Их эсвэл бага санамсаргүй тохиолдлуудыг тооцоолох боломжтой эсэх талаар олон хүн бодох нь юу л бол. Энгийнээр хэлбэл, шооны үхлийн аль тал нь дараа нь унахыг мэдэх нь бодитой юу. Үйл явдлын магадлалыг нэлээд өргөнөөр судалдаг магадлалын онол гэх шинжлэх ухааны үндэс суурийг тавьсан хоёр том эрдэмтэн энэ асуултыг тавьжээ.
Гарал үүсэл
Хэрэв та магадлалын онол гэж ийм ойлголтыг тодорхойлох гэж оролдвол дараахь зүйлийг олж авна: энэ бол санамсаргүй үйл явдлын тогтмол байдлыг судалдаг математикийн нэг салбар юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ ойлголт нь мөн чанарыг бүхэлд нь илчлэхгүй байгаа тул үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай.
Би онолыг бүтээгчдээс эхэлмээр байна. Дээр дурдсанчлан тэдний хоёр нь байсан бөгөөд эдгээр нь Пьер Фермат, Блэйз Паскаль нар юм. Тэд бол томьёо, математик тооцоолол ашиглан үйл явдлын үр дүнг тооцоолохыг оролдсон анхны хүмүүсийн нэг юм. Ерөнхийдөө энэ шинжлэх ухааны үндэс суурь аль хэдийн гарч ирсэнДунд насны. Тухайн үед янз бүрийн сэтгэгчид, эрдэмтэд рулет, крапс гэх мэт мөрийтэй тоглоомд дүн шинжилгээ хийхийг оролдсон бөгөөд ингэснээр тодорхой тооны унадаг хэв маяг, хувийг тогтоожээ. Үндэс суурийг нь XVII зуунд дээр дурдсан эрдэмтэд тавьжээ.
Эхэндээ тэдний ажлыг энэ салбарт гарсан агуу ололттой холбон тайлбарлах аргагүй байсан, учир нь тэдний хийсэн бүх зүйл зүгээр л эмпирик баримтууд байсан бөгөөд туршилтуудыг томьёо ашиглахгүйгээр нүдээр хийсэн байдаг. Цаг хугацаа өнгөрөхөд шоо шидэхийг ажигласны үр дүнд гарч ирсэн гайхалтай үр дүнд хүрсэн. Анхны ойлгомжтой томьёог гаргахад энэ хэрэгсэл тусалсан.
Associates
“Магадлалын онол” (үйл явдлын магадлалыг энэ шинжлэх ухаанд яг таг тусгасан) судлах явцад Кристиан Гюйгенс гэх хүнийг дурдахгүй байхын аргагүй. Энэ хүн их сонирхолтой. Тэрээр дээр дурдсан эрдэмтдийн нэгэн адил санамсаргүй үйл явдлын зүй тогтлыг математикийн томъёо хэлбэрээр гаргаж авахыг оролдсон. Тэр үүнийг Паскаль, Фермат нартай хамт хийгээгүй, өөрөөр хэлбэл түүний бүх бүтээлүүд эдгээр оюун ухаантай огтлолцдоггүй байсан нь анхаарал татаж байна. Гюйгенс магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудыг гаргаж авсан.
Сонирхолтой баримт гэвэл түүний бүтээл анхдагчдын ажлын үр дүнгээс хамаагүй өмнө, эс тэгвээс хорин жилийн өмнө гарч ирсэн. Зориулалтын ойлголтуудаас хамгийн алдартай нь:
- боломжийн хэмжээ болох магадлалын тухай ойлголт;
- дискретийн хүлээлттохиолдлууд;
- магадлалыг үржүүлэх, нэмэх теоремууд.
