Нэг жигд таталцлын талбарт сунадаггүй жингүй утас (биеийн жинтэй харьцуулахад түүний масс нь бага байдаг) дээр өлгөгдсөн материаллаг цэгээс (бие) бүрдэх механик системийг математикийн дүүжин гэнэ (өөр нэр нь осциллятор). Энэ төхөөрөмжийн өөр төрлүүд байдаг. Утасны оронд жингүй саваа ашиглаж болно. Математикийн дүүжин нь олон сонирхолтой үзэгдлийн мөн чанарыг тодорхой харуулж чадна. Бага хэлбэлзлийн далайцтай түүний хөдөлгөөнийг гармоник гэж нэрлэдэг.
Механик системийн тойм
Энэ савлуурын хэлбэлзлийн үеийн томъёог Голландын эрдэмтэн Гюйгенс (1629-1695) гаргаж авсан. И. Ньютоны энэ үеийн хүн энэ механик системд их дуртай байсан. 1656 онд тэрээр анхны дүүжин цагийг бүтээжээ. Тэд цагийг онцгой байдлаар хэмжсэнТэр үеийн нарийвчлалын хувьд. Энэхүү шинэ бүтээл нь бие махбодийн туршилт, практик үйл ажиллагааг хөгжүүлэх томоохон алхам болсон.
Хэрэв дүүжин тэнцвэрт байдалд (босоо унжсан) байвал таталцлын хүчийг утас таталтын хүчээр тэнцвэржүүлнэ. Сунгах боломжгүй утас дээрх хавтгай дүүжин нь холболттой хоёр зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий систем юм. Зөвхөн нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг өөрчлөхөд түүний бүх хэсгүүдийн шинж чанар өөрчлөгддөг. Тиймээс, утас нь саваагаар солигдвол энэ механик систем нь зөвхөн 1 градусын эрх чөлөөтэй байх болно. Математикийн дүүжин ямар шинж чанартай вэ? Энэхүү энгийн системд эмх замбараагүй байдал нь үе үе цочроох нөлөөн дор үүсдэг. Түдгэлзүүлэх цэг нь хөдөлдөггүй, харин хэлбэлздэг тохиолдолд дүүжин нь шинэ тэнцвэрийн байрлалтай болно. Дээш доошоо хурдацтай хэлбэлзэлтэй энэ механик систем нь доошоо доошоо тогтвортой байрлалыг олж авдаг. Тэр бас өөрийн гэсэн нэртэй. Үүнийг Капицагийн дүүжин гэдэг.
Дүүжин шинж чанар
Математикийн дүүжин нь маш сонирхолтой шинж чанартай. Эдгээр нь бүгд мэдэгдэж байгаа физик хуулиудаар батлагдсан байдаг. Бусад дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь биеийн хэмжээ, хэлбэр, түдгэлзүүлэх цэг ба хүндийн төвийн хоорондох зай, энэ цэгтэй харьцуулахад массын тархалт зэрэг янз бүрийн нөхцөл байдлаас хамаарна. Тийм ч учраас дүүжлэгдсэн биений хугацааг тодорхойлох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математик дүүжингийн хугацааг тооцоолох нь илүү хялбар бөгөөд томъёог доор өгөх болно. Үүнтэй төстэй ажиглалтын үр дүндмеханик системүүд дараах хэв маягийг бий болгож чадна:
• Хэрэв савлуурын уртыг ижил байлгахын зэрэгцээ өөр өөр жин өлгөх юм бол тэдгээрийн хэлбэлзлийн хугацаа нь ижил байх болно, гэхдээ тэдгээрийн масс нь маш их ялгаатай байх болно. Иймд ийм дүүжин байх хугацаа нь ачааны массаас хамаарахгүй.
• Системийг эхлүүлэх үед савлуур хэт том биш өөр өөр өнцгөөр хазайсан бол ижил хугацаанд хэлбэлзэж эхлэх боловч далайц нь өөр өөр байна. Тэнцвэрийн төвөөс хазайлт нь тийм ч том биш л бол тэдгээрийн хэлбэрийн хэлбэлзэл нь гармониктай нэлээд ойрхон байх болно. Ийм дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас ямар ч байдлаар хамаардаггүй. Энэхүү механик системийн энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг (Грек хэлнээс "chronos" - цаг хугацаа, "isos" - тэнцүү).
