Их сургуулийн математикийн хамгийн хэцүү, ойлгомжгүй сэдвүүдийн нэг бол интеграл ба дифференциал тооцоо юм. Та эдгээр ойлголтуудыг мэдэж, ойлгохын зэрэгцээ тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвартай байх ёстой. Их сургуулийн олон техникийн салбарууд дифференциал болон интегралтай холбоотой байдаг.
Тэгшитгэлийн тухай товч мэдээлэл
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь боловсролын систем дэх математикийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Дифференциал тэгшитгэл гэдэг нь бие даасан хувьсагч, олох функц, тухайн функцийн деривативыг бие даасан гэж үзсэн хувьсагчидтай холбосон тэгшитгэл юм. Нэг хувьсагчийн функцийг олох дифференциал тооцоог энгийн гэж нэрлэдэг. Хэрэв хүссэн функц нь хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай бол хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг хэлнэ.
Үнэндээ тэгшитгэлийн тодорхой хариултыг олох нь интегралд ордог бөгөөд тэгшитгэлийн төрлөөр шийдвэрлэх арга нь тодорхойлогддог.
Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэдэг нь хувьсагч, хүссэн функц болон түүний анхны деривативыг тодорхойлж чадах тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлийг тодорхой, далд, дифференциал гэсэн гурван хэлбэрээр өгч болно.
Шийдвэрлэх шаардлагатай ойлголтууд
Анхны нөхцөл - бие даасан хувьсагчийн өгөгдсөн утгын хүссэн функцийн утгыг тохируулах.
Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл - анхны тэгшитгэлд яг орлуулсан аливаа дифференциал функц нь түүнийг ижил тэнцүү болгож хувиргадаг. Олж авсан тодорхой бус шийдэл нь тэгшитгэлийн интеграл болно.
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=y(x;C) функц бөгөөд дараах дүгнэлтийг хангаж чадна:
- Функц нь зөвхөн нэг дурын тогтмол С-тэй байж болно.
- Үүссэн функц нь дурын тогтмолын дурын утгуудын тэгшитгэлийн шийдэл байх ёстой.
- Өгөгдсөн анхны нөхцөлийн хувьд дурын тогтмолыг өвөрмөц аргаар тодорхойлж болох бөгөөд ингэснээр гарсан тодорхой шийдэл нь өгөгдсөн эхний нөхцөлтэй нийцэх болно.
Практикт Кошигийн асуудлыг ихэвчлэн ашигладаг - тодорхой бөгөөд эхэнд тавьсан нөхцөлтэй харьцуулж болохуйц шийдлийг олох.
Кошигийн теорем нь дифференциал тооцоололд тодорхой шийдийн оршин тогтнол, өвөрмөц байдлыг онцолсон теорем юм.
Геометрийн мэдрэмж:
- Ерөнхий шийдэл y=y(x;C)тэгшитгэл нь интеграл муруйнуудын нийт тоо юм.
- Дифференциал тооцоолол нь XOY хавтгай дахь цэгийн координат ба интеграл муруй руу татсан шүргэгчийг холбох боломжийг олгоно.
- Анхны нөхцөлийг тохируулна гэдэг нь онгоцонд цэг тавих гэсэн үг.
- Кошигийн асуудлыг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн ижил шийдлийг илэрхийлэх интеграл муруйнуудын бүхэл багцаас цорын ганц боломжит цэгийг дайран өнгөрөх цорын ганцыг нь сонгох шаардлагатай гэсэн үг.
- Коши теоремын нөхцөлийг нэг цэгт биелүүлнэ гэдэг нь интеграл муруй (түүнээс гадна зөвхөн нэг) хавтгайд сонгосон цэгийг заавал дайран өнгөрнө гэсэн үг.
Салах боломжтой хувьсагчийн тэгшитгэл
Тодорхойлолтоор дифференциал тэгшитгэл нь баруун тал нь нэг нь зөвхөн "x"-ээс, нөгөө нь зөвхөн "y"-ээс хамаардаг хоёр функцийн үржвэр (заримдаа харьцаа) хэлбэрээр дүрслэгдсэн буюу тусгагдсан тэгшитгэл юм. ". Энэ төрлийн тод жишээ: y'=f1(x)f2(y).
Тодорхой хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд эхлээд y'=dy/dx деривативыг хувиргах хэрэгтэй. Дараа нь тэгшитгэлийг өөрчилснөөр тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэх хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийсний дараа бид хоёр хэсгийг нэгтгэж, үр дүнг хялбаршуулдаг.
Нэг төрлийн тэгшитгэл
Тодорхойлолтын дагуу дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байвал нэгэн төрлийн гэж нэрлэж болно: y'=g(y/x).
Энэ тохиолдолд y/x=орлуулахыг ихэвчлэн ашигладагt(x).
Иймэрхүү тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг төрлийн тэгшитгэлийг салгаж болох хувьсагчтай хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та дараах үйлдлүүдийг хийх ёстой:
- Аливаа эх функцээс эх функцийн деривативыг шинэ тэгшитгэл болгон илэрхийлсэн дэлгэц.