Мөн уг асуудлыг судлахад ихээхэн хувь нэмэр оруулсан Якоб Бернуллиг дурсахгүй байхын аргагүй. Хэнээс ч хамааралгүй өөрийн туршилтыг хийж, олон тооны хуулийн нотолгоог гаргаж чадсан. Хариуд нь XIX зууны эхээр ажиллаж байсан эрдэмтэд Пуассон, Лаплас нар анхны теоремуудыг баталж чадсан юм. Энэ мөчөөс эхлэн ажиглалтын явцад гарсан алдааг шинжлэхэд магадлалын онолыг ашиглаж эхэлсэн. Оросын эрдэмтэд, эс тэгвээс Марков, Чебышев, Дяпунов нар ч энэ шинжлэх ухааныг тойрч чадаагүй. Агуу суут хүмүүсийн хийсэн бүтээлд тулгуурлан энэ хичээлийг математикийн салбар болгон тогтоожээ. Эдгээр тоонууд 19-р зууны төгсгөлд аль хэдийн ажиллаж байсан бөгөөд тэдний оруулсан хувь нэмрийн ачаар дараах үзэгдлүүд гарч ирэв:
- том тооны хууль;
- Марковын гинжин онол;
- төв хязгаарын теорем.
Тиймээс шинжлэх ухаан үүссэн түүх, түүнд нөлөөлсөн гол хүмүүстэй холбоотойгоор бүх зүйл багагүй тодорхой болсон. Одоо бүх баримтыг тодорхой болгох цаг болжээ.
Үндсэн ойлголт
Хууль, теоремуудын талаар ярихаасаа өмнө магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудыг судлах нь зүйтэй. Үйл явдал нь голлох үүргийг гүйцэтгэдэг. Энэ сэдэв нэлээд том сэдэв боловч үүнгүйгээр бусад бүх зүйлийг ойлгох боломжгүй.
Магадлалын онолын үйл явдал нь туршилтын үр дүнгийн аливаа багц юм. Энэ үзэгдлийн тухай ойлголт тийм ч олон байдаггүй. Тиймээс эрдэмтэн Лотман,Энэ чиглэлээр ажиллаж байгаа бөгөөд энэ тохиолдолд бид "болоогүй байж болох ч болсон" зүйлийн талаар ярьж байна.
Санамсаргүй үйл явдал (магадлалын онол тэдэнд онцгой анхаарал хандуулдаг) нь тохиолдох чадвартай аливаа үзэгдлийг илэрхийлдэг ойлголт юм. Эсвэл эсрэгээр, олон нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энэ хувилбар тохиолдохгүй байж магадгүй юм. Энэ нь тохиолдсон үзэгдлийн нийт хэмжээг хамарсан санамсаргүй үйл явдлууд гэдгийг мэдэх нь зүйтэй. Магадлалын онол нь бүх нөхцөлийг байнга давтаж болно гэдгийг харуулж байна. Энэ нь тэдний зан авирыг "туршлага" эсвэл "туршилт" гэж нэрлэдэг байв.
Тодорхой үйл явдал нь тухайн шалгалтанд 100% тохиолдох үйл явдал юм. Үүний дагуу, боломжгүй үйл явдал бол тохиолдохгүй үйл явдал юм.
Хос үйлдлийн нэгдэл (ерөнхийдөө А ба Б тохиолдол) нь нэгэн зэрэг тохиолддог үзэгдэл юм. Тэдгээрийг AB гэж тодорхойлсон.
А ба В үйл явдлын хос хосуудын нийлбэр нь С өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдвол (А эсвэл В) С болно. Тодруулсан үзэгдлийн томьёог дараах байдлаар бичнэ.: C=A + B.
Магадлалын онол дахь салангид үйл явдлууд нь хоёр тохиолдол бие биенээ үгүйсгэдэг гэсэн үг юм. Тэд хэзээ ч нэгэн зэрэг тохиолдож болохгүй. Магадлалын онолын хамтарсан үйл явдлууд нь тэдний эсрэг тал юм. Энэ нь хэрэв А тохиолдсон бол энэ нь Б-д саад болохгүй гэсэн үг юм.
Эсрэг үйл явдлууд (магадлалын онол нь тэдгээрийг нарийвчлан авч үздэг) ойлгоход хялбар байдаг. Тэдэнтэй харьцуулах нь дээр. Тэд бараг ижил байнаболон магадлалын онолд үл нийцэх үйл явдлууд. Гэхдээ тэдний ялгаа нь олон үзэгдлийн нэг нь ямар ч байсан тохиолдох ёстой гэдэгт оршдог.
