Сургуулийн 10-11-р ангид хичээллэдэг орон зайн геометрийн хичээл нь гурван хэмжээст дүрсийн шинж чанарыг авч үздэг. Уг нийтлэлд цилиндрийн геометрийн тодорхойлолтыг өгч, түүний эзэлхүүнийг тооцоолох томьёог өгч, мөн энэ эзэлхүүнийг мэдэх нь чухал байдаг физикийн асуудлыг шийддэг.
Цилиндр гэж юу вэ?
Стереометрийн үүднээс авч үзвэл цилиндрийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар өгч болно: энэ нь тодорхой хавтгай битүү муруйн дагуу шулуун сегментийн зэрэгцээ шилжилтийн үр дүнд үүссэн дүрс юм. Нэрлэсэн сегмент нь муруйтай нэг хавтгайд хамаарах ёсгүй. Хэрэв муруй нь тойрог бөгөөд сегмент нь түүнд перпендикуляр байвал тодорхойлсон аргаар үүссэн цилиндрийг шулуун ба дугуй гэж нэрлэдэг. Үүнийг доорх зурагт үзүүлэв.
Тэгш өнцөгтийг аль нэг талыг тойруулан эргүүлснээр ийм дүрс гарч ирнэ гэдгийг таахад хэцүү биш.
Цилиндр нь тойрог, тал гэсэн хоёр ижил суурьтайцилиндр гадаргуу. Суурийн тойргийг чиглүүлэлт гэж нэрлэдэг ба өөр өөр суурийн тойргийг холбосон перпендикуляр сегмент нь зургийн үүсгэгч юм.
Дугуй шулуун цилиндрийн эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ?
Цилиндрийн тодорхойлолттой танилцсаны дараа түүний шинж чанарыг математикийн аргаар тодорхойлохын тулд ямар параметрүүдийг мэдэх шаардлагатайг авч үзье.
Хоёр суурийн хоорондох зай нь зургийн өндөр юм. Энэ нь генераторын урттай тэнцүү байх нь тодорхой байна. Бид өндрийг Латин h үсгээр тэмдэглэнэ. Суурийн тойргийн радиусыг r үсгээр тэмдэглэнэ. Үүнийг мөн цилиндрийн радиус гэж нэрлэдэг. Оруулсан хоёр параметр нь тухайн зургийн бүх шинж чанарыг хоёрдмол утгагүйгээр тайлбарлахад хангалттай.
Цилиндрийн геометрийн тодорхойлолтыг харгалзан түүний эзэлхүүнийг дараах томъёогоор тооцоолж болно:
V=Sh
Энд S нь суурийн талбай юм. Аливаа цилиндр болон призмийн хувьд бичсэн томъёо хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч дугуй шулуун цилиндрийн хувьд үүнийг ашиглах нь маш тохиромжтой, учир нь өндөр нь генатрикс бөгөөд суурийн S талбайг тойргийн талбайн томъёог санаж тодорхойлж болно:
S=pir2
Тиймээс тухайн зургийн V боть ажлын томьёог дараах байдлаар бичнэ:
V=pir2h
Хөвөх хүч
Хэрэв ямар нэг зүйлийг усанд дүрвэл жин нь багасна гэдгийг сурагч бүр мэддэг. Энэ баримтын шалтгааннь хөвөгч буюу Архимедийн хүч гарч ирэх явдал юм. Энэ нь хэлбэр, материалаас үл хамааран ямар ч биед үйлчилдэг. Архимедийн хүчийг дараах томъёогоор тодорхойлж болно:
FA=ρlgVl
Энд ρl ба Vl нь шингэний нягт ба түүний биед шилжсэн эзэлхүүн юм. Энэ эзлэхүүнийг биеийн эзэлхүүнтэй андуурахгүй байх нь чухал юм. Бие нь шингэнд бүрэн дүрэгдсэн тохиолдолд л тэдгээр нь таарах болно. Аливаа хэсэгчилсэн дүрэлтийн хувьд Vl нь биеийн V хэсгээс үргэлж бага байна.
Хөвөх хүчийг FA гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь босоо дээшээ чиглэсэн, өөрөөр хэлбэл таталцлын эсрэг чиглэлтэй байдаг. Хүчний векторуудын өөр өөр чиглэл нь аливаа шингэн дэх биеийн жин нь агаараас бага байдаг. Шударга байхын тулд бид агаарт бүх биед хөвөх хүч нөлