Ердийн геометрийн бодлого бол шугам хоорондын өнцгийг олох явдал юм. Хавтгай дээр шугамын тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол тэдгээрийг зурж, өнцгийг протектороор хэмжиж болно. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаг бөгөөд үргэлж боломжтой байдаггүй. Нэрлэсэн өнцгийг олохын тулд шулуун шугам зурах шаардлагагүй, үүнийг тооцоолж болно. Үүнийг хэрхэн хийх талаар энэ нийтлэлд хариулах болно.
Шулуун шугам ба түүний вектор тэгшитгэл
Ямар ч шулуун шугамыг -∞-аас эхэлж, +∞-ээр төгссөн вектор хэлбэрээр дүрсэлж болно. Энэ тохиолдолд вектор орон зайн аль нэг цэгийг дайран өнгөрдөг. Тиймээс шулуун шугамын дурын хоёр цэгийн хооронд зурж болох бүх векторууд хоорондоо параллель байх болно. Энэхүү тодорхойлолт нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр тохируулах боломжийг танд олгоно:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Энд координаттай вектор (a; b; c) нь (x0; y0 цэгийг дайран өнгөрөх энэ шулууны чиглүүлэгч юм.; z0).α параметр нь заасан цэгийг энэ шугамын аль нэгэнд шилжүүлэх боломжийг олгодог. Энэ тэгшитгэл нь зөн совинтой бөгөөд 3D орон зайд болон хавтгай дээр ажиллахад хялбар юм. Онгоцны хувьд энэ нь z координат болон гурав дахь чиглэлийн вектор бүрэлдэхүүнийг агуулаагүй болно.
Векторын тэгшитгэлийг ашигласнаар тооцоолол хийх, шулуун шугамын харьцангуй байрлалыг судлахад хялбар болсон нь түүний чиглүүлэх векторыг мэддэгтэй холбоотой юм. Түүний координатыг шугам хоорондын өнцөг болон тэдгээрийн хоорондох зайг тооцоолоход ашигладаг.
Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл
Хоёр хэмжээст тохиолдлын хувьд шулуун шугамын вектор тэгшитгэлийг тодорхой бичье. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Одоо бид тэгшитгэл бүрийн хувьд α параметрийг тооцоолж, олж авсан тэгш байдлын зөв хэсгүүдийг тэнцүүлж байна:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Хаалт нээж, бүх нэр томьёог тэгш байдлын нэг тал руу шилжүүлснээр бид дараахыг авна:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, энд A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Үүссэн илэрхийлэлийг хоёр хэмжээст орон зайд өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (гурван хэмжээст дээр энэ тэгшитгэл нь шулуун биш харин z тэнхлэгтэй параллель хавтгайтай тохирч байна).
Хэрэв бид энэ илэрхийлэлд y-ээс x-г тодорхой бичвэл дараах хэлбэрийг авна.оюутан бүр:
y=kx + p, энд k=-A/B, p=-C/B
Энэ шугаман тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Үүнийг сайн мэддэг тэгшитгэлийн дагуу зурах нь маш хялбар бөгөөд үүний тулд та x=0, y=0-ийг ээлжлэн тавьж, координатын систем дэх харгалзах цэгүүдийг тэмдэглэж, олж авсан цэгүүдийг холбосон шулуун шугамыг зурах хэрэгтэй.
Шугам хоорондын өнцгийн томьёо
Хавтгай дээр хоёр шулуун огтлолцох эсвэл хоорондоо параллель байж болно. Орон зайд эдгээр сонголтуудад хазайсан шугам байх боломжийг нэмж оруулсан болно. Эдгээр нэг хэмжээст геометрийн объектуудын харьцангуй байрлалын аль ч хувилбарыг хэрэгжүүлэхээс үл хамааран тэдгээрийн хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор тодорхойлж болно:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Энд v1¯ ба v2¯ нь 1 ба 2-р мөрийн чиглүүлэгч векторууд юм. Тоолуур нь мохоо өнцгийг хасч, зөвхөн хурц өнцгийг харгалзан үзэхийн тулд цэгийн үржвэрийн модуль юм.