Эцвивалент үйл явдлууд нь боломж нь тэнцүү байгаа үйлдлүүд юм. Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд бид зоос шидэхийг төсөөлж болно: түүний нэг тал нь унавал нөгөө тал нь унах магадлалтай.
Өршөөлийн үйл явдлыг жишээгээр харахад илүү хялбар байдаг. Б бүлэг ба А анги байна гэж бодъё. Эхнийх нь сондгой тооны харагдахуйц шоо өнхрүүлэх, хоёр дахь нь талбар дээр тавын тооны харагдах байдал. Дараа нь А нь Б-д таалагддаг юм байна.
Магадлалын онолын бие даасан үйл явдлууд нь зөвхөн хоёр буюу түүнээс дээш тохиолдлуудад төлөвлөгддөг бөгөөд аливаа үйлдлээс бие даасан байдлыг илэрхийлдэг. Жишээлбэл, А нь зоос шидэх үед сүүлээ алдах, Б нь тавцангаас үүрний зураг зурах. Эдгээр нь магадлалын онолын хувьд бие даасан үйл явдлууд юм. Энэ мөчид илүү тодорхой болсон.
Магадлалын онол дахь хамааралтай үйл явдлуудыг зөвхөн тэдгээрийн олонлогт нь зөвшөөрдөг. Эдгээр нь нэг нь нөгөөгөөсөө хамааралтай болохыг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл, А нь аль хэдийн тохиолдсон эсвэл эсрэгээр болоогүй тохиолдолд л В үзэгдэл тохиолдож болно, энэ нь Б-ийн гол нөхцөл болсон үед л тохиолдож болно.
Нэг бүрэлдэхүүн хэсгээс бүрдсэн санамсаргүй туршилтын үр дүн нь энгийн үйл явдлууд юм. Магадлалын онол үүнийг ганц удаа тохиолдсон үзэгдэл гэж тайлбарладаг.
Үндсэн томьёо
Тиймээс "үйл явдал", "магадлалын онол",энэ шинжлэх ухааны үндсэн нэр томьёоны тодорхойлолтыг мөн өгсөн. Одоо чухал томьёотой шууд танилцах цаг болжээ. Эдгээр илэрхийлэл нь магадлалын онол гэх мэт хэцүү сэдвийн бүх үндсэн ойлголтыг математикийн хувьд баталгаажуулдаг. Энд бас үйл явдлын магадлал асар их үүрэг гүйцэтгэдэг.
Комбинаторикийн үндсэн томъёоноос эхэлсэн нь дээр. Тэднийг үргэлжлүүлэхээсээ өмнө энэ нь юу болохыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
Комбинаторик нь үндсэндээ математикийн нэг салбар бөгөөд энэ нь асар олон тооны бүхэл тоо, мөн тооны өөрөө болон тэдгээрийн элементүүдийн янз бүрийн сэлгэлт, янз бүрийн өгөгдөл гэх мэтийг судалдаг бөгөөд энэ нь дараахь зүйлийг бий болгоход хүргэдэг. хэд хэдэн хослолууд. Энэ салбар нь магадлалын онолоос гадна статистик, компьютерийн шинжлэх ухаан, криптографийн хувьд чухал ач холбогдолтой.
Тиймээс одоо бид томьёогоо өөрсдөө танилцуулж, тодорхойлоход шилжиж болно.
Эхнийх нь сэлгэлтийн тооны илэрхийлэл байх бөгөөд дараах байдалтай байна:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Тэгшитгэл нь зөвхөн элементүүдийн дарааллаар ялгаатай тохиолдолд л хэрэгжинэ.
Одоо байршуулах томьёог авч үзэх болно, дараах байдалтай байна:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - м)!
Энэ илэрхийлэл нь зөвхөн элементийн дараалалд төдийгүй түүний найрлагад хамаарна.
