Энэ юу вэ - боргоцой? Тодорхойлолт, шинж чанар, томъёо, асуудлыг шийдэх жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Конус бол эргэлтийн орон зайн дүрсүүдийн нэг бөгөөд түүний шинж чанар, шинж чанарыг стереометрээр судалдаг. Энэ нийтлэлд бид энэ дүрсийг тодорхойлж, конусын шугаман параметрүүдийг түүний гадаргуу ба эзэлхүүнтэй холбох үндсэн томъёог авч үзэх болно.

Конус гэж юу вэ?

Геометрийн үүднээс авч үзвэл бид огторгуйн тодорхой цэгийг тэгш хавтгай муруйны бүх цэгүүдтэй холбосон шулуун хэрчмүүдийн багцаас үүссэн орон зайн дүрсийн тухай ярьж байна. Энэ муруй нь тойрог эсвэл эллипс байж болно. Доорх зураг нь конусыг харуулж байна.

Танилцуулсан зураг нь эзэлхүүнгүй, учир нь түүний гадаргуугийн хана нь хязгааргүй жижиг зузаантай байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв энэ нь бодисоор дүүрч, дээрээс нь муруйгаар биш, харин хавтгай дүрсээр, жишээлбэл тойрог хэлбэрээр хязгаарлагдсан бол бид конус гэж нэрлэдэг цул эзэлхүүнтэй биетэй болно.

Конус хэлбэрийг амьдралд ихэвчлэн олж болно. Тиймээс замын хөдөлгөөнд оролцогчдын анхаарлыг татахын тулд зайрмагны боргоцой эсвэл судалтай хар, улбар шар өнгийн замын боргоцойтой байдаг.

Конусны элементүүд ба түүний төрлүүд

Конус нь олон өнцөгт биш тул түүнийг бүрдүүлэгч элементийн тоо олон талттай адил их биш юм. Геометрийн хувьд ерөнхий конус нь дараах элементүүдээс бүрдэнэ:

• суурь, зааглах муруйг директрикс буюу generatrix гэж нэрлэдэг;
• хажуугийн гадаргуугийн, энэ нь чиглүүлэгч муруйн орой ба цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын сегментүүдийн (генератрис) бүх цэгүүдийн цуглуулга;
• орой, энэ нь генераторуудын огтлолцох цэг.

Орой нь суурийн хавтгайд байх ёсгүйг анхаарна уу, учир нь энэ тохиолдолд конус нь хавтгай хэлбэртэй болж доройтож байна.

Дээшээс суурь хүртэл перпендикуляр хэрчмийг зурвал зургийн өндрийг авна. Хэрэв сүүлчийн суурь нь геометрийн төвд огтлолцдог бол энэ нь шулуун конус юм. Хэрэв перпендикуляр нь суурийн геометрийн төвтэй давхцахгүй бол зураг налуу болно.

Шулуун ба ташуу конусуудыг зурагт үзүүлэв. Энд конусын суурийн өндөр ба радиусыг h ба r-ээр тус тус тэмдэглэв. Зургийн дээд хэсэг ба суурийн геометрийн төвийг холбосон шугам нь конусын тэнхлэг юм. Шулуун дүрсийн хувьд өндөр нь энэ тэнхлэг дээр байрладаг ба налуу дүрсийн хувьд өндөр нь тэнхлэгтэй өнцөг үүсгэдэг болохыг зургаас харж болно. Конусын тэнхлэгийг a үсгээр тэмдэглэв.

Дугуй суурьтай шулуун конус

Магадгүй, энэ конус нь тоон ангиллын хамгийн түгээмэл нь байж магадгүй юм. Энэ нь тойрог ба хажуугаас бүрдэнэгадаргуу. Үүнийг геометрийн аргаар олж авах нь хэцүү биш юм. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч, нэг хөлтэй давхцаж буй тэнхлэгийг тойрон эргүүлнэ. Мэдээжийн хэрэг, энэ хөл нь зургийн өндөр болж, гурвалжны хоёр дахь хөлний урт нь конусын суурийн радиусыг бүрдүүлнэ. Доорх диаграм нь эргэлтийн дүрсийг олж авах тайлбарласан схемийг харуулж байна.

