Бид дифференциал тэгшитгэл гэх мэт гайхамшигтай математик хэрэгслийн түүхээс эхлэх ёстой гэж бодож байна. Бүх дифференциал ба интеграл тооцооллын нэгэн адил эдгээр тэгшитгэлийг 17-р зууны төгсгөлд Ньютон зохион бүтээсэн. Тэрээр энэхүү нээлтээ маш чухал гэж үзсэн тул өнөө үед "Байгалийн бүх хуулиудыг дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлсэн байдаг" гэсэн мессежийг шифрлэсэн байна. Энэ нь хэтрүүлэг мэт санагдаж болох ч үнэн. Физик, хими, биологийн аливаа хуулийг эдгээр тэгшитгэлээр дүрсэлж болно.
Математикч Эйлер, Лагранж нар дифференциал тэгшитгэлийн онолыг хөгжүүлэх, бүтээхэд асар их хувь нэмэр оруулсан. Тэд 18-р зуунд аль хэдийн их дээд сургуулиудын ахлах курст сурч байгаа зүйлээ нээж, хөгжүүлсэн.
Анри Пуанкарегийн ачаар дифференциал тэгшитгэлийг судлах шинэ үе шат эхэлсэн. Тэрээр "дифференциал тэгшитгэлийн чанарын онол"-ыг бүтээсэн бөгөөд энэ нь нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолтой хослуулан топологийн үндэс суурь болох орон зай, түүний шинжлэх ухаанд чухал хувь нэмэр оруулсан.өмч.
Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?
Олон хүмүүс "дифференциал тэгшитгэл" гэсэн ганц хэллэгээс айдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нийтлэлд бид энэ маш хэрэгтэй математик аппаратын мөн чанарыг бүхэлд нь нарийвчлан тайлбарлах болно, энэ нь үнэндээ нэрнээс нь харахад тийм ч төвөгтэй биш юм. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай ярьж эхлэхийн тулд эхлээд энэ тодорхойлолттой угаасаа холбоотой үндсэн ойлголтуудтай танилцах хэрэгтэй. Мөн бид дифференциалаас эхэлнэ.
Дифференциал
Энэ ойлголтыг сургуулиасаа олон хүн мэддэг. Гэсэн хэдий ч үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье. Функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Бид үүнийг аль ч сегмент нь шулуун шугам хэлбэртэй байхаар нэмэгдүүлэх боломжтой. Үүн дээр бид бие биентэйгээ хязгааргүй ойрхон хоёр цэгийг авдаг. Тэдний координатын (x эсвэл y) хоорондын зөрүү нь хязгааргүй бага утгатай байх болно. Үүнийг дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд dy (y-ээс ялгавартай) ба dx (х-ээс ялгаатай) тэмдгээр тэмдэглэнэ. Дифференциал нь хязгаарлагдмал утга биш бөгөөд энэ нь түүний утга, үндсэн үүрэг гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм.
Одоо бид дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг тайлбарлахад хэрэг болох дараагийн элементийг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ бол дериватив.
дериватив
Бид бүгд сургуульд байхдаа энэ ойлголтыг сонссон байх. Дериватив нь функцийн өсөлт эсвэл бууралтын хурд юм. Гэсэн хэдий ч, энэ тодорхойлолтоосих зүйл тодорхойгүй болно. Деривативыг дифференциалаар тайлбарлахыг хичээцгээе. Бие биенээсээ хамгийн бага зайд байрлах хоёр цэг бүхий функцийн хязгааргүй жижиг сегмент рүү буцъя. Гэхдээ энэ зайд ч гэсэн функц тодорхой хэмжээгээр өөрчлөгдөж чаддаг. Мөн энэ өөрчлөлтийг тайлбарлахын тулд тэд дифференциалуудын харьцаагаар бичиж болох деривативыг гаргаж ирэв: f(x)'=df/dx.
Одоо деривативын үндсэн шинж чанарыг авч үзэх нь зүйтэй юм. Тэдгээрийн гурав нь л байна:
- Нийлбэр эсвэл зөрүүний деривативыг деривативын нийлбэр эсвэл зөрүүгээр илэрхийлж болно: (a+b)'=a'+b' ба (a-b)'=a'-b'.
- Хоёр дахь шинж чанар нь үржүүлэхтэй холбоотой. Бүтээгдэхүүний дериватив нь нэг функцийн үржвэр ба нөгөө функцийн деривативын нийлбэр юм: (ab)'=a'b+ab'.
- Зөрүүний деривативыг дараах тэгшитгэлээр бичиж болно: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Эдгээр бүх шинж чанарууд нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олоход хэрэг болно.