Комбинаторикийн гурав дахь тэгшитгэлийг мөн сүүлчийнх нь хослолын тооны томьёо гэж нэрлэдэг:
C_n^m=n !: ((n -м))!:м !
Хослолууд нь эрэмбэлэгдээгүй сонголтууд бөгөөд энэ дүрэм тэдгээрт хамаарна.
Комбинаторикийн томъёог олоход хялбар болсон тул одоо бид магадлалын сонгодог тодорхойлолт руу шилжиж болно. Энэ илэрхийлэл дараах байдалтай байна:
P(A)=m: n.
Энэ томьёоны хувьд m нь А үйл явдалд таатай нөхцлийн тоо, n нь туйлын адил боломжтой, энгийн үр дүнгийн тоо юм.
Олон тооны илэрхийлэл байгаа тул нийтлэлд бүгдийг нь багтаахгүй, гэхдээ тэдгээрийн хамгийн чухал нь, тухайлбал үйл явдлын нийлбэрийн магадлал гэх мэтийг хөндөх болно:
P(A + B)=P(A) + P(B) - энэ теорем нь зөвхөн үл нийцэх үйл явдлуудыг нэмэхэд зориулагдсан;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - ба энэ нь зөвхөн тохирохыг нь нэмэхэд зориулагдсан.
Үйл явдал үүсгэх магадлал:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – энэ теорем нь бие даасан үйл явдлуудад зориулагдсан;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - мөн энэ нь донтогчид.
Үйл явдлын томьёо нь жагсаалтыг төгсгөдөг. Магадлалын онол нь Бэйсийн теоремын талаар өгүүлдэг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Энэ томъёонд H1, H2, …, H нь таамаглалын бүрэн бүлэг.
Энд зогсооё, дараа нь дадлагаас тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд томъёо хэрэглэх жишээг авч үзэх болно.
Жишээ
Хэрэв та аль нэг хэсгийг анхааралтай судалбалМатематик, энэ нь дасгал, дээж шийдэлгүйгээр хийхгүй. Магадлалын онол ч мөн адил: үйл явдал, жишээнүүд нь шинжлэх ухааны тооцоог батлах салшгүй бүрэлдэхүүн хэсэг юм.
Суулгацын тооны томьёо
Нэрлэсэн үнэ нь нэгээс эхлээд нэг тавцанд гучин карт байна гэж бодъё. Дараагийн асуулт. Нэг ба хоёрын нэрлэсэн үнэ бүхий картуудыг бие биенийхээ хажууд байлгахгүйн тулд тавцан дээр давхарлах хэдэн арга байдаг вэ?
Даалгавар тавигдсан, одоо үүнийг шийдвэрлэхээр явцгаая. Эхлээд та гучин элементийн сэлгэцийн тоог тодорхойлох хэрэгтэй, үүний тулд бид дээрх томъёог авч P_30=30 болж байна!.
Энэ дүрэмд үндэслэн бид тавцанг янз бүрийн аргаар нугалах хэдэн сонголт байгааг олж мэдэх боловч эхний болон хоёр дахь хөзөр нь дараагийнхыг нь хасах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхнийх нь хоёр дахь нь дээр байх үед сонголтоос эхэлье. Энэ нь эхний карт нь хорин есөн газар авах боломжтой болж байна - эхний хорин есдүгээр, хоёр дахь карт хоёр дахь гуч хүртэл, энэ нь нэг хос картын хувьд хорин есөн газар болж хувирдаг. Хариуд нь үлдсэн хэсэг нь хорин найман байр, ямар ч дарааллаар авч болно. Өөрөөр хэлбэл, хорин найман картыг солихын тулд P_28=28 гэсэн хорин найман сонголт байна!
Үүний үр дүнд хэрэв эхний карт хоёр дахь картыг давсан үед шийдлийг авч үзэх юм бол 29 ⋅ 28 нэмэлт боломж байгаа нь харагдаж байна!=29!
Ижил аргыг ашиглан эхний карт хоёр дахь картын доор байх тохиолдолд илүү олон сонголтуудын тоог тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нь бас 29 ⋅ 28 болж байна!=29!