V1¯ ба v2¯ векторуудыг хоёр буюу гурван координатаар өгч болох ба өнцгийн томьёо нь φ өөрчлөгдөөгүй.
Шугамын параллелизм ба перпендикуляр байдал
Хэрэв дээрх томьёог ашиглан тооцсон 2 шулууны хоорондох өнцөг 0o байвал тэдгээрийг параллель гэнэ. Шугамууд зэрэгцээ байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд та өнцгийг тооцоолж чадахгүйφ, нэг чиглэлийн векторыг өөр шугамын ижил төстэй вектороор дүрсэлж болохыг харуулахад хангалттай, өөрөөр хэлбэл:
v1¯=qv2¯
Энд q нь бодит тоо байна.
Хэрэв шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар өгвөл:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
тэгвэл x-ийн коэффициентүүд тэнцүү үед л параллель байх болно, өөрөөр хэлбэл:
k1=k2
Хэрэв k коэффициентийг шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатаар хэрхэн илэрхийлж байгааг авч үзвэл энэ баримт нотлогдож болно.
Хэрэв шугам хоорондын огтлолцлын өнцөг 90o бол тэдгээрийг перпендикуляр гэнэ. Шугамын перпендикуляр байдлыг тодорхойлохын тулд φ өнцгийг тооцох шаардлагагүй, үүний тулд зөвхөн v1¯ ба v векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолоход хангалттай. 2¯. Энэ нь тэг байх ёстой.
Орон зайд огтлолцсон шулуун шугамын хувьд φ өнцгийн томьёог мөн ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд үр дүнг зөв тайлбарлах хэрэгтэй. Тооцоолсон φ нь огтлолцдоггүй ба параллель биш шулуунуудын чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийг харуулж байна.
Даалгавар №1. Перпендикуляр шугам
Мэдэгдэж байгаагаар шугамын тэгшитгэл нь: хэлбэртэй байна.
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Эдгээр мөрүүд мөн эсэхийг тодорхойлох шаардлагатайперпендикуляр.
Дээр дурьдсанчлан асуултад хариулахын тулд координат (1; 2) ба (-4; 2)-д тохирох чиглүүлэгчийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолоход хангалттай. Бидэнд:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Бид 0-ийг авсан тул авч үзсэн шулуунууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр байна гэсэн үг.
Даалгавар №2. Шугамын огтлолцлын өнцөг
Шулуун шугамын хоёр тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байдаг нь мэдэгдэж байна:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Мөр хоорондын өнцгийг олох шаардлагатай.
Х-ийн коэффициентүүд өөр өөр утгатай тул эдгээр шугамууд зэрэгцээ биш байна. Тэдний огтлолцох үед үүсэх өнцгийг олохын тулд бид тэгшитгэл бүрийг вектор хэлбэрт хөрвүүлнэ.
Эхний мөрөнд бид дараахыг авна:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Тэгшитгэлийн баруун талд координат нь x-ээс хамаарах векторыг авсан. Үүнийг хоёр векторын нийлбэрээр илэрхийлье, эхний координат нь х хувьсагчийг агуулж, хоёр дахь координат нь зөвхөн тооноос бүрдэнэ:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Х дурын утгыг авдаг тул үүнийг α параметрээр сольж болно. Эхний мөрийн вектор тэгшитгэл нь: болно.
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Бид шугамын хоёр дахь тэгшитгэлтэй ижил үйлдлийг хийснээр бид дараахийг авна:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Бид анхны тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр дахин бичсэн. Одоо та огтлолцлын өнцгийн томьёог ашиглаж, дотор нь шугамын чиглүүлэх векторуудын координатыг орлуулж болно:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Тиймээс авч үзэж буй шугамууд 71.565o буюу 1.249 радианы өнцгөөр огтлолцоно.
Энэ асуудлыг өөрөөр шийдэж болох байсан. Үүнийг хийхийн тулд шулуун шугам бүрийн дурын хоёр цэгийг авч, тэдгээрээс шууд векторуудыг зохиож, дараа нь φ-ийн томъёог ашиглах шаардлагатай байв.
