Квадрат тэгшитгэл нь математик, физикийн хэд хэдэн бодлогод ихэвчлэн гарч ирдэг тул оюутан бүр үүнийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой. Энэ нийтлэлд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг дэлгэрэнгүй тайлбарлахаас гадна тэдгээрийн хэрэглээний жишээг өгсөн болно.
Ямар тэгшитгэлийг квадрат гэж нэрлэдэг
Юуны өмнө бид нийтлэл юуны талаар илүү сайн ойлгохын тулд энэ догол мөрийн асуултанд хариулна. Тэгэхээр квадрат тэгшитгэл нь дараах ерөнхий хэлбэртэй байна: c + bx+ax2=0, энд a, b, c нь коэффициент гэж нэрлэгддэг зарим тоонууд юм. Энд a≠0 нь заавал байх нөхцөл, эс тэгвээс заасан тэгшитгэл нь шугаман болж хувирна. Үлдсэн коэффициентүүд (b, c) нь ямар ч утгыг, түүний дотор тэгийг авч болно. Иймд ax2=0, b=0 ба c=0, эсвэл c+ax2=0, энд b=0, эсвэл bx+ax2=0, энд c=0 нь мөн квадрат тэгшитгэлүүд бөгөөд тэдгээрийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээрийн шугаман коэффициент b нь тэг эсвэл тэг байна.үнэ төлбөргүй c хэллэг эсвэл хоёулаа алга болно.
A=1-ийг бууруулсан гэж нэрлэдэг тэгшитгэл нь: x2 + с/a + (b/a)x=0 хэлбэртэй байна.
Квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь түүний тэгш байдлыг хангах ийм x утгыг олох явдал юм. Эдгээр утгыг үндэс гэж нэрлэдэг. Харгалзан үзэж буй тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн илэрхийлэл тул түүний язгуурын дээд тоо хоёроос хэтрэхгүй гэсэн үг.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ямар аргууд байдаг
Ерөнхийдөө шийдэх 4 арга байдаг. Тэдний нэрсийг доор жагсаав:
- Факторинг.
- Дөрвөлжинд нэмэх.
- Мэдэгдэж буй томьёог ашиглах (ялгаварлагчаар).
- Шийдлийн арга нь геометр.
Дээрх жагсаалтаас харж байгаачлан эхний гурван арга нь алгебрийн шинжтэй тул функцийн графикийг багтаасан сүүлийн аргаас илүү олон удаа ашиглагддаг.
Вьета теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх өөр нэг арга бий. Үүнийг дээрх жагсаалтын 5-т оруулж болох боловч Виетийн теорем нь 3-р аргын энгийн үр дагавар тул үүнийг хийгээгүй.
Өгүүллийн дараа бид нэрлэсэн шийдлийн аргуудыг нарийвчлан авч үзэхээс гадна тодорхой тэгшитгэлийн үндсийг олоход ашиглах жишээг өгөх болно.
Арга №1. Факторинг
Квадрат тэгшитгэлийн математикийн энэ аргын хувьд үзэсгэлэнтэйнэр: хүчин зүйлчлэл. Энэ аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: квадрат тэгшитгэлийг тэгтэй тэнцүү байх ёстой хоёр гишүүний (илэрхийллийн) бүтээгдэхүүн болгон харуулах шаардлагатай. Ийм дүрслэл хийсний дараа та бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглаж болох ба энэ нь зөвхөн нэг буюу хэд хэдэн (бүх) гишүүн нь тэг байх үед л тэгтэй тэнцүү байх болно.
Одоо тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд хийх ёстой тодорхой үйлдлүүдийн дарааллыг авч үзье:
- Бүх гишүүдийг илэрхийллийн нэг хэсэг рүү (жишээ нь, зүүн тийш) шилжүүлснээр түүний нөгөө хэсэгт (баруун) зөвхөн 0 үлдэнэ.
- Тэгшитгэлийн нэг хэсгийн гишүүний нийлбэрийг хоёр шугаман тэгшитгэлийн үржвэр хэлбэрээр илэрхийлнэ.
- Шугаман илэрхийлэл бүрийг тэг болгож, тэдгээрийг шийднэ үү.
Таны харж байгаагаар үржүүлэх алгоритм нь маш энгийн боловч ихэнх оюутнууд 2-р заалтыг хэрэгжүүлэх явцад бэрхшээлтэй тулгардаг тул бид үүнийг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно.
