Тойрог бол геометрийн үндсэн дүрс бөгөөд түүний шинж чанарыг 8-р ангид сургуульд авч үздэг. Тойрогтой холбоотой нийтлэг бэрхшээлүүдийн нэг бол дугуй сектор гэж нэрлэгддэг түүний зарим хэсгийн талбайг олох явдал юм. Нийтлэлд тухайн салбарын талбай, нумын уртын томьёо, мөн тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг өгсөн болно.
Тойрог ба тойрог гэсэн ойлголт
Тойргийн секторын талбайн томьёо өгөхөөс өмнө заасан тоо юу болохыг авч үзье. Математикийн тодорхойлолтоор тойрог гэж хавтгай дээрх бүх цэгүүд нь нэг цэгээс (төв) ижил зайд байрладаг ийм дүрсийг ойлгодог.
Тойрог авч үзэхдээ дараах нэр томъёог ашигладаг:
- Радиус - төвийн цэгээс тойргийн муруй хүртэл зурсан сегмент. Үүнийг ихэвчлэн R үсгээр тэмдэглэдэг.
- Диаметр нь тойргийн хоёр цэгийг холбосон хэрчмийг мөн зургийн төвийг дайран өнгөрдөг сегмент юм. Үүнийг ихэвчлэн D үсгээр тэмдэглэдэг.
- Нум нь муруй тойргийн нэг хэсэг юм. Үүнийг уртын нэгжээр эсвэл өнцгөөр хэмждэг.
Тойрог нь геометрийн өөр нэг чухал дүрс бөгөөд муруй тойргоор хүрээлэгдсэн цэгүүдийн цуглуулга юм.
Тойргийн талбай ба тойрог
Зүйлийн гарчигт тэмдэглэсэн утгыг хоёр энгийн томъёогоор тооцоолно. Тэдгээрийг доор жагсаав:
- Тойрог: L=2piR.
- Тойргийн талбай: S=piR2.
Эдгээр томъёонд pi нь Pi гэж нэрлэгддэг тогтмол юм. Энэ нь үндэслэлгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй юм. Pi нь ойролцоогоор 3.1416.
Дээрх илэрхийллээс харахад талбай болон уртыг тооцоолохын тулд зөвхөн тойргийн радиусыг мэдэхэд хангалттай.
Тойргийн секторын талбай ба нумын урт
Харгалзах томьёог авч үзэхийн өмнө геометрийн өнцгийг ихэвчлэн хоёр үндсэн аргаар илэрхийлдэгийг бид санаж байна:
- секс бага зэрэг, тэнхлэгээ тойрон бүтэн эргэх нь 360o;
- радианаар, pi-ийн бутархайгаар илэрхийлэгдэж, градустай дараах тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ: 2pi=360o.
Тойргийн сектор нь тойргийн нум ба энэ нумын төгсгөлд байрлах хоёр радиус гэсэн гурван шугамаар хүрээлэгдсэн дүрс юм. Дугуй хэлбэрийн жишээг доорх зурагт үзүүлэв.
Тойргийн салбар гэж юу болох талаар ойлголттой болох нь амархантүүний талбай болон харгалзах нумын уртыг хэрхэн тооцоолохыг ойлгох. Дээрх зургаас секторын нум нь θ өнцөгтэй тохирч байгааг харж болно. Бүтэн тойрог нь 2pi радиантай тохирч байгааг бид мэдэж байгаа тул дугуй секторын талбайн томъёо нь S1=Sθ/(2) хэлбэртэй байна. pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Энд θ өнцгийг радианаар илэрхийлнэ. Салбарын талбайн ижил төстэй томъёо, хэрэв θ өнцгийг градусаар хэмжвэл дараах байдлаар харагдана: S1=piθR2 /360.
Сектор үүсгэх нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Хэрэв θ нь градусаар мэдэгдэж байвал: L1=piθR/180.
Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Тойргийн секторын талбай ба нумын уртын томъёог хэрхэн ашиглахыг энгийн бодлогын жишээгээр үзүүлье.
Дугуй нь 12 хигээстэй гэдгийг мэддэг. Дугуй нэг бүтэн эргэлт хийхэд 1.5 метрийн зайг туулдаг. Дугуйны зэргэлдээ хоёр хигээсийн хооронд ямар талбай хүрээлэгдсэн бэ, тэдгээрийн хоорондох нумын урт хэд вэ?
Харгалзах томьёоноос харахад тэдгээрийг ашиглахын тулд та тойргийн радиус ба нумын өнцөг гэсэн хоёр хэмжигдэхүүнийг мэдэх хэрэгтэй. Дугуйны тойргийг мэдэх замаар радиусыг тооцоолж болно, учир нь нэг эргэлтэнд туулсан зай нь үүнтэй яг таарч байна. Бидэнд: 2Rpi=1.5, эндээс: R=1.5/(2pi)=0.2387 метр. Хамгийн ойрын хигээсийн хоорондох өнцгийг тэдгээрийн тоог мэдэх замаар тодорхойлж болно. Бүх 12 хигээс нь тойргийг тэнцүү секторт хуваадаг гэж үзвэл бид 12 ижил салбарыг авна. Үүний дагуу хоёр хигээсийн хоорондох нумын өнцгийн хэмжигдэхүүн нь: θ=2pi/12=pi/6=0.5236 радиан.
Бид шаардлагатай бүх утгыг олсон, одоо тэдгээрийг томъёонд орлуулж, асуудлын нөхцөлийн дагуу шаардлагатай утгыг тооцоолох боломжтой. Бид дараахийг авна: S1=0.5236(0.2387)2/2=0.0149 m2, эсвэл 149см2; L1=0.52360.2387=0.125 м буюу 12.5 см.
