Сургуульд байхдаа ч гэсэн бид бүгд тэгшитгэл, мэдээжийн хэрэг тэгшитгэлийн системийг судалдаг байсан. Гэхдээ тэдгээрийг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг гэдгийг олон хүн мэддэггүй. Өнөөдөр бид хоёроос дээш тэгшитгэлээс бүрдэх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх бүх аргыг нарийвчлан шинжлэх болно.
Түүх
Тэгшитгэл, түүний системийг шийдвэрлэх урлаг эртний Вавилон, Египтээс үүссэн нь өнөөдөр мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч ердийн хэлбэрээр тэгш байдал нь 1556 онд Английн математикч Рекорд нэвтрүүлсэн "=" гэсэн тэмдэг гарч ирсний дараа гарч ирэв. Дашрамд хэлэхэд энэ тэмдгийг нэг шалтгаанаар сонгосон: энэ нь хоёр зэрэгцээ тэнцүү сегмент гэсэн үг юм. Үнэхээр тэгш байдлын илүү сайн жишээ байхгүй.
Үл мэдэгдэх болон зэрэглэлийн тэмдгийн орчин үеийн үсгийн тэмдэглэгээг үндэслэгч нь Францын математикч Франсуа Виет юм. Гэсэн хэдий ч түүний томилгоо өнөөдрийнхөөс эрс ялгаатай байв. Жишээлбэл, тэрээр үл мэдэгдэх тооны квадратыг Q үсгээр (лат. "quadratus"), шоо C (лат. "cubus") үсгээр тэмдэглэв. Эдгээр тэмдэглэгээ нь одоо тохиромжгүй мэт санагдаж байна, гэхдээ дараа ньЭнэ нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг бичих хамгийн ойлгомжтой арга байсан.
Гэхдээ тухайн үеийн шийдлийн аргын сул тал нь математикчид зөвхөн эерэг язгуурыг авч үздэг байсан. Магадгүй энэ нь сөрөг утгууд практик хэрэглээгүй байсантай холбоотой байж болох юм. 16-р зуунд сөрөг үндсийг анхлан авч үзсэн хүмүүс бол Италийн математикч Никколо Тартаглиа, Жероламо Кардано, Рафаэль Бомбелли нар юм. Мөн орчин үеийн дүр төрх, квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн арга (дискриминантаар) зөвхөн 17-р зуунд Декарт, Ньютон нарын ажлын ачаар бий болсон.
18-р зууны дундуур Швейцарийн математикч Габриэль Крамер шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хялбар болгох шинэ аргыг олсон. Энэ аргыг дараа нь түүний нэрээр нэрлэсэн бөгөөд өнөөг хүртэл бид үүнийг ашиглаж байна. Гэхдээ бид Крамерын аргын талаар хэсэг хугацааны дараа ярих боловч одоогоор шугаман тэгшитгэл, тэдгээрийг системээс тусад нь шийдвэрлэх аргуудын талаар ярилцах болно.
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл нь хувьсагч(ууд)-тай хамгийн энгийн тэгшитгэл юм. Тэдгээрийг алгебрийн гэж ангилдаг. Шугаман тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ: 2+…a x =b. Цаашид систем болон матрицыг эмхэтгэх үед бидэнд энэ хэлбэрээр тэдний төлөөлөл хэрэгтэй болно.
Шугаман алгебр тэгшитгэлийн систем
Энэ нэр томъёоны тодорхойлолт нь: энэ нь нийтлэг үл мэдэгдэх, нийтлэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн багц юм. Дүрмээр бол сургуульд бүх зүйлийг системээр шийддэг байвхоёр эсвэл бүр гурван тэгшитгэлтэй. Гэхдээ дөрөв ба түүнээс дээш бүрэлдэхүүн хэсэгтэй системүүд байдаг. Дараа нь шийдвэрлэхэд тохиромжтой байхын тулд эхлээд тэдгээрийг хэрхэн бичихээ олж мэдье. Нэгдүгээрт, бүх хувьсагчдыг 1, 2, 3 гэх мэт зохих индексээр x гэж бичвэл шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд илүү сайн харагдах болно. Хоёрдугаарт, бүх тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах ёстой: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Эдгээр бүх алхмуудын дараа бид шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг хэрхэн олох талаар ярьж эхэлж болно. Матрицууд үүнд маш хэрэгтэй болно.