Хэсэгчилсэн деривативууд бас бий. Бидэнд x ба y хувьсагчдаас хамаарах z функц байна гэж бодъё. Энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативыг х-тэй харьцуулахын тулд бид y хувьсагчийг тогтмол гэж аваад зүгээр л ялгах хэрэгтэй.
Интеграл
Өөр нэг чухал ойлголт бол интеграл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь деривативын шууд эсрэг зүйл юм. Хэд хэдэн төрлийн интеграл байдаг ч хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бидэнд хамгийн энгийн тодорхойгүй интеграл хэрэгтэй.
Тэгвэл интеграл гэж юу вэ? Бидэнд ямар нэг хамаарал байна гэж бодъё fx-ээс. Үүнээс бид интегралыг аваад F (x) функцийг (ихэвчлэн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг) авдаг бөгөөд дериватив нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Тиймээс F(x)'=f(x). Үүнээс үүдэн деривативын интеграл нь анхны функцтэй тэнцүү байна.
Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхдээ интегралын утга, функцийг ойлгох нь маш чухал, учир нь та шийдлийг олохын тулд тэдгээрийг маш олон удаа авах шаардлагатай болно.
Тэгшитгэл нь мөн чанараасаа хамааран өөр өөр байдаг. Дараагийн хэсэгт бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзээд дараа нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.
Дифференциал тэгшитгэлийн ангиуд
"Diffury" нь тэдгээрт хамаарах деривативуудын дарааллаар хуваагдана. Тиймээс эхний, хоёр, гурав, түүнээс дээш дараалал байдаг. Тэдгээрийг энгийн болон хэсэгчилсэн дериватив гэж хэд хэдэн ангилалд хувааж болно.
Энэ өгүүллээр бид нэгдүгээр эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Дараах хэсгүүдэд бид жишээнүүд болон тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замын талаар ярилцах болно. Эдгээр нь хамгийн түгээмэл төрлийн тэгшитгэлүүд учраас бид зөвхөн ODE-г авч үзэх болно. Энгийнийг дэд зүйлүүдэд хуваадаг: салангид хувьсагчтай, нэгэн төрлийн ба гетероген. Дараа нь та тэдгээр нь бие биенээсээ хэрхэн ялгаатай болохыг мэдэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.
Нэмж дурдахад эдгээр тэгшитгэлийг нэгтгэж болох бөгөөд ингэснээр бид эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна. Бид мөн ийм системийг авч үзэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.
Бид яагаад зөвхөн эхний захиалгыг авч үзэж байна вэ? Учир нь та энгийн нэгээс эхэлж, дифференциалтай холбоотой бүх зүйлийг тайлбарлах хэрэгтэйтэгшитгэлийг нэг өгүүлэлд оруулах нь ердөө боломжгүй юм.
Салах боломжтой хувьсагч тэгшитгэлүүд
Эдгээр нь магадгүй хамгийн энгийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлүүд юм. Үүнд: y'=f(x)f(y) ингэж бичиж болох жишээнүүд орно. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүсмэлийг дифференциалын харьцаагаар илэрхийлэх томъёо хэрэгтэй: y'=dy/dx. Үүнийг ашигласнаар бид дараах тэгшитгэлийг авна: dy/dx=f(x)f(y). Одоо бид стандарт жишээнүүдийг шийдвэрлэх арга руу шилжиж болно: бид хувьсагчдыг хэсэг болгон хуваах болно, өөрөөр хэлбэл бид y хувьсагчтай бүх зүйлийг dy байрлаж байгаа хэсэг рүү шилжүүлж, x хувьсагчтай ижил зүйлийг хийх болно. Бид dy/f(y)=f(x)dx хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь хоёр хэсгийн интегралыг авах замаар шийдэгддэг. Интегралыг авсны дараа тохируулах ёстой тогтмолыг бүү март.
Аливаа "дифүрац"-ын шийдэл нь х-ийн у-аас хамаарах функц юм (манай тохиолдолд) эсвэл тоон нөхцөл байгаа бол хариулт нь тоо хэлбэртэй байна. Тодорхой жишээг ашиглан шийдлийн бүх явцыг шинжье:
y'=2ysin(x)
Хувьсагчдыг өөр чиглэлд шилжүүлэх:
dy/y=2sin(x)dx
Одоо бид интеграл авч байна. Тэдгээрийг бүгдийг нь интегралын тусгай хүснэгтээс олж болно. Мөн бид дараахыг авна:
ln(y)=-2cos(x) + C
Хэрэв шаардлагатай бол бид "y"-г "x"-ын функцээр илэрхийлж болно. Одоо бид нөхцөл өгөөгүй бол дифференциал тэгшитгэл шийдэгдсэн гэж хэлж болно. Нөхцөл өгч болно, жишээ нь y(n/2)=e. Дараа нь бид эдгээр хувьсагчийн утгыг шийдэлд орлуулж болнотогтмолын утгыг ол. Бидний жишээнд энэ нь 1-тэй тэнцүү байна.
Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл
Одоо илүү хэцүү хэсэг рүүгээ орцгооё. Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y'=z(x, y). Хоёр хувьсагчийн зөв функц нь нэгэн төрлийн бөгөөд үүнийг x дээр z, у дээр z гэсэн хоёр хамааралд хувааж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгах нь маш энгийн: бид x=kx ба y=ky орлуулалтыг хийнэ. Одоо бид бүгдийг цуцална. Хэрэв эдгээр бүх үсгийг багасгасан бол тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байх бөгөөд та үүнийг шийдвэрлэхийн тулд аюулгүйгээр үргэлжлүүлж болно. Урагшаа хараад, эдгээр жишээнүүдийг шийдвэрлэх зарчим нь бас маш энгийн гэж хэлье.
Бид орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=t(x)x, энд t нь x-ээс бас хамааралтай зарим функц юм. Дараа нь бид деривативыг илэрхийлж болно: y'=t'(x)x+t. Энэ бүгдийг анхны тэгшитгэлдээ орлуулж, хялбарчлахад бид t ба x салж болох хувьсагчтай жишээг олж авна. Бид үүнийг шийдэж t(x) хамаарлыг авна. Бид үүнийг авахдаа y=t(x)x-г өмнөх орлуулалтдаа орлуулна. Дараа нь бид x-ээс y-ийн хамаарлыг олж авна.
Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд жишээг харцгаая: xy'=y-xey/x.
Солилтоор шалгахад бүх зүйл багасдаг. Тэгэхээр тэгшитгэл үнэхээр нэгэн төрлийн байна. Одоо бид өөр нэг орлуулалтыг хийж байна: y=t(x)x ба y'=t'(x)x+t(x). Хялбаршуулсаны дараа бид дараах тэгшитгэлийг авна: t'(x)x=-et. Бид гарсан жишээг салангид хувьсагчаар шийдэж, дараахийг авна: e-t=ln(Cx). Бид зөвхөн t-г y/x-ээр солих хэрэгтэй (эцсийн эцэст хэрэв y=tx бол t=y/x), бид олж авна.хариулт: e-y/x=ln(xC).
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
Өөр нэг том сэдэв ярих цаг боллоо. Бид нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шинжлэх болно. Тэд өмнөх хоёроос юугаараа ялгаатай вэ? Үүнийг олж мэдье. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y' + g(x)y=z(x). z(x) ба g(x) нь тогтмол байж болохыг тодруулах нь зүйтэй.
Тэгээд одоо жишээ: y' - yx=x2.
Үүнийг шийдэх хоёр арга байгаа бөгөөд бид хоёуланг нь дарааллаар нь шийдвэрлэх болно. Эхнийх нь дурын тогтмолуудыг өөрчлөх арга юм.
Тэгшитгэлийг ийм байдлаар шийдэхийн тулд эхлээд баруун талыг тэгтэй тэнцүүлж, хэсгүүдийг шилжүүлсний дараа үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх ёстой:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Одоо бид C1 тогтмолыг олох ёстой v(x) функцээр солих хэрэгтэй.
y=vex2/2.
Деривативыг өөрчилье:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Эдгээр илэрхийллийг анхны тэгшитгэлд орлуул:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Та зүүн талд хоёр нөхцөл цуцлагдаж байгааг харж болно. Хэрэв зарим жишээнд ийм зүйл болоогүй бол та буруу зүйл хийсэн. Үргэлжлүүлэх:
v'ex2/2 =x2.
Одоо бид хувьсагчдыг салгах шаардлагатай ердийн тэгшитгэлийг шийдэж байна:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Интегралыг гаргаж авахын тулд бид энд хэсгүүдээр интегралчлалыг ашиглах ёстой. Гэсэн хэдий ч энэ нь бидний нийтлэлийн сэдэв биш юм. Хэрэв та сонирхож байгаа бол ийм үйлдлүүдийг өөрөө хийж сурах боломжтой. Энэ нь хэцүү биш бөгөөд хангалттай ур чадвар, анхаарал болгоомжтой байх нь их цаг хугацаа шаарддаггүй.
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь арга болох Бернуллигийн арга руу орцгооё. Аль арга нь илүү хурдан бөгөөд хялбар байх нь танаас хамаарна.
Тиймээс тэгшитгэлийг энэ аргаар шийдвэрлэхдээ орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=kn. Энд k ба n нь х-ээс хамааралтай зарим функцууд юм. Дараа нь дериватив нь иймэрхүү харагдах болно: y'=k'n+kn'. Хоёр орлуулалтыг тэгшитгэлд орлуулна уу:
k'n+kn'+xkn=x2.