Математик дүүжингийн үе
Энэ үзүүлэлт нь байгалийн хэлбэлзлийн үеийг илэрхийлнэ. Нарийн төвөгтэй үг хэллэгийг үл харгалзан үйл явц нь өөрөө маш энгийн. Хэрэв математик дүүжингийн утасны урт L, чөлөөт уналтын хурдатгал нь g бол энэ утга нь:
T=2π√L/g
Байгалийн жижиг хэлбэлзлийн хугацаа нь савлуурын масс ба хэлбэлзлийн далайцаас ямар ч хамааралгүй. Энэ тохиолдолд дүүжин нь багассан урттай математикийн дүүжин шиг хөдөлдөг.
Математик дүүжингийн савлуур
Математик дүүжин хэлбэлздэг бөгөөд үүнийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлж болно:
x + ω2 sin x=0, энд x (t) нь үл мэдэгдэх функц (энэ нь доод цэгээс хазайх өнцөг юм.t цаг үеийн тэнцвэрийн байрлал, радианаар илэрхийлэгдсэн); ω нь эерэг тогтмол бөгөөд энэ нь савлуурын параметрүүдээс тодорхойлогддог (ω=√g/L, энд g нь чөлөөт уналтын хурдатгал, L нь математик дүүжин (суспенз) -ийн урт юм.
Тэнцвэрийн байрлалын ойролцоох жижиг хэлбэлзлийн тэгшитгэл (гармоник тэгшитгэл) дараах байдалтай байна:
x + ω2 sin x=0
Дүүжингийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөн
Жижиг хэлбэлзэл үүсгэдэг математик дүүжин синусоидын дагуу хөдөлдөг. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь ийм хөдөлгөөний бүх шаардлага, параметрүүдийг хангадаг. Замын чиглэлийг тодорхойлохын тулд бие даасан тогтмолуудыг тодорхойлох хурд, координатыг зааж өгөх ёстой:
x=Нүгэл (θ0 + ωt), энд θ0 нь эхний үе шат, A нь хэлбэлзлийн далайц, ω нь хөдөлгөөний тэгшитгэлээр тодорхойлогддог мөчлөгийн давтамж юм.
Математик дүүжин (том далайцын томъёо)
Хэлбэлзлээ үлэмж далайцтай хийдэг энэхүү механик систем нь хөдөлгөөний илүү төвөгтэй хуулиудад захирагддаг. Ийм дүүжингийн хувьд тэдгээрийг дараах томъёогоор тооцоолно:
sin x/2=usn(ωt/u), энд sn нь Якоби синус бөгөөд u-ийн хувьд < 1 нь үечилсэн функц бөгөөд жижиг u-ийн хувьд энгийн тригонометрийн синустай давхцдаг. u-ийн утгыг дараах илэрхийллээр тодорхойлно:
u=(ε + ω2)/2ω2, энд ε=E/mL2 (мЛ2 нь дүүжингийн энерги).
Шугаман бус дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг тодорхойлохтомъёоны дагуу гүйцэтгэнэ:
T=2π/Ω, энд Ω=π/2ω/2K(u), K нь эллипс интеграл, π - 3, 14.
Савлуурын салаа дагуух хөдөлгөөн
Сепаратрикс нь хоёр хэмжээст фазын орон зайтай динамик системийн замнал юм. Математикийн дүүжин түүний дагуу үе үе хөдөлдөггүй. Цаг хугацааны хязгааргүй алслагдсан агшинд тэр хамгийн дээд байрлалаас хажуу тийшээ тэг хурдтайгаар унаж, дараа нь аажим аажмаар өргөдөг. Энэ нь эцэстээ зогсч, анхны байрлалдаа буцаж ирдэг.
Хэрэв савлуурын хэлбэлзлийн далайц π тоонд ойртож байвал энэ нь фазын хавтгай дээрх хөдөлгөөн тусгаарлалт руу ойртож байгааг илтгэнэ. Энэ тохиолдолд бага зэрэг хөдөлгөх үе үеийн хүчний үйлчлэлээр механик систем эмх замбараагүй байдлыг харуулдаг.
Математикийн дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой φ өнцгөөр хазайхад Fτ=–mg sin φ таталцлын шүргэгч хүч үүснэ. Хасах тэмдэг нь энэ шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг нь дүүжин хазайлтаас эсрэг чиглэлд чиглэнэ гэсэн үг юм. L радиустай тойргийн нумын дагуу савлуурын шилжилтийг х гэж тэмдэглэхэд түүний өнцгийн шилжилт нь φ=x/L-тэй тэнцүү байна. Хурдатгалын вектор ба хүчний төсөөлөлд зориулагдсан Исаак Ньютоны хоёр дахь хууль нь хүссэн утгыг өгнө:
мг τ=Fτ=–мг син x/L
Энэ харьцаанаас харахад энэ савлуур нь шугаман бус систем болох нь тодорхой байна, учир нь буцаж ирэхийг эрмэлздэг хүчЭнэ нь тэнцвэрийн байрлалтай үргэлж пропорциональ байна x шилжилттэй биш харин x/L нүгэлтэй.
