Шугам ба хавтгай нь 2 хэмжээст болон 3 хэмжээст орон зайд өөр өөр дүрс бүтээхэд ашиглаж болох хамгийн чухал геометрийн хоёр элемент юм. Зэрэгцээ шулуун ба параллель хавтгайн хоорондын зайг хэрхэн олох талаар бодож үзээрэй.
Математикийн даалгавар шулуун шугам
Сургуулийн геометрийн хичээлээс харахад хоёр хэмжээст тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг дараах хэлбэрээр зааж өгч болно:
y=kx + b.
Энд k ба b нь тоо (параметр). Хавтгай дахь шугамыг дүрслэх бичгийн хэлбэр нь гурван хэмжээст орон зайд z тэнхлэгтэй параллель байгаа хавтгай юм. Үүнийг харгалзан энэ өгүүлэлд шулуун шугамын математикийн даалгаврын хувьд бид илүү тохиромжтой, түгээмэл хэлбэр болох вектор хэлбэрийг ашиглах болно.
Манай шулуун зарим u¯(a, b, c) вектортой параллель байх ба P(x0,цэгийг дайран өнгөрнө гэж бодъё.y0, z0). Энэ тохиолдолд вектор хэлбэрээр түүний тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлнэ:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Энд λ нь дурын тоо юм. Хэрэв бид бичсэн илэрхийлэлийг өргөтгөх замаар координатыг тодорхой илэрхийлбэл шулуун шугам бичих параметрийн хэлбэрийг авна.
Зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг тодорхойлох шаардлагатай төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ вектор тэгшитгэлтэй ажиллахад тохиромжтой.
Шугам ба тэдгээрийн хоорондох зай
Шугам хоорондын зайг зөвхөн параллель байх үед ярих нь утга учиртай (гурван хэмжээст тохиолдолд хазайсан шугамын хооронд тэгээс өөр зай бас бий). Хэрэв шугамууд огтлолцож байвал тэдгээр нь бие биенээсээ тэг зайд байгаа нь илт байна.
Зэрэгцээ шулуунуудын хоорондох зай нь тэдгээрийг холбосон перпендикулярын урт юм. Энэ үзүүлэлтийг тодорхойлохын тулд аль нэг шулуун дээрх дурын цэгийг сонгож, нөгөө шугам руу перпендикуляр буулгахад хангалттай.
Хүссэн зайгаа олох процедурыг товч тайлбарлая. Дараах ерөнхий хэлбэрээр үзүүлсэн хоёр шугамын вектор тэгшитгэлийг бид мэднэ гэж бодъё:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Эдгээр шулуунууд дээр нэг тал нь PQ, нөгөө тал нь жишээлбэл, u байхаар параллелограмм байгуул. Мэдээжийн хэрэг, P цэгээс зурсан энэ зургийн өндөр нь шаардлагатай перпендикулярын урт юм. Үүнийг олохын тулд та дараах энгийн аргыг хэрэглэж болнотомъёо:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Шулуун шугамын хоорондох зай нь тэдгээрийн хоорондох перпендикуляр хэрчмийн урт тул бичсэн илэрхийллийн дагуу PQ¯ ба u¯-ийн вектор үржвэрийн модулийг олж, үр дүнг хуваахад хангалттай. u¯ векторын урт.
Шулуун шугамын хоорондох зайг тодорхойлох даалгаврын жишээ
Хоёр шулуун шугамыг дараах вектор тэгшитгэлээр өгөгдсөн:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Бичсэн хэллэгээс харахад бид хоёр зэрэгцээ шугамтай болох нь тодорхой байна. Үнэхээр эхний шугамын чиглэлийн векторын координатыг -1-ээр үржүүлбэл бид хоёр дахь шугамын чиглэлийн векторын координатыг авах бөгөөд энэ нь тэдгээрийн параллель байдлыг илтгэнэ.
Шулуун шугам хоорондын зайг өгүүллийн өмнөх догол мөрөнд бичсэн томъёогоор тооцоолно. Бидэнд:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Дараа нь бид дараахыг авна:
|u¯|=√14см;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 см.
Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд P ба Q цэгийн оронд эдгээр шулуунуудад хамаарах ямар ч цэгийг ашиглаж болохыг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд бид ижил зайг авна d.
Геометрийн хавтгайг тохируулах
Мөр хоорондын зайны асуудлыг дээр дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Одоо параллель хавтгай хоорондын зайг хэрхэн олохыг үзүүлье.