- Дараагийн алхам бол үүссэн функцийг f(x;y)=g(y/x) хэлбэрт шилжүүлэх явдал юм. Энгийнээр хэлбэл, тэгшитгэлийг зөвхөн y/x харьцаа болон тогтмолуудыг агуулсан болго.
- Дараах орлуулалтыг хийнэ: y/x=t(x); у=t(x)x; y'=t'x + t. Орлуулалт нь тэгшитгэл дэх хувьсагчдыг хувааж, аажмаар энгийн хэлбэрт оруулахад тусална.
Шугаман тэгшитгэл
Иймэрхүү тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: шугаман дифференциал тэгшитгэл нь түүний баруун тал нь анхны функцтэй харьцуулахад шугаман илэрхийлэл хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн тэгшитгэл юм. Энэ тохиолдолд хүссэн функц: y'=a(x)y + b(x).
Тодорхойлолтыг дараах байдлаар өөрчилье: анхны функц болон түүний уламжлалыг нэгдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд оруулаад өөр хоорондоо үржүүлэхгүй бол 1-р эрэмбийн аливаа тэгшитгэл шугаман хэлбэртэй болно. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн "сонгодог хэлбэр" нь дараах бүтэцтэй байна: y' + P(x)y=Q(x).
Иймэрхүү тэгшитгэлийг шийдэхийн өмнө "сонгодог хэлбэр" рүү хөрвүүлэх хэрэгтэй. Дараагийн алхам бол шийдлийн аргыг сонгох болно: Бернулли арга эсвэл Лагранжийн арга.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхБернуллигийн танилцуулсан аргыг ашиглан шугаман дифференциал тэгшитгэлийг эх хэлбэрээр нь өгөгдсөн U(x) ба V(x) функцуудтай харьцуулахад тусдаа хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлд орлуулах, багасгахыг хэлнэ.
Лагранжийн арга нь анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олох явдал юм.
- Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ижил шийдийг олох шаардлагатай. Хайсны дараа бид y=y(x, C) функцтэй болно, энд C нь дурын тогтмол юм.
- Бид ижил хэлбэрээр анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байгаа боловч C=C(x) гэж үзнэ. Анхны тэгшитгэлд y=y(x, C(x)) функцийг орлуулж, C(x) функцийг олж, ерөнхий эх тэгшитгэлийн шийдийг бичнэ.
Бернулли тэгшитгэл
Бернуллигийн тэгшитгэл - хэрэв тооцооллын баруун тал нь f(x;y)=a(x)y + b(x)yk хэлбэртэй байвал k нь аль ч боломжит рационал тоон утгыг илэрхийлнэ. k=0 ба k=1 тохиолдолд жишээ.
Хэрэв k=1 бол тооцоог салгах боломжтой болох ба k=0 үед тэгшитгэл шугаман хэвээр байна.
Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. Бидэнд стандарт Бернулли тэгшитгэл бий. Үүнийг шугаман болгон багасгах ёстой, үүний тулд та тэгшитгэлийг yk-д хуваах хэрэгтэй. Энэ үйлдлийн дараа z(x)=y1-k гэж солино. Хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийг шугаман хэлбэр болгон бууруулна, ихэнхдээ орлуулах аргаар z=UV.
Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлүүд
Тодорхойлолт. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 бүтэцтэй тэгшитгэлийг бүтнээр нь тэгшитгэл гэнэ.дифференциал, хэрэв дараах нөхцөл хангагдсан бол (энэ нөхцөлд "d" нь хэсэгчилсэн дифференциал болно): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Өмнө нь авч үзсэн бүх нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дифференциал болгон харуулах боломжтой.
Ийм тооцоог хэд хэдэн аргаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч тэд бүгд нөхцөл байдлын шалгалтаас эхэлдэг. Хэрэв нөхцөл хангагдсан бол тэгшитгэлийн зүүн талын муж нь үл мэдэгдэх U(x;y) функцийн нийт дифференциал болно. Дараа нь тэгшитгэлийн дагуу dU (x; y) нь тэгтэй тэнцүү байх тул нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийн ижил интеграл нь U (x; y) u003d C хэлбэрээр харагдах болно. Тиймээс тэгшитгэлийн шийдийг U (x; y) функцийг олох хүртэл багасгасан.
Интеграцийн хүчин зүйл
Хэрэв dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx нөхцөл тэгшитгэлд хангагдаагүй бол тэгшитгэл нь бидний дээр авч үзсэн хэлбэргүй байна. Гэхдээ заримдаа M(x;y) функцийг сонгох боломжтой бөгөөд үүнийг үржүүлснээр тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн хэлбэрийг бүрэн "диффур" хэлбэрээр авдаг. M (x;y) функцийг нэгтгэх хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.
Интегратор нь зөвхөн нэг хувьсагчийн функц болох үед л олно.
