Polyhedra нь геометрийн салбарт чухал байр суурь эзэлдэг төдийгүй хүн бүрийн өдөр тутмын амьдралд тохиолддог. Шүдэнзний хайрцагнаас эхлээд архитектурын элементүүд, шоо (давс), призм (болор), пирамид (шеелит), октаэдр (алмаз) хэлбэртэй талстууд, янз бүрийн олон өнцөгт хэлбэрээр зохиомлоор бүтээгдсэн гэр ахуйн эд зүйлсийг дурдахгүй өнгөрч болохгүй. гэх мэт. e.
Олон өнцөгтийн тухай ойлголт, геометрийн олон өнцөгтийн төрлүүд
Геометр нь шинжлэх ухааны хувьд гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанар, шинж чанарыг судалдаг стереометрийн хэсгийг агуулдаг. Гурван хэмжээст орон зайд талууд нь хязгаарлагдмал хавтгай (нүүр) -ээс бүрддэг геометрийн биетүүдийг "полиэдр" гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийн төрөлд нүүрний тоо, хэлбэрээрээ ялгаатай арав гаруй төлөөлөгч багтдаг.
Гэсэн хэдий ч бүх олон талтууд нийтлэг шинж чанартай:
- Тэд бүгд 3 чухал бүрэлдэхүүн хэсэгтэй: нүүр(олон өнцөгтийн гадаргуу), орой (нүүрний уулзвар дээр үүссэн булан), ирмэг (зургийн тал эсвэл хоёр нүүрний уулзвар дээр үүссэн сегмент).
- Олон өнцөгтийн ирмэг бүр нь хоорондоо зэргэлдээ орших хоёр ба зөвхөн хоёр нүүрийг холбодог.
- Гүдгэр гэдэг нь биеийн аль нэг нүүр нь хэвтэж буй хавтгайн зөвхөн нэг талд бүрэн байрлана гэсэн үг. Дүрэм нь олон өнцөгтийн бүх нүүрэнд хамаарна. Стереометрийн ийм геометрийн дүрсийг гүдгэр олон талт гэж нэрлэдэг. Үл хамаарах зүйл бол ердийн олон талт геометрийн хатуу биетүүдийн дериватив болох од хэлбэртэй олон өнцөгт юм.
Polyhedra-г нөхцөлт байдлаар хувааж болно:
- Дараах ангиас бүрдэх гүдгэр олон талтуудын төрөл: энгийн эсвэл сонгодог (призм, пирамид, параллелепипед), ердийн (мөн Платоны хатуу биет гэж нэрлэдэг), хагас тогтмол (хоёр дахь нэр - Архимедийн хатуу биетүүд).
- Гүдгэр бус олон талт (од хэлбэртэй).
Призм ба түүний шинж чанарууд
Стереометр нь геометрийн нэг салбар болох гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанар, олон өнцөгтийн төрлийг судалдаг (тэдгээрийн нэг нь призм юм). Призм гэдэг нь параллелограмм хэлбэртэй n-р тооны хажуугийн нүүртэй зэрэгцээ хавтгайд байрлах туйлын ижил хоёр нүүртэй (тэдгээрийг мөн суурь гэж нэрлэдэг) геометрийн бие юм. Хариуд нь призм нь хэд хэдэн сорттой бөгөөд үүнд:
- Параллелепипед - суурь нь параллелограмм бол үүсдэг -2 хос эсрэг талын ижил өнцөгтэй, 2 хос эсрэг талтай олон өнцөгт.
- Шууд призм нь сууринд перпендикуляр ирмэгтэй.
- Хялбар призм нь нүүр ба суурийн хооронд тэгш бус өнцөг (90-ээс бусад) байдгаараа онцлог юм.
- Энгийн призм нь тэгш талтай тэгш өнцөгт хэлбэртэй сууриудаар тодорхойлогддог.
Призмийн үндсэн шинж чанарууд:
- Тохирох суурь.
- Призмын бүх ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү ба параллель байна.
- Бүх хажуугийн нүүр нь параллелограмм хэлбэртэй.
Пирамид
Пирамид нь нэг суурь ба n-р тооны гурвалжин нүүрээс бүрдэх геометрийн бие бөгөөд дээд хэсэгт нь нэг цэгт холбогдсон байна. Хэрэв пирамидын хажуугийн нүүрийг заавал гурвалжингаар дүрсэлсэн бол суурь нь гурвалжин олон өнцөгт, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт төгсгөлгүй байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд пирамидын нэр нь суурийн олон өнцөгттэй тохирно. Жишээлбэл, хэрэв гурвалжин нь пирамидын ёроолд оршдог бол энэ нь гурвалжин пирамид, дөрвөлжин нь дөрвөн өнцөгт гэх мэт.
