Математикийн зарим бодлого нь квадрат язгуурыг тооцоолох чадварыг шаарддаг. Эдгээр бодлогод хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх орно. Энэ нийтлэлд бид квадрат язгуурыг тооцоолох үр дүнтэй аргыг танилцуулж, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёотой ажиллахдаа ашиглах болно.
Квадрат язгуур гэж юу вэ?
Математикийн хувьд энэ ойлголт √ тэмдэгттэй тохирч байна. Түүхэн мэдээллээс харахад энэ нь 16-р зууны эхний хагаст Германд ашиглагдаж эхэлсэн (Христоф Рудольфын анхны Германы алгебрийн ажил). Эрдэмтэд энэ тэмдэг нь өөрчлөгдсөн латин үсэг r (radix нь Латинаар "үндэс" гэсэн утгатай) гэж үздэг.
Аливаа тооны язгуур нь ийм утгатай тэнцүү бөгөөд квадрат нь язгуур илэрхийлэлтэй тохирч байна. Математикийн хэлээр энэ тодорхойлолт дараах байдалтай харагдана: √x=y бол y2=x.
Эерэг тооны үндэс (x > 0) мөнэерэг тоо (y > 0), гэхдээ язгуурыг сөрөг тооноос (x < 0) авсан бол түүний үр дүн нь төсөөллийн нэгж i-г оруулаад нийлмэл тоо байх болно.
Энд хоёр энгийн жишээ байна:
√9=3 учир нь 32 =9; √(-9)=3i учир нь i2=-1.
Квадрат язгуур олох Хэроны давтагдах томьёо
Дээрх жишээнүүд нь маш энгийн бөгөөд тэдгээрийн үндэсийг тооцоолоход хэцүү биш юм. √10, √11, √12, √13 гэх мэт натурал тооны квадрат хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй аливаа утгын язгуур утгыг олоход бэрхшээл гарч эхэлдэг бөгөөд практикт үүнийг дурдахгүй. бүхэл бус тоонуудын үндэсийг олоход шаардлагатай: жишээлбэл √(12, 15), √(8, 5) гэх мэт.
Дээрх бүх тохиолдолд квадрат язгуурыг тооцоолох тусгай аргыг хэрэглэнэ. Одоогийн байдлаар ийм хэд хэдэн аргууд мэдэгдэж байна: жишээлбэл, Тейлорын цувралын өргөтгөл, баганаар хуваагдах болон бусад. Мэдэгдэж байгаа бүх аргуудаас магадгүй хамгийн энгийн бөгөөд үр дүнтэй нь Хероны давталтын томъёог ашиглах явдал бөгөөд үүнийг Вавилоны квадрат язгуур тодорхойлох арга ч гэж нэрлэдэг (эртний Вавилончууд үүнийг практик тооцоололдоо ашигладаг байсан гэсэн нотолгоо байдаг).
√x-ийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай байг. Квадрат язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна:
an+1=1/2(a+x/a), энд limn->∞(a)=> x.
Энэ математик тэмдэглэгээг тайл. √x-г тооцоолохын тулд та a0 тоо авах хэрэгтэй (энэ нь дур зоргоороо байж болох ч хурдан үр дүнд хүрэхийн тулд та үүнийг сонгох хэрэгтэй (a0)) 2 нь x-д аль болох ойр байсан, дараа нь үүнийг заасан квадрат язгуур томъёонд орлуулж, шинэ a1 авах ба энэ нь аль хэдийн болно Хүссэн утгад ойртох. илэрхийлэлд 1-г орлуулж,2 авах шаардлагатай. Шаардлагатай нарийвчлалыг олж авах хүртэл энэ процедурыг давтан хийнэ..
Хероны давтагдах томьёог хэрэглэх жишээ
Өгөгдсөн тооны квадрат язгуурыг олж авах дээр дурдсан алгоритм нь олон хүний хувьд нэлээд төвөгтэй бөгөөд ойлгомжгүй мэт санагдаж болох ч бодит байдал дээр энэ томьёо маш хурдан нийлдэг (ялангуяа азтай тоо бол) тул бүх зүйл илүү хялбар болж хувирдаг. 0 -г сонгосон.
Энгийн жишээ авъя: √11-ийг тооцоолох хэрэгтэй. Бид 0=3-ыг сонгоно, учир нь 32=9, энэ нь 42-ээс 11-тэй ойрхон байна=16. Томьёог орлуулбал:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Бид a2 болон a3 зөвхөн аравтын 5-р бутархайгаар ялгаатай болохыг олж мэдсэн тул тооцооллыг үргэлжлүүлэх нь утгагүй юм. газар. Тиймээс томъёоноос ердөө 2 дахин ихийг хэрэглэхэд хангалттай байсан√11-ийг 0.0001 хүртэл тооцоол.
Одоогоор тооны машин, компьютерийг үндсийг тооцоолоход өргөнөөр ашиглаж байгаа ч яг утгыг нь гараар тооцоолохын тулд тэмдэглэсэн томьёог санах нь зүйтэй.
Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл
Квадрат язгуур гэж юу болохыг ойлгох, түүнийг тооцоолох чадварыг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь нэг үл мэдэгдэх тэнцүү тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн ерөнхий хэлбэрийг доорх зурагт үзүүлэв.
Энд c, b, a нь зарим тоонууд бөгөөд a нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй бөгөөд c ба b-ийн утгууд нь тэгийг оруулаад бүрэн дур зоргоороо байж болно.
Зурагт заасан тэгш байдлыг хангасан x-ийн аливаа утгыг түүний үндэс гэж нэрлэдэг (энэ ойлголтыг квадрат язгууртай √ андуурч болохгүй). Харгалзан үзэж буй тэгшитгэл нь 2-р дараалалтай (x2) учир язгуур нь хоёроос илүү тоо байж болохгүй. Эдгээр үндэсийг хэрхэн олохыг өгүүллийн дараа харцгаая.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох (томьёо)
Болж буй тэгш байдлын төрлийг шийдэх энэ аргыг мөн бүх нийтийн буюу ялгаварлан гадуурхах арга гэж нэрлэдэг. Үүнийг ямар ч квадрат тэгшитгэлд хэрэглэж болно. Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ба язгуурын томъёо нь дараах байдалтай байна:
Үндэс нь тэгшитгэлийн гурван коэффициент бүрийн утгаас хамаардаг болохыг харуулж байна. Үүнээс гадна тооцоололx1 нь x2 тооцооноос зөвхөн язгуурын өмнөх тэмдгээр ялгаатай. b2 - 4ac-тай тэнцүү радикал илэрхийлэл нь тэгш байдлыг ялгахаас өөр зүйл биш юм. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёоны дискриминант нь шийдлийн тоо, төрлийг тодорхойлдог тул чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тэгэхээр хэрэв тэг байвал зөвхөн нэг шийдэл байх болно, хэрэв эерэг бол тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай, эцэст нь сөрөг дискриминант нь x1 хоёр цогц язгуурт хүргэдэг. x 2.
Вьетагийн теорем буюу хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн язгуурын зарим шинж чанар
16-р зууны сүүлчээр орчин үеийн алгебрыг үндэслэгчдийн нэг Франц Франсуа Виет хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийг судалж байхдаа түүний язгуур шинж чанарыг олж авч чадсан юм. Математикийн хувьд тэдгээрийг дараах байдлаар бичиж болно:
x1 + x2=-b / a болон x1 x 2=c / a.
Хоёр тэгшитгэлийг хэн ч амархан олж авах боломжтой, үүний тулд зөвхөн ялгаварлагчийн тусламжтайгаар томъёогоор олж авсан язгууруудтай тохирох математик үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай.
Эдгээр хоёр илэрхийллийн хослолыг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хоёр дахь томьёо гэж нэрлэж болох бөгөөд энэ нь дискриминант ашиглахгүйгээр түүний шийдлийг таах боломжтой болгодог. Хэдийгээр энэ хоёр илэрхийлэл нь үргэлж хүчинтэй боловч зөвхөн хүчин зүйлээр ялгах боломжтой бол тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглах нь тохиромжтой гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй.
Олдсон мэдлэгээ бататгах даалгавар
Өгүүлэлд дурдсан бүх арга техникийг харуулах математикийн асуудлыг шийдье. Асуудлын нөхцөл нь дараах байдалтай байна: үржвэр нь -13, нийлбэр нь 4 байх хоёр тоог олох хэрэгтэй.
Энэ нөхцөл нь дөрвөлжин язгуурын нийлбэр ба тэдгээрийн үржвэрийн томъёог ашиглан Виетийн теоремыг шууд сануулж, бид бичнэ:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
А=1 гэж үзвэл b=-4, c=-13 болно. Эдгээр коэффициентууд нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл бичих боломжийг бидэнд олгоно:
x2 - 4x - 13=0.
Ялгаварлагчтай томьёог ашиглавал бид дараах үндсийг авна:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Өөрөөр хэлбэл √68 тоог олох даалгавар багассан. 68=417 гэдгийг анхаарна уу, дараа нь квадрат язгуур шинж чанарыг ашиглан бид дараахийг авна: √68=2√17.
Одоо авч үзсэн квадрат язгуур томъёог ашиглая: a0=4, тэгвэл:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Олдсон утгууд нь ердөө 0.02-оор ялгаатай тул a3 тооцоолох шаардлагагүй. Тиймээс √68=8.246. Үүнийг x-ийн томьёонд орлуулбал 1, 2, бид авна:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 ба x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Таны харж байгаагаар олсон тоонуудын нийлбэр нь үнэхээр 4, гэхдээ тэдгээрийн үржвэрийг олвол -12,999, энэ нь асуудлын нөхцөлийг 0.001 нарийвчлалтайгаар хангаж байна.
