Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох шинж чанарууд ба арга

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Дэлхий ертөнц ийм байдлаар зохион байгуулагдсан бөгөөд олон тооны асуудлын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Тэгшитгэлийн үндэс нь янз бүрийн хэв маягийг тодорхойлоход чухал ач холбогдолтой. Үүнийг эртний Вавилоны судлаачид хүртэл мэддэг байсан. Одон орон судлаачид, инженерүүд ч ийм асуудлыг шийдэхээс өөр аргагүй болсон. МЭ 6-р зуунд Энэтхэгийн эрдэмтэн Арьябхата квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох үндсийг боловсруулжээ. Томьёог 19-р зуунд дуусгасан.

Ерөнхий ойлголт

Бид таныг квадрат тэгш байдлын үндсэн зүй тогтолтой танилцахыг урьж байна. Ерөнхийдөө тэгш байдлыг дараах байдлаар бичиж болно:

ax2 + bx + c=0, Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоо нэг эсвэл хоёртой тэнцүү байж болно. Ялгаварлах ойлголтыг ашиглан хурдан шинжилгээ хийж болно:

D=b2 - 4ac

Тооцсон утгаас хамааран бид дараахыг авна:

• D > 0 үед хоёр өөр үндэс байна. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох ерөнхий томъёо нь (-b± √D) / (2a) шиг харагдаж байна.
• D=0, энэ тохиолдолд үндэс нь нэг бөгөөд x=-b / (2a) утгатай тохирч байна.
• D < 0, ялгаварлагчийн сөрөг утгын хувьд тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй.

Тэмдэглэл: хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал тэгшитгэл нь зөвхөн бодит тооны мужид үндэсгүй болно. Хэрэв алгебрийг нийлмэл язгуурын тухай ойлголт руу шилжүүлбэл тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна.

Үндэс олох томьёог баталгаажуулах үйлдлүүдийн гинжийг өгье.

Тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрээс үзвэл:

ax2 + bx=-c

Бид баруун, зүүн хэсгүүдийг 4a-аар үржүүлж, b2 нэмбэл болно.

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Зүүн талыг олон гишүүнтийн квадрат болгон хувирга (2ax + b)². Бид 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2) тэгшитгэлийн хоёр талын квадрат язгуурыг гаргаж аваад b коэффициентийг баруун тал руу шилжүүлж, бид:авна.}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Эндээс:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Юу харуулах шаардлагатай байсан.

Тусгай тохиолдол

Зарим тохиолдолд асуудлын шийдлийг хялбарчилж болно. Тиймээс, тэгш коэффициент b-ийн хувьд бид илүү энгийн томьёог авна.

k=1/2b гэж тэмдэглэвэл квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ерөнхий хэлбэрийн томьёо: хэлбэрийг авна.

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

D=0 үед бид x=-k / a болно

Өөр нэг онцгой тохиолдол бол a=1-тэй тэгшитгэлийн шийдэл юм.

x² + bx + c=0 хэлбэрийн хувьд үндэс нь x=-k ± √(k^{2 - c болно.) 0-ээс их ялгавартай. D=0 тохиолдолд үндсийг энгийн томъёогоор тодорхойлно: x=-k.}

График ашиглах

Ямар ч хүн өөрөө ч мэдэлгүй квадрат функцээр маш сайн дүрслэгдсэн физик, хими, биологи, тэр байтугай нийгмийн үзэгдэлтэй байнга тулгардаг.

Тэмдэглэл: квадрат функц дээр үндэслэсэн муруйг парабола гэж нэрлэдэг.

Энд хэдэн жишээ байна.

1. Савхын чиглэлийг тооцоолохдоо тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр харвасан биеийн параболын дагуух хөдөлгөөний шинж чанарыг ашиглана.
2. Ачааллыг жигд хуваарилах параболын шинж чанарыг архитектурт өргөн ашигладаг.

Параболик функцийн ач холбогдлыг ойлгосноор "дискриминант" болон "квадрат тэгшитгэлийн язгуур" гэсэн ойлголтуудыг ашиглан түүний шинж чанарыг судлахын тулд графикийг хэрхэн ашиглахыг олж мэдье.

a ба b коэффициентүүдийн утгаас хамааран муруйн байрлалын зөвхөн зургаан сонголт байна:

1. Ялгаварлагч эерэг, a ба b тэмдэгтүүд өөр байна. Параболагийн мөчрүүд дээшээ харвал квадрат тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй байна.
2. Дискриминант ба коэффициент b нь тэгтэй тэнцүү, a коэффициент тэгээс их байна. График эерэг бүсэд, тэгшитгэл нь 1 үндэстэй.
3. Ялгаварлагч болон бүх коэффициент эерэг байна. Квадрат тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.
4. Ялгаварлах коэффициент ба a коэффициент сөрөг, b нь тэгээс их. Графикийн салбарууд доош чиглэсэн, тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
5. Ялгаварлан гадуурхагч баb коэффициент нь тэгтэй тэнцүү, а коэффициент сөрөг байна. Парабол доош харвал тэгшитгэл нь нэг үндэстэй.
6. Ялгаварлагчийн утга ба бүх коэффициентүүд сөрөг байна. Ямар ч шийдэл байхгүй, функцийн утга бүрэн сөрөг бүсэд байна.

Тэмдэглэл: a=0 сонголтыг авч үзэхгүй, учир нь энэ тохиолдолд парабол нь шулуун шугам болж мууддаг.

Дээрх бүх зүйлийг доорх зургаар сайн дүрсэлсэн болно.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Нөхцөл: ерөнхий шинж чанаруудыг ашиглан язгуур нь өөр хоорондоо тэнцүү квадрат тэгшитгэл байгуул.

Шийдэл:

бодлогын нөхцөлийн дагуу x₁ =x₂, эсвэл -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Тэмдэглэгээг хялбарчлах нь:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, хаалтыг нээж, ижил нөхцөлийг өгнө. Тэгшитгэл нь 2√(b² - 4ac)=0 болно. b² - 4ac=0, тиймээс b ^{үед энэ мэдэгдэл үнэн болно. 2=4ac, дараа нь b=2√(ac) утгыг тэгшитгэлд орлуулна}

ax² + 2√(ac)x + c=0, багасгасан хэлбэрээр бид x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Хариулт:

0-тэй тэнцүү биш ба дурын c-ийн хувьд b=2√(c / a) бол ганцхан шийдэл байна.

Квадрат тэгшитгэлүүд нь энгийн байдгаараа инженерийн тооцоололд чухал ач холбогдолтой. Бараг ямар ч физик процессыг ашиглан тодорхой ойролцоо байдлаар дүрсэлж болноэрэмбийн чадлын функцууд n. Квадрат тэгшитгэл нь анхны ойролцоо тооцоолол байх болно.