Пирамидууд нь конус хэлбэртэй олон талт юм. Энэ бүлгийн олон талт төрлүүдэд дээр дурдсан зүйлүүдээс гадна дараахь төлөөлөгчдийг багтаасан болно:
- Энгийн пирамид нь суурь дээрээ энгийн олон өнцөгттэй бөгөөд өндрийг нь төв рүү чиглүүлдэг.сууринд сийлсэн эсвэл тойрон хүрээлэгдсэн тойрог.
- Хажуугийн ирмэгүүдийн аль нэг нь суурьтай тэгш өнцөгт огтлолцвол тэгш өнцөгт пирамид үүснэ. Энэ тохиолдолд энэ ирмэгийг пирамидын өндөр гэж нэрлэх нь зөв юм.
Пирамидын шинж чанарууд:
- Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд ижил (ижил өндөртэй) байвал бүгд суурьтай ижил өнцгөөр огтлолцох ба суурийн эргэн тойронд та проекцтой давхцаж буй төвтэй тойрог зурж болно. пирамидын орой.
- Хэрэв пирамидын суурь нь жирийн олон өнцөгт байвал бүх хажуугийн ирмэгүүд нь тохирч, нүүрнүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин болно.
Ердийн олон талт: олон өнцөгтийн төрөл ба шинж чанар
Стереометрийн хувьд туйлын тэнцүү нүүртэй геометрийн биетүүд онцгой байр эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийн оройн хэсэгт ижил тооны ирмэгүүд холбогдсон байдаг. Эдгээр хатуу биетүүдийг Платон хатуу биетүүд буюу ердийн олон талт биетүүд гэж нэрлэдэг. Ийм шинж чанартай олон талт төрлүүд нь зөвхөн таван хэлбэртэй байдаг:
- Тетраэдр.
- Hexahedron.
- Октаэдрон.
- Додекаэдр.
- Икосаэдр.
Тогтмол олон өнцөгтүүд нь эртний Грекийн гүн ухаантан Платоноос нэрлэгдсэн бөгөөд тэрээр эдгээр геометрийн биетүүдийг өөрийн зохиолдоо дүрсэлж, тэдгээрийг байгалийн элементүүд болох газар, ус, гал, агаартай холбосон байдаг. Тав дахь дүрийг орчлон ертөнцийн бүтэцтэй ижил төстэй байдлаар шагнасан. Түүний бодлоор байгалийн элементүүдийн атомууд нь ердийн олон талт хэлбэртэй төстэй байдаг. Түүний хамгийн сэтгэл хөдөлгөм өмчийн улмаас -Тэгш хэмийн хувьд эдгээр геометрийн биетүүд нь зөвхөн эртний математикч, философичид төдийгүй бүх цаг үеийн архитектор, зураач, уран барималчдад ихээхэн сонирхолтой байсан. Үнэмлэхүй тэгш хэмтэй зөвхөн 5 төрлийн олон талт хэлбэрүүд байгаа нь үндсэн нээлт гэж тооцогддог байсан бөгөөд тэдгээр нь бурханлаг зарчимтай холбоотой гэж шагнагджээ.
Hexahedron ба түүний шинж чанарууд
Зургаан өнцөгт хэлбэрийн хувьд Платоныг залгамжлагчид дэлхийн атомын бүтэцтэй ижил төстэй гэж үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, одоогийн байдлаар энэ таамаглалыг бүрэн няцаасан боловч орчин үед дүрүүд алдартай хүмүүсийн сэтгэлийг гоо зүйн хувьд татахад саад болохгүй.
Геометрийн хувьд шоо гэж нэрлэгддэг зургаан өнцөгтийг параллелепипедийн онцгой тохиолдол гэж үздэг бөгөөд энэ нь эргээд нэг төрлийн призм юм. Үүний дагуу кубын шинж чанарууд нь призмийн шинж чанаруудтай холбоотой бөгөөд цорын ганц ялгаа нь кубын бүх нүүр ба булангууд хоорондоо тэнцүү байна. Үүнээс дараах шинж чанарууд гарч ирнэ:
- Шоогийн бүх ирмэгүүд хоорондоо тохирч, бие биентэйгээ параллель хавтгайд оршдог.
- Бүх царай нь хоорондоо тохирч байгаа квадратууд (нэг шоо дөрвөлжинд нийт 6 байдаг), тэдгээрийн аль нэгийг нь суурь болгон авч болно.
- Бүх интерфейсийн өнцөг нь 90.
- Орой бүрээс тэнцүү тооны ирмэгүүд гарч ирдэг, тухайлбал 3.
- Шоо нь 9 тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бөгөөд тэдгээр нь бүгд тэгш хэмийн төв гэж нэрлэгддэг зургаан өнцөгтийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр огтлолцдог.