Аль 2 шугаман илэрхийлэлийг өөр хоорондоо үржүүлснээр хүссэн квадрат тэгшитгэлийг өгөхийг таахын тулд хоёр энгийн дүрмийг санах хэрэгтэй:
- Хоёр шугаман илэрхийллийн шугаман коэффициентийг өөр хоорондоо үржүүлэхэд квадрат тэгшитгэлийн эхний коэффициент буюу a тоог өгөх ёстой.
- Шугаман илэрхийллийн чөлөөт нөхцөлүүдийг үржүүлэхдээ хүссэн тэгшитгэлийн c тоог өгөх ёстой.
Бүх хүчин зүйлийн тоог сонгосны дараа тэдгээрийг үржүүлэх шаардлагатай бөгөөд хэрэв тэдгээр нь хүссэн тэгшитгэлийг өгвөл 3-р алхам руу орно. Дээрх алгоритмыг ашиглахгүй бол үржүүлэгчийг өөрчлөх хэрэгтэй, гэхдээ дээрх дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөхийн тулд үүнийг хийх хэрэгтэй.
Үлэмжжүүлэх аргын шийдлийн жишээ
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм нь үл мэдэгдэх үндсийг хэрхэн зохиож олдгийг тодорхой харуулъя. Дурын илэрхийлэл өгье, жишээлбэл, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Өгүүллийн өмнөх догол мөрөнд заасан 1-ээс 3 хүртэлх цэгүүдийн дарааллыг ажиглан түүний шийдэл рүү шилжье.
Зүйл 1. Бүх гишүүдийг зүүн тал руу шилжүүлж, квадрат тэгшитгэлийн сонгодог дарааллаар байрлуул. Бид дараах тэгш эрхтэй байна: 2x+(-8)+x2=0.
Зүйл 2. Бид үүнийг шугаман тэгшитгэлийн үржвэр болгон хуваана. a=1, ба c=-8 тул бид жишээ нь ийм бүтээгдэхүүнийг (x-2)(x+4) сонгоно. Энэ нь дээрх догол мөрөнд заасан хүлээгдэж буй хүчин зүйлсийг олох дүрмийг хангана. Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл: -8+2x+x2, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийлэлтэй яг ижил илэрхийллийг авна. Энэ нь бид үржүүлэгчийг зөв таасан гэсэн үг бөгөөд бид алгоритмын 3-р алхам руу шилжиж болно.
Зүйл 3. Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлбэл: x=-4 ба x=2.
Үр дүнд нь эргэлзэж байвал олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгахыг зөвлөж байна. Энэ тохиолдолд бидэнд: 22+22-8=0 ба 2(-4)+(-4)2 -8=0. Үндэс зөв олдсон.
Тиймээс хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглан өгөгдсөн тэгшитгэл нь өөр өөр хоёр үндэстэй болохыг олж мэдсэн.байна: 2 ба -4.
2-р арга. Бүтэн дөрвөлжин
хүртэл нөхөх
Квадрат тэгшитгэлийн алгебр дээр үржүүлэгчийн аргыг үргэлж ашиглах боломжгүй, учир нь квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн бутархай утгын хувьд алгоритмын 2-р догол мөрийг хэрэгжүүлэхэд бэрхшээлтэй тулгардаг.
Бүтэн квадратын арга нь эргээд бүх нийтийнх бөгөөд ямар ч төрлийн квадрат тэгшитгэлд хэрэглэж болно. Үүний мөн чанар нь дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэх явдал юм:
- a ба b коэффициентүүдийг агуулсан тэгшитгэлийн гишүүнийг тэгшитгэлийн нэг хэсэгт, чөлөөт гишүүн c-г нөгөө хэсэгт шилжүүлэх ёстой.
- Дараа нь тэгш байдлын хэсгүүдийг (баруун ба зүүн) a коэффициентоор хуваах ёстой, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг багасгасан хэлбэрээр (a=1) үзүүлнэ.