Матриц
Матриц гэдэг нь мөр, баганаас бүрдэх хүснэгт бөгөөд түүний элементүүд нь тэдгээрийн огтлолцол дээр байрладаг. Эдгээр нь тодорхой утга эсвэл хувьсагч байж болно. Ихэнх тохиолдолд элементүүдийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн доор доод тэмдэгтүүдийг байрлуулдаг (жишээлбэл, a11 эсвэл a23). Эхний индекс нь мөрийн дугаар, хоёр дахь нь баганын дугаарыг илэрхийлнэ. Матрицууд болон бусад математикийн элементүүд дээр та янз бүрийн үйлдлүүдийг хийж болно. Тиймээс та:
1) Ижил хэмжээтэй хүснэгтүүдийг хасаж нэмнэ.
2) Матрицыг хэдэн тоо эсвэл вектороор үржүүлэх.
3) Хөрвүүлэх: Матрицын мөрүүдийг багана, баганыг мөр болгон хувиргана.
4) Хэрэв аль нэгнийх нь мөрийн тоо нөгөөгийн баганын тоотой тэнцүү байвал матрицуудыг үржүүлнэ.
Энэ бүх арга техник нь ирээдүйд хэрэг болох тул бид илүү дэлгэрэнгүй ярих болно. Матрицыг хасах, нэмэх нь маш хялбар байдаг. ТэгэхээрБид ижил хэмжээтэй матрицуудыг авах үед нэг хүснэгтийн элемент бүр нөгөөгийн элемент бүртэй тохирч байна. Тиймээс бид эдгээр хоёр элементийг нэмдэг (хасах) (тэдгээр нь матрицын ижил газар байх нь чухал). Матрицыг тоо эсвэл вектороор үржүүлэхдээ матрицын элемент бүрийг тухайн тоогоор (эсвэл вектор) үржүүлэхэд л хангалттай. Шилжүүлэн суулгах нь маш сонирхолтой үйл явц юм. Заримдаа үүнийг бодит амьдрал дээр, жишээлбэл, таблет эсвэл утасны чиглэлийг өөрчлөх үед харах нь маш сонирхолтой байдаг. Ширээний компьютер дээрх дүрсүүд нь матриц бөгөөд байрлалыг өөрчлөхөд энэ нь шилжиж, илүү өргөн болох боловч өндөр нь багасдаг.
Матриц үржүүлэх гэх мэт процессыг дахин харцгаая. Хэдийгээр энэ нь бидэнд ашиггүй боловч үүнийг мэдэх нь ашигтай хэвээр байх болно. Нэг хүснэгтийн баганын тоо нөгөө хүснэгтийн мөрийн тоотой тэнцүү байвал та хоёр матрицыг үржүүлж болно. Одоо нэг матрицын эгнээний элементүүд болон нөгөө матрицын харгалзах баганын элементүүдийг авч үзье. Бид тэдгээрийг өөр хоорондоо үржүүлж, дараа нь нэмнэ (жишээлбэл, a11 ба a12 элементүүдийн үржвэр нь b 12ба b22 нь дараахтай тэнцүү байх болно: a11b12 + a 12 b22). Ийнхүү хүснэгтийн нэг элементийг олж авсан бөгөөд үүнийг ижил төстэй аргаар бөглөнө.
Одоо бид шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэж байгааг харж болно.
Гаусын арга
Энэ сэдэв сургууль дээр ч дамжиж эхэлдэг. Бид "хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем" гэсэн ойлголтыг сайн мэддэг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхийг мэддэг. Гэхдээ тэгшитгэлийн тоо хоёроос дээш байвал яах вэ? Гауссын арга бидэнд үүнд тусална.
Мэдээж хэрэг, хэрэв та системээс матриц хийвэл энэ аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой. Гэхдээ та үүнийг хувиргаж, цэвэр хэлбэрээр нь шийдэж чадахгүй.
Тэгвэл энэ арга нь шугаман Гауссын тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ? Дашрамд хэлэхэд, энэ аргыг түүний нэрээр нэрлэсэн ч эрт дээр үеэс илрүүлсэн. Гаусс дараахь зүйлийг санал болгож байна: бүхэл бүтэн багцыг шаталсан хэлбэрт оруулахын тулд тэгшитгэлтэй үйлдлүүд хийх. Өөрөөр хэлбэл, дээрээс доош (зөв байрлуулсан бол) эхний тэгшитгэлээс сүүлчийнх хүртэл нэг үл мэдэгдэх зүйл буурах шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бид гурван тэгшитгэлийг олж авах ёстой: эхнийх нь гурван үл мэдэгдэх, хоёрдугаарт - хоёр, гурав дахь нь нэг. Дараа нь сүүлчийн тэгшитгэлээс бид эхний үл мэдэгдэхийг олж, түүний утгыг хоёр дахь эсвэл эхний тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь үлдсэн хоёр хувьсагчийг олно.