Тетраэдр
Тетраэдр нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй тетраэдр бөгөөд тэдгээрийн орой бүр ньгурван нүүрний уулзвар цэг юм.
Ердийн тетраэдрийн шинж чанарууд:
- Тетраэдрийн бүх нүүр нь тэгш талт гурвалжин бөгөөд энэ нь тетраэдрийн бүх нүүр нь хоорондоо тохирно гэсэн үг.
- Суурь нь ердийн геометрийн дүрсээр дүрслэгдсэн, өөрөөр хэлбэл тэгш талуудтай тул тетраэдрийн нүүрнүүд ижил өнцөгт нийлдэг, өөрөөр хэлбэл бүх өнцөг нь тэнцүү байна.
- Орой тус бүрийн хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 180, учир нь бүх өнцөг нь тэнцүү, тэгвэл жирийн тетраэдрийн аль ч өнцөг нь 60 болно.
- Орой бүр нь эсрэг талын (ортотөв) нүүрний өндрийн огтлолцлын цэг рүү проекц хийгдсэн.
Октаэдр ба түүний шинж чанарууд
Тогтмол олон талтуудын төрлүүдийг тайлбарлахдаа суурийн дагуу наасан хоёр дөрвөлжин жирийн пирамид хэлбэрээр дүрсэлж болох октаэдр зэрэг объектыг тэмдэглэхгүй байхын аргагүй.
Найман гаригийн шинж чанарууд:
- Геометрийн биеийн нэр нь түүний нүүрний тоог илэрхийлдэг. Октаэдр нь 8 ижил талт гурвалжингаас тогтдог бөгөөд тэдгээрийн орой тус бүрд ижил тооны нүүрнүүд нийлдэг, тухайлбал 4.
- Октаэдрийн бүх нүүрүүд тэнцүү тул түүний интерфейсийн өнцөгүүд нь мөн тэнцүү бөгөөд тус бүр нь 60-тай тэнцүү бөгөөд аль нэг оройн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 240 байна.
Додекаэдр
Хэрэв бид геометрийн биеийн бүх нүүрийг энгийн таван өнцөгт гэж төсөөлвөл бид хоёр талт хэлбэртэй болно -12 олон өнцөгт дүрс.
Додекаэдрийн шинж чанарууд:
- Гурван нүүр орой бүр дээр огтлолцдог.
- Бүх царай ижил, ирмэгийн урт, талбай нь ижил байна.
- Додекаэдр нь 15 тэнхлэг ба тэгш хэмийн хавтгайтай бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь нүүрний орой ба эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамждаг.
Икосаэдр
Додекаэдрээс дутахааргүй сонирхолтой, икосаэдрийн дүрс нь 20 ижил нүүртэй гурван хэмжээст геометрийн бие юм. Ердийн хорин гедроны шинж чанаруудаас дараахь зүйлийг тэмдэглэж болно:
- Икосаэдрийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
- Таван нүүр нь олон өнцөгтийн орой бүрт нийлдэг бөгөөд оройн зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 300 байна.
- Икосаэдр нь хоёр талтай адил 15 тэнхлэг ба эсрэг талын нүүрний дунд цэгүүдийг дайран өнгөрдөг тэгш хэмийн хавтгайтай.
Хагас энгийн олон өнцөгт
Платоны хатуу биетүүдээс гадна гүдгэр олон талтуудын бүлэгт Архимедийн хатуу биетүүд багтдаг бөгөөд тэдгээр нь тайрагдсан энгийн олон талт биетүүд юм. Энэ бүлгийн олон талт төрлүүд дараах шинж чанартай:
- Геометр биетүүд хэд хэдэн төрлийн хосоороо тэнцүү нүүртэй байдаг, жишээлбэл, таслагдсан тетраэдр нь ердийн тетраэдр шиг 8 нүүртэй байдаг боловч Архимедийн хатуу биетийн хувьд 4 нүүр нь гурвалжин, 4 нь зургаан өнцөгт хэлбэртэй байна.
- Нэг оройн бүх өнцөг нь тэнцүү байна.
Од олон талт
Эзэлхүүний бус төрлийн геометрийн биетүүдийн төлөөлөл нь нүүр нь хоорондоо огтлолцдог одтой олон талт биетүүд юм. Тэдгээрийг хоёр энгийн 3D биетийг нэгтгэх эсвэл нүүрийг нь сунгах замаар үүсгэж болно.
Тиймээс ийм одтой олон талтуудыг: октаэдр, дудекаэдр, икосаэдр, кубоктаэдр, икосододекаэдр зэрэг одтой хэлбэрүүд гэж нэрлэдэг.