Дүрсэлсэн гурвалжинг өөр хөлний эргэн тойронд эргүүлэх боломжтой бөгөөд ингэснээр эхнийхээсээ том радиустай, бага өндөртэй конус үүснэ.

Дугуй шулуун конусын бүх параметрийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд түүний шугаман шинж чанарын аль нэгийг мэдэх хэрэгтэй. Тэдгээрийн дотроос r радиус, өндөр h эсвэл generatrix g уртыг ялгадаг. Эдгээр бүх хэмжигдэхүүн нь тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын урт тул тэдгээрийн холболтод Пифагорын теорем хүчинтэй байна:

g²=r²+ h^2.

Гадаргуугийн талбай

Аливаа гурван хэмжээст дүрсийн гадаргууг судлахдаа түүний хөгжүүлэлтийг хавтгайд ашиглах нь тохиромжтой. Конус нь үл хамаарах зүйл биш юм. Дугуй конусын хувьд хөгжлийг доор харуулав.

Зургийн задрал нь хоёр хэсгээс бүрдэж байгааг бид харж байна:

1. Конусны суурийг бүрдүүлж буй тойрог.
2. Зургийн конус гадаргуу болох тойргийн сектор.

Тойргийн талбайг олоход хялбар бөгөөд харгалзах томъёог оюутан бүр мэддэг. Дугуй салбарын тухай ярихдаа бид үүнийг тэмдэглэж байнань g радиустай тойргийн нэг хэсэг (конусын ургийн урт). Энэ секторын нумын урт нь суурийн тойрогтой тэнцүү байна. Эдгээр параметрүүд нь түүний талбайг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг олгодог. Харгалзах томъёо нь:

S=pir2+ pirg.

Илэрхийлэл дэх эхний болон хоёр дахь гишүүн нь суурийн конус ба талбайн хажуугийн гадаргуу юм.

Хэрэв g генераторын урт тодорхойгүй боловч зургийн өндөр h өгөгдсөн бол томьёог дараах байдлаар дахин бичиж болно:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Зургийн хэмжээ

Хэрэв бид шулуун пирамидыг аваад суурийнх нь хажуугийн тоог хязгааргүйд нэмэгдүүлбэл суурийн хэлбэр нь тойрог болж, пирамидын хажуугийн гадаргуу нь конус гадаргууд ойртох болно. Эдгээр бодол нь конусын ижил төстэй утгыг тооцоолохдоо пирамидын эзэлхүүний томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгодог. Конусын эзэлхүүнийг дараах томъёогоор олж болно:

V=1/3цS_o.

Энэ томъёо нь S_{o талбайтай конусын суурь ямар байхаас үл хамааран үргэлж үнэн байдаг. Түүнчлэн, томьёо нь ташуу конусанд мөн хамаарна.}

Бид дугуй суурьтай шулуун дүрсийн шинж чанарыг судалж байгаа тул эзлэхүүнийг тодорхойлохдоо дараах илэрхийллийг ашиглаж болно:

V=1/3hpir2.

Томъёо нь ойлгомжтой.

Гадаргуу ба эзэлхүүнийг олох асуудал

Радиус нь 10 см, үүсгэгчийн урт нь 20 конусыг өгье. Энэ хэлбэрийн эзэлхүүн болон гадаргуугийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай. хэсгийг үзнэ үү.

S талбайг тооцоолохын тулд дээр бичсэн томъёог шууд ашиглаж болно. Бидэнд:

S=pir²+ pirg=942 см^2.

Эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд зургийн h өндөрийг мэдэх шаардлагатай. Бид конусын шугаман параметрүүдийн хоорондын хамаарлыг ашиглан тооцоолно. Бид дараахыг авна:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 см.}

Одоо та V томъёог ашиглаж болно:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83см}3^.

Дугуй конусын эзэлхүүн нь түүний сийлсэн цилиндрийн гуравны нэгтэй тэнцэнэ гэдгийг анхаарна уу.