Крамерын арга
Энэ аргыг эзэмшихийн тулд матрицыг нэмэх, хасах ур чадварыг эзэмших нь чухал бөгөөд мөн тодорхойлогчийг олох чадвартай байх шаардлагатай. Тиймээс, хэрэв та энэ бүгдийг муу хийдэг эсвэл яаж хийхээ огт мэдэхгүй байгаа бол сурч, дадлага хийх хэрэгтэй болно.
Энэ аргын мөн чанар юу вэ, Крамерын шугаман тэгшитгэлийн системийг яаж гаргах вэ? Бүх зүйл маш энгийн. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тоон (бараг үргэлж) коэффициентүүдээс бид матрицыг бүтээх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд үл мэдэгдэх тоонуудын урд байгаа тоонуудыг аваад дарааллаар нь оруулаарайтэдгээрийг системд бүртгэсэн дарааллаар нь хүснэгт. Хэрэв тооны өмнө "-" тэмдэг байгаа бол сөрөг коэффициентийг бичнэ. Тиймээс бид эхний матрицыг тэнцүү тэмдгийн дараах тоонуудыг оруулалгүйгээр үл мэдэгдэх коэффициентуудаас эмхэтгэсэн (мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлийг зөвхөн баруун талд байгаа тоо, бүх үл мэдэгдэх нь каноник хэлбэрт оруулах ёстой. коэффициентүүд зүүн талд). Дараа нь та хэд хэдэн матриц үүсгэх хэрэгтэй - хувьсагч бүрт нэг. Үүнийг хийхийн тулд бид багана бүрийг эхний матрицын коэффициент бүхий тэнцүү тэмдгийн дараа тоон баганаар солино. Тиймээс бид хэд хэдэн матрицыг олж, тэдгээрийн тодорхойлогчдыг олно.
Тодорхойлогчдыг олсоны дараа асуудал бага байна. Бидэнд анхны матриц байгаа бөгөөд өөр өөр хувьсагчид тохирох хэд хэдэн үр дүнгийн матрицууд байдаг. Системийн шийдлүүдийг олж авахын тулд бид үүссэн хүснэгтийн тодорхойлогчийг эхний хүснэгтийн тодорхойлогчоор хуваана. Үр дүнгийн тоо нь аль нэг хувьсагчийн утга юм. Үүнтэй адилаар бид бүх үл мэдэгдэх зүйлсийг олдог.
Бусад аргууд
Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох өөр хэд хэдэн арга бий. Жишээлбэл, Гаусс-Жорданы арга гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ нь квадрат тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход хэрэглэгддэг бөгөөд матрицыг ашиглахтай холбоотой байдаг. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх Якоби арга бас бий. Энэ нь компьютерт дасан зохицоход хамгийн хялбар бөгөөд тооцоололд ашиглагддаг.
Хэцүү тохиолдол
Тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага байвал нарийн төвөгтэй байдал ихэвчлэн үүсдэг. Дараа нь бид систем нь зөрчилтэй (өөрөөр хэлбэл үндэсгүй) эсвэл түүний шийдлүүдийн тоо хязгааргүй байх хандлагатай байдаг гэдгийг баттай хэлж чадна. Хэрэв бид хоёр дахь тохиолдол байгаа бол шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг бичих хэрэгтэй. Энэ нь дор хаяж нэг хувьсагч агуулна.
Дүгнэлт
Энд бид төгсгөлд ирлээ. Дүгнэж хэлэхэд: бид систем, матриц гэж юу болох талаар дүн шинжилгээ хийж, шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг хэрхэн олох талаар сурсан. Үүнээс гадна бусад хувилбаруудыг авч үзсэн. Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэж байгааг олж мэдсэн: Гауссын арга ба Крамерын арга. Бид хэцүү тохиолдлууд болон шийдлийг олох бусад аргуудын талаар ярилцлаа.
Үнэндээ энэ сэдэв илүү өргөн хүрээтэй бөгөөд хэрэв та үүнийг илүү сайн ойлгохыг хүсвэл илүү төрөлжсөн уран зохиол уншихыг зөвлөж байна.