Математикийн дүүжин жижиг хэлбэлзэл хийх үед л гармоник осциллятор болно. Өөрөөр хэлбэл гармоник чичиргээг гүйцэтгэх чадвартай механик систем болж хувирдаг. Энэ ойролцоо нь 15-20 ° өнцгийн хувьд бараг хүчинтэй. Том далайцтай савлуурын хэлбэлзэл нь гармоник биш.
Дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн Ньютоны хууль
Хэрэв энэ механик систем жижиг чичиргээ хийдэг бол Ньютоны 2-р хууль дараах байдлаар харагдана:
мг τ=Fτ=–m g/L x.
Үүнд үндэслэн математик дүүжингийн тангенциал хурдатгал нь хасах тэмдэгтэй түүний шилжилттэй пропорциональ байна гэж дүгнэж болно. Энэ бол систем гармоник осциллятор болох нөхцөл юм. Шилжилт ба хурдатгалын хоорондох пропорциональ ашгийн модуль нь дугуй давтамжийн квадраттай тэнцүү байна:
ω02=г/л; ω0=√ г/л.
Энэ томьёо нь энэ төрлийн савлуурын жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийг тусгасан болно. Үүнд үндэслэн
T=2π/ ω0=2π√ г/л.
Энерги хэмнэлтийн хуульд үндэслэсэн тооцоо
Дүүжингийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөний шинж чанарыг мөн энерги хадгалагдах хуулийг ашиглан тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд таталцлын орон дахь дүүжингийн боломжит энерги нь:
гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Нийт механик энергикинетик буюу хамгийн их потенциалтай тэнцүү: Epmax=Ekmsx=E
Энерги хадгалагдах хууль бичигдсэний дараа тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талын деривативыг авна:
Ep + Ek=const
Тогтмол утгуудын дериватив нь 0 байх тул (Ep + Ek)'=0. Нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=мг/2L2xx'=мг/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, иймээс:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Сүүлийн томьёонд үндэслэн бид дараахыг олно: α=- g/Lx.
Математик дүүжингийн практик хэрэглээ
Чөлөөт уналтын хурдатгал нь газарзүйн өргөрөгөөс хамаарч өөр өөр байдаг, учир нь манай гараг даяар дэлхийн царцдасын нягт ижил биш байдаг. Өндөр нягтралтай чулуулаг үүссэн тохиолдолд энэ нь бага зэрэг өндөр байх болно. Математик дүүжингийн хурдатгалыг ихэвчлэн геологи хайгуулд ашигладаг. Энэ нь янз бүрийн ашигт малтмал хайхад ашиглагддаг. Зүгээр л дүүжин савлуурын тоог тоолж үзвэл та дэлхийн гүнээс нүүрс эсвэл хүдэр олж болно. Энэ нь ийм чулуужсан олдворууд нь тэдгээрийн доор байрлах сул чулуулгаас илүү нягт, масстай байдагтай холбоотой.
Математикийн савлуурыг Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед зэрэг нэрт эрдэмтэд ашиглаж байжээ. Тэдний олонх нь энэхүү механик систем нь хүний хувь заяа, амьдралд нөлөөлж чадна гэдэгт итгэдэг байв. Архимед тооцоололдоо математикийн дүүжин ашигласан. Өнөө үед олон ид шидтэнгүүд, зөн билэгтнүүдЭнэ механик системийг ашиглан тэдний зөгнөлийг биелүүлэх эсвэл алга болсон хүмүүсийг хайх.
Францын алдарт одон орон судлаач, байгаль судлаач К. Фламмарион мөн судалгаандаа математикийн дүүжин ашигласан. Түүний тусламжтайгаар шинэ гариг нээгдэх, Тунгуска солирын харагдах байдал болон бусад чухал үйл явдлуудыг урьдчилан таамаглаж чадсан гэж тэрээр мэдэгдэв. Дэлхийн 2-р дайны үеэр Германд (Берлин) тусгай дүүжин институт ажиллаж байв. Өнөөдөр Мюнхений Парапсихологийн хүрээлэн ижил төстэй судалгаа хийж байна. Энэ байгууллагын ажилчид савлууртай хийх ажлаа "цацраг туяа" гэж нэрлэдэг.