Эндээс харахад 2 ⋅ 29 нэмэлт сонголт байгаа бол тавцан барихад шаардлагатай 30 арга бий! - 2 ⋅ 29!. Зөвхөн тоолоход л үлддэг.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Одоо та нэгээс хорин ес хүртэлх бүх тоог хамтад нь үржүүлээд эцэст нь бүгдийг 28-аар үржүүлэх хэрэгтэй. Хариулт нь 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Жишээний шийдэл. Байршуулах дугаарын томъёо
Энэ асуудалд арван таван ботийг нэг тавиур дээр тавих хэдэн арга байгааг олж мэдэх хэрэгтэй, гэхдээ нийтдээ гучин боть байх нөхцөлтэй.
Энэ асуудал өмнөхөөсөө арай хялбар шийдэлтэй. Аль хэдийн мэдэгдэж байсан томьёог ашиглан арван таван боть гучин ботиос нийт байршлын тоог тооцоолох шаардлагатай.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 202 33 3 3 2070
Хариулт нь 202 843 204 931 727 360 000 байх болно.
Одоо даалгавраа арай илүү хүндрүүлье. Нэг тавиур дээр зөвхөн арван таван боть байж болох нөхцөлд гучин номыг хоёр тавиур дээр байрлуулах хэдэн арга байгааг олж мэдэх хэрэгтэй.
Шийдвэрийг эхлүүлэхийн өмнө зарим асуудлыг хэд хэдэн аргаар шийддэг тул энэ нь хоёр арга зам байгаа боловч хоёуланд нь ижил томьёо ашигладаг гэдгийг тодруулахыг хүсч байна.
Энэ асуудалд та өмнөх асуултын хариултыг авч болно, учир нь бид арван таван номоор тавиурыг хэдэн удаа дүүргэхийг тооцоолсон.өөрөөр. A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
болсон.
Бид хоёр дахь тавиурыг солих томьёо ашиглан тооцоолно, учир нь арван таван ном байрлуулсан байхад ердөө арван тав нь үлдсэн. P_15=15 томъёог ашиглана уу!.
Нийт нь A_30^15 ⋅ P_15 арга байх болно, гэхдээ үүнээс гадна гучаас арван зургаа хүртэлх бүх тооны үржвэрийг нэгээс арван тав хүртэлх тооны үржвэрээр үржүүлэх шаардлагатай болно. үр дүнд нь нэгээс гуч хүртэлх бүх тооны үржвэр байгаа тул хариулт нь 30 болно!
Гэхдээ энэ асуудлыг арай өөр аргаар шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд гучин номын нэг тавиур байна гэж төсөөлж болно. Тэдгээрийг бүгдийг нь энэ хавтгайд байрлуулсан боловч нөхцөл байдал нь хоёр тавиуртай байхыг шаарддаг тул бид нэг уртыг хагасаар нь огтолж, тус бүр нь хоёр арван таван болж хувирдаг. Эндээс харахад байршуулах сонголтууд нь P_30=30 байж болно!.
Жишээний шийдэл
хослолын дугаарын томъёо
Одоо бид комбинаторикийн гурав дахь бодлогын хувилбарыг авч үзэх болно. Та яг адилхан гучин номноос сонгох шаардлагатай бол арван таван номыг эмхэтгэх хэдэн арга зам байгааг олж мэдэх хэрэгтэй.
Уусмалын хувьд мэдээжийн хэрэг, хослолын тооны томъёог хэрэглэнэ. Нөхцөл байдлаас харахад ижил арван таван номын дараалал чухал биш юм. Тиймээс та эхлээд арван таван гучин номын нийт тоог олох хэрэгтэй.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: арван тав!=155 117 520
Болоо. Энэ томъёог ашигласнаар хамгийн богино хугацаанд боломжтой болсонийм асуудлыг шийдвэл хариулт нь 155 117 520 байна.
Жишээний шийдэл. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт
Дээрх томъёогоор та энгийн бодлогын хариултыг олох боломжтой. Гэхдээ энэ нь үйлдлүүдийг нүдээр харж, дагахад тусална.
