. Дээрх жишээн дээр бид алхам бүрийг нарийвчлан авч үзсэн боловч тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулахын тулд дээд математикийн хамгийн бага мэдлэг шаардагддаг бөгөөд оюутанд хүндрэл учруулах ёсгүй.
Одоо байгаа тэгш байдлын талаархи ирээдүйн хуваарьт дүн шинжилгээ хийх нь аль хэдийн илүү хэцүү ажил юм. Гэхдээ үүнийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд эллипс, парабол болон бусад харгалзах хоёр дахь эрэмбийн муруйг хэрхэн бүтээж байгааг ойлгоход хангалттай.
Муухайн тохиолдлууд - илүү энгийн хэсэг. Зарим хувьсагч байхгүйн улмаас өмнө дурдсанчлан зөвхөн тооцоог хялбарчлаад зогсохгүй бүтээн байгуулалтыг ч бас хялбаршуулсан болно.
Бүх төрлийн гадаргууг итгэлтэйгээр нэрлэж, тогтмолуудыг өөрчилж, графикийг нэг юмуу өөр хэлбэрт оруулснаар тухайн сэдвийг бүрэн эзэмшсэн болно.
Таны сурлагад амжилт!