Бүлэг:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Одоо бид хаалтанд байгаа зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Одоо, хэрэв та үүссэн хоёр тэгшитгэлийг нэгтгэвэл та шийдвэрлэх шаардлагатай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг авах болно:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Эхний тэгшитгэлийг ердийн тэгшитгэл шиг шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд та хувьсагчдыг салгах хэрэгтэй:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Интегралыг аваад: ln(n)=x2/2. Хэрэв бид n-ийг илэрхийлбэл:
n=ex2/2.
Одоо бид үүссэн тэгшитгэлийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж байна:
k'ex2/2=x2.
Хувиргаснаар бид эхний аргын адил тэгш байдлыг олж авна:
dk=x2/ex2/2.
Бид цаашдын алхам хийхгүй. Эхний дарааллын дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ихээхэн бэрхшээл учруулдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч та энэ сэдвийг гүнзгийрүүлэн судлах тусам улам сайжирч эхэлдэг.
Дифференциал тэгшитгэлийг хаана ашигладаг вэ?
Дифференциал тэгшитгэлийг физикт маш идэвхтэй ашигладаг, учир нь бараг бүх үндсэн хуулиуд дифференциал хэлбэрээр бичигдсэн байдаг бөгөөд бидний харж буй томьёо нь эдгээр тэгшитгэлийн шийдэл юм. Химийн хувьд тэдгээрийг ижил шалтгаанаар ашигладаг: үндсэн хуулиуд нь тэдгээрээс гаралтай. Биологийн хувьд дифференциал тэгшитгэлийг махчин-олз гэх мэт системийн зан төлөвийг загварчлахад ашигладаг. Тэдгээрийг мөн бичил биетний колонийн нөхөн үржихүйн загварыг бий болгоход ашиглаж болно.
Дифференциал тэгшитгэл амьдралд хэрхэн туслах вэ?
Энэ асуултын хариулт энгийн: арга ч үгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер биш бол тэд танд ашигтай байх магадлал багатай. Гэсэн хэдий ч ерөнхий хөгжлийн хувьд дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, түүнийг хэрхэн шийдэж байгааг мэдэх нь гэмтээхгүй. Тэгээд дараа нь хүү эсвэл охины асуулт "дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?" чамайг төөрөгдүүлэхгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер бол энэ сэдвийн ач холбогдлыг аль ч шинжлэх ухаанд та өөрөө ойлгодог. Гэхдээ хамгийн гол нь одоо "Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?" Та үргэлж хариулж чадна. Зөвшөөрч байна, үргэлж сайхан байдагХүмүүс ойлгохоос айдаг зүйлийг та ойлгох үед.
Сургалтын үндсэн асуудлууд
Энэ сэдвийг ойлгоход тулгардаг гол асуудал бол функцүүдийг нэгтгэх, ялгах чадвар муу юм. Хэрэв та дериватив болон интеграл авахдаа муу бол илүү ихийг сурч, интеграл, ялгах янз бүрийн аргуудыг эзэмшиж, зөвхөн дараа нь өгүүлэлд дурдсан материалыг судалж эхлэх хэрэгтэй.
Зарим хүмүүс dx-г шилжүүлж болно гэдгийг мэдээд гайхдаг, учир нь өмнө нь (сургуульд) dy/dx бутархай хуваагдашгүй гэж заасан байдаг. Эндээс та деривативын талаархи ном зохиолыг уншиж, энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед зохицуулж болох хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ихэвчлэн авч болохгүй функц эсвэл интеграл байдгийг олон хүн шууд ойлгодоггүй бөгөөд энэ төөрөгдөл нь тэдэнд маш их бэрхшээл учруулдаг.
Илүү сайн ойлгохын тулд өөр юуг судалж болох вэ?
Дифференциал тооцооллын ертөнцөд төрөлжсөн сурах бичгүүд, жишээлбэл, математикийн бус мэргэжлээр суралцаж буй оюутнуудад зориулсан тооцоололд хамрагдаж эхлэх нь хамгийн сайн арга юм. Дараа нь та илүү төрөлжсөн уран зохиол руу шилжиж болно.
Дифференциал тэгшитгэлээс гадна интеграл тэгшитгэлүүд байдаг тул танд үргэлж тэмүүлэх зүйл, судлах зүйл байх болно гэдгийг хэлэх хэрэгтэй.
Дүгнэлт
Уншсаны дараа тэгнэ гэж найдаж байнаЭнэ нийтлэл нь дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн зөв шийдвэрлэх тухай ойлголтыг өгсөн.
Ямар ч байсан математик бидний амьдралд ямар нэгэн байдлаар хэрэг болно. Энэ нь логик, анхаарлыг хөгжүүлдэг бөгөөд үүнгүйгээр хүн бүр гаргүй мэт байдаг.