Хүн бүр онгоц гэж юу болохыг төлөөлдөг. Математикийн тодорхойлолтын дагуу тодорхойлсон геометрийн элемент нь цэгүүдийн цуглуулга юм. Түүнээс гадна, хэрэв та эдгээр цэгүүдийг ашиглан бүх боломжит векторуудыг зохиох юм бол тэдгээр нь бүгд нэг векторт перпендикуляр байх болно. Сүүлийнхийг ихэвчлэн онгоцны хэвийн гэж нэрлэдэг.
Гурван хэмжээст орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:
Ax + By + Cz + D=0.
Латин том үсэг нь зарим тоо юм. Хэвийн векторын координатууд нь тодорхой өгөгдсөн тул ийм төрлийн хавтгай тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой. Тэдгээр нь A, B, C.
Хоёр хавтгайн хэвийн хэмжээ нь параллель байх үед л параллель байгааг харахад хялбар байдаг.
Хоёр зэрэгцээ хавтгай хоорондын зайг хэрхэн олох вэ ?
Тогтоосон зайг тодорхойлохын тулд юу эрсдэлд орж байгааг сайн ойлгох хэрэгтэй. Бие биетэйгээ параллель байрлах хавтгайн хоорондох зайг тэдгээрт перпендикуляр сегментийн урт гэж ойлгодог. Энэ сегментийн төгсгөлүүд нь онгоцонд хамаарна.
Иймэрхүү асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн. Үүнийг хийхийн тулд та хоёр хавтгайн аль нэгэнд хамаарах ямар ч цэгийн координатыг олох хэрэгтэй. Дараа нь та энэ томъёог ашиглах хэрэгтэй:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Зай нь эерэг утгатай тул модулийн тэмдэг нь тоологч дотор байна. Бичсэн томъёо нь бүх нийтийнх бөгөөд энэ нь хавтгайгаас ямар ч геометрийн элемент хүртэлх зайг тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ элементийн нэг цэгийн координатыг мэдэхэд хангалттай.
Бүрэн гүйцэд байхын тулд хэрэв хоёр хавтгайн нормууд хоорондоо параллель биш бол ийм хавтгай огтлолцох болно гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Дараа нь тэдгээрийн хоорондох зай тэг болно.
Онгоц хоорондын зайг тодорхойлох асуудал
Хоёр хавтгайг дараах илэрхийллээр өгөгдсөн нь мэдэгдэж байна:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Хавтгууд параллель байгааг нотлохоос гадна тэдгээрийн хоорондын зайг тодорхойлох шаардлагатай.
Бодлогын эхний хэсэгт хариулахын тулд эхний тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Энэ нь сегмент дэх тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр өгөгдсөн болохыг анхаарна уу. Түүний зүүн ба баруун хэсгүүдийг 15-аар үржүүлж, бүх гишүүнийг тэгшитгэлийн нэг тал руу шилжүүлбэл:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Хавтуудын хоёр хэвийн векторын координатыг бичье:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Хэрэв n2¯-г 5-аар үржүүлбэл n1¯ координат яг гарна гэдгийг харж болно. Тиймээс авч үзсэн онгоцууд ньзэрэгцээ.
Зэрэгцээ хавтгай хоорондын зайг тооцоолохын тулд тэдгээрийн эхнийх нь дурын цэгийг сонгоод дээрх томьёог ашиглана. Жишээлбэл, эхний хавтгайд хамаарах цэгийг (0, 0, 1) авъя. Дараа нь бид: авна.
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 см.
Хүссэн зай 31 мм.
Онгоц ба шугамын хоорондох зай
Өгөгдсөн онолын мэдлэг нь шулуун ба хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Онгоц хоорондын тооцоололд хүчинтэй томъёо нь бүх нийтийнх гэдгийг дээр дурдсан. Үүнийг мөн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн мөрөнд хамаарах дурын цэгийг сонгоход хангалттай.
Болж буй геометрийн элементүүдийн хоорондын зайг тодорхойлох гол асуудал бол тэдгээрийн параллель байдлыг батлах явдал юм (хэрэв үгүй бол d=0). Шугамын хэвийн ба чиглэлийн векторын скаляр үржвэрийг тооцвол параллелизмыг батлахад хялбар болно. Хэрэв авч үзэж буй элементүүд параллель байвал энэ бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна.