- Шугаман тэгшитгэлийн квадрат хэлбэрээр илэрхийлэхийн тулд a ба b коэффициент бүхий гишүүнчлэлийн нийлбэр. \u003d 1 тул шугаман тэгшитгэлийн чөлөөт хугацааны хувьд шугаман коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх тул багасгасан квадрат тэгшитгэлийн шугаман коэффициентийн хагастай тэнцүү байх ёстой. Шугаман илэрхийллийн квадратыг зурсны дараа квадратыг тэлэх замаар олж авсан чөлөөт гишүүний байрлаж буй тэгш байдлын баруун талд харгалзах тоог нэмэх шаардлагатай.
- "+" ба "-" тэмдгээр квадрат язгуур авч, аль хэдийн олж авсан шугаман тэгшитгэлийг шийд.
Тайлбарласан алгоритм нь эхлээд харахад нэлээд төвөгтэй мэт санагдаж болох ч бодит байдал дээр үүнийг хүчин зүйлчлэлийн аргыг бодвол хэрэгжүүлэх нь илүү хялбар байдаг.
Бүтэн дөрвөлжин нэмэлтийг ашигласан шийдлийн жишээ
Өмнөх догол мөрөнд тайлбарласан аргын дагуу шийдлийг сургах квадрат тэгшитгэлийн жишээг өгье. -10 - 6x+5x2=0 квадрат тэгшитгэлийг өгье. Бид үүнийг дээр дурдсан алгоритмын дагуу шийдэж эхэлнэ.
Зүйл 1. Бид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ шилжүүлэх аргыг ашигладаг бөгөөд бид дараахийг авна: - 6x+5x2=10.
2-р цэг. Энэ тэгшитгэлийн багасгасан хэлбэрийг түүний гишүүн бүрийн 5-д хуваах замаар олно (хэрэв хоёр хэсгийг ижил тоогоор хувааж эсвэл үржүүлбэл тэгш байдал хадгалагдана). Өөрчлөлтийн үр дүнд бид дараахийг авна: x2 - 6/5x=2.
Зүйл 3. Коэффициентийн тэн хагас нь - 6/5 нь -6/10=-3/5, квадратыг дуусгахын тулд энэ тоог ашиглан бид: (-3/5+x) 2 . Бид үүнийг өргөжүүлж, квадрат тэгшитгэлийн анхны хэлбэрийг хангахын тулд үүссэн чөлөөт гишүүнийг тэгш байдлын зүүн талаас хасах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь баруун талд нэмэхтэй тэнцүү юм. Үүний үр дүнд бид дараахыг авна: (-3/5+x)2=59/25.
Зүйл 4. Эерэг ба сөрөг тэмдгээр квадрат язгуурыг тооцоод язгуурыг ол: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Олдсон хоёр үндэс нь дараах утгатай байна: x1=(√59+3)/5 болон x1=(3-√59)/5.
Гүйцэтгэсэн тооцоо нь үндэстэй холбоотой тул алдаа гаргах магадлал өндөр байна. Тиймээс x2 ба x1 язгуурын зөв эсэхийг шалгахыг зөвлөж байна. Бид x1 авна: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Одоо орлуулахx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Тиймээс бид тэгшитгэлийн олсон язгуур үнэн болохыг харуулсан.
Арга №3. Сайн мэдэх томъёоны хэрэглээ
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх энэ арга нь коэффициентийг мэдэгдэж буй томьёонд орлуулахаас бүрддэг тул хамгийн энгийн арга байж магадгүй юм. Үүнийг ашиглахын тулд та шийдлийн алгоритмыг эмхэтгэх талаар бодох шаардлагагүй, зөвхөн нэг томъёог санахад хангалттай. Энэ нь дээрх зураг дээр харагдаж байна.
Энэ томьёоны радикал илэрхийлэлийг (b2-4ac) ялгах (D) гэж нэрлэдэг. Түүний үнэ цэнэ нь ямар үндэс олж авахаас хамаарна. 3 тохиолдол байна:
- D>0, тэгвэл язгуур хоёр тэгшитгэл нь бодит ба өөр тэгшитгэлтэй байна.
- D=0, тэгвэл язгуурыг авах бөгөөд үүнийг x=-b/(a2) илэрхийллээр тооцоолж болно.
- D<0, тэгвэл та нийлмэл тоогоор илэрхийлэгдэх хоёр өөр төсөөллийн язгуурыг авна. Жишээлбэл, 3-5i тоо нь нарийн төвөгтэй байдаг бол төсөөллийн i нэгж нь шинж чанарыг хангадаг: i2=-1.