Унган дотор яг адилхан арван бөмбөг байна гэж бодлогод өгөгдсөн. Үүнээс дөрөв нь шар, зургаа нь цэнхэр. Нэг бөмбөгийг савнаас авдаг. Та хөх өнгөтэй болох магадлалыг олж мэдэх хэрэгтэй.
Асуудлыг шийдэхийн тулд цэнхэр бөмбөг авахыг А үйл явдал гэж тодорхойлох шаардлагатай. Энэ туршлага нь арван үр дагавартай байж болох бөгөөд энэ нь эргээд энгийн бөгөөд адил магадлалтай юм. Үүний зэрэгцээ, араваас зургаа нь А үйл явдалд таатай байна. Бид томъёогоор шийддэг:
P(A)=6: 10=0, 6
Энэ томьёог ашигласнаар цэнхэр бөмбөг авах магадлал 0.6 болохыг олж мэдсэн.
Жишээний шийдэл. Үйл явдлын нийлбэрийн магадлал
Одоо үйл явдлын нийлбэрийн магадлалын томъёогоор шийдэгдсэн хувилбарыг танилцуулах болно. Тэгэхээр, хоёр хайрцаг байгаа нөхцөлд эхнийх нь нэг саарал, таван цагаан бөмбөлөг, хоёр дахь нь найман саарал, дөрвөн цагаан бөмбөг агуулсан байна. Үүний үр дүнд нэг, хоёр дахь хайрцагнаас нэгийг нь авав. Таны авсан бөмбөг саарал, цагаан өнгөтэй байх магадлал хэр байгааг олж мэдэх хэрэгтэй.
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд та үйл явдлуудыг шошголох хэрэгтэй.
- Тиймээс, А - эхний хайрцагнаас саарал бөмбөг ав: P(A)=1/6.
- A’ – эхний хайрцагнаас мөн цагаан бөмбөг авна: P(A')=5/6.
- B – саарал бөмбөгийг хоёр дахь хайрцагнаас аль хэдийн гаргасан: P(B)=2/3.
- B’ – хоёр дахь хайрцагнаас саарал бөмбөг авна: P(B')=1/3.
Асуудлын нөхцөлийн дагуу AB' эсвэл A'B үзэгдлүүдийн аль нэг нь тохиолдох ёстой. Томьёог ашиглан бид дараахийг авна: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Одоо магадлалын үржүүлэх томьёог ашигласан. Дараа нь хариултыг олохын тулд тэдгээрийг нэмэх тэгшитгэлийг ашиглах хэрэгтэй:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Ингэж томьёог ашиглан ижил төстэй асуудлыг шийдэж чадна.
Үр дүн
Энэ нийтлэлд аливаа үйл явдлын магадлал чухал үүрэг гүйцэтгэдэг "Магадлалын онол" сэдвээр мэдээлэл өгсөн. Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйлийг анхаарч үзээгүй боловч танилцуулсан текст дээр үндэслэн математикийн энэ хэсэгтэй онолын хувьд танилцаж болно. Энэ шинжлэх ухаан нь зөвхөн мэргэжлийн ажилд төдийгүй өдөр тутмын амьдралд хэрэгтэй байж болно. Түүний тусламжтайгаар та ямар ч үйл явдал болох магадлалыг тооцоолж болно.
Түүхэнд мөн магадлалын онол шинжлэх ухаан болж үүссэн түүхэн чухал он сар өдөр, түүнд бүтээлээ оруулсан хүмүүсийн нэрсийг хөндсөн. Ингэж хүний сониуч зан нь санамсаргүй үйл явдлыг хүртэл тооцоолж сурсан. Нэгэн цагт тэд үүнийг сонирхож байсан бол өнөөдөр хүн бүр үүнийг мэддэг болсон. Ирээдүйд биднийг юу хүлээж байгааг, хэлэлцэж буй онолтой холбоотой өөр ямар гайхалтай нээлтүүдийг хийх талаар хэн ч хэлэхгүй. Гэхдээ нэг зүйл тодорхой байна - судалгаа зогсохгүй байна!