Дисриминантыг тооцоолох шийдлийн жишээ
Дээрх томьёог ашиглан дадлага хийх квадрат тэгшитгэлийн жишээг өгье. -3x2-6+3x+4x=0-ын язгуурыг ол. Эхлээд ялгаварлагчийн утгыг тооцоод бид дараахийг авна: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
D<0-ыг авсан тул авч үзсэн тэгшитгэлийн язгуур нь комплекс тоо байна гэсэн үг. Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томъёонд олсон D утгыг орлуулах замаар тэдгээрийг олцгооё (үүнийг дээрх зурган дээр мөн харуулав). Бид дараахыг авна: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Арга №4. Функцийн график ашиглах
Үүнийг мөн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга гэж нэрлэдэг. Дүрмээр бол үүнийг тоон бус, харин авч үзэж буй тэгшитгэлийн чанарын шинжилгээнд ашигладаг гэдгийг хэлэх хэрэгтэй.
Аргын мөн чанар нь парабол болох y=f(x) квадрат функцийг зурах явдал юм. Дараа нь парабол х тэнхлэгийг (X) ямар цэгээр огтолж байгааг тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд тэдгээр нь харгалзах тэгшитгэлийн үндэс болно.
Парабол X тэнхлэгтэй огтлолцох эсэхийг мэдэхийн тулд түүний хамгийн бага (хамгийн их) байрлал болон салбаруудын чиглэлийг мэдэхэд хангалттай (тэдгээр нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно). Энэ муруйн хоёр шинж чанарыг санах хэрэгтэй:
- Хэрэв a>0 - салааны параболууд дээшээ чиглэсэн бол эсрэгээр, a<0 байвал доошилно.
- Параболын хамгийн бага (хамгийн их) координат нь үргэлж x=-b/(2a) байна.
Жишээ нь, -4x+5x2+10=0 тэгшитгэл үндэстэй эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Харгалзах парабол дээшээ чиглэнэ.=5>0. Түүний экстремум нь координаттай: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. муруйны хамгийн бага хэсэг нь x тэнхлэгээс дээгүүр байрласан (y=9, 2), тэгвэл энэ нь сүүлийнхтэй огтлолцохгүй.x утгууд. Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно.
Вьетагийн теорем
Дээр дурьдсанчлан энэ теорем нь дискриминант бүхий томьёог хэрэглэхэд үндэслэсэн No3 аргын үр дагавар юм. Виетийн теоремын мөн чанар нь тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний үндэсийг тэгшитгэх боломжийг олгодог. Харгалзах тэгшитгэлийг авцгаая.
Ялгаварлагчаар язгуурыг тооцоолох томъёог ашиглая. Хоёр үндэс нэмбэл: x1+x2=-b/a. Одоо үндсийг нь үржүүлье: x1x2, хэд хэдэн хялбаршуулсаны дараа бид c/a тоог авна.
Тиймээс квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийдэхийн тулд олж авсан хоёр тэгшитгэлийг ашиглаж болно. Хэрэв тэгшитгэлийн гурван коэффициент бүгд мэдэгдэж байгаа бол эдгээр хоёр тэгшитгэлийн тохирох системийг шийдэж үндсийг нь олох боломжтой.
Вьетагийн теоремыг ашиглах жишээ
Х2+c=-bx хэлбэртэй, үндэс нь 3 ба -4 гэдгийг мэдэж байгаа бол квадрат тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй.
Харж байгаа тэгшитгэлд a=1 байгаа тул Виетийн томъёонууд дараах байдлаар харагдах болно: x2+x1=-b болон x2x1=х. Үндэсүүдийн мэдэгдэж буй утгыг орлуулснаар бид: b=1 ба c=-12 болно. Үүний үр дүнд сэргээгдсэн квадрат бууруулсан тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдах болно: x2-12=-1x. Та язгуурын утгыг орлуулж, тэгш байдал хангагдсан эсэхийг шалгаарай.
Вьета теоремыг урвуу хэрэглэх, өөрөөр хэлбэл язгуурыг тооцоолохтэгшитгэлийн мэдэгдэж буй хэлбэр нь a, b, c жижиг бүхэл тоонуудад шийдлийг хурдан (зөн совингоор) олох боломжийг олгодог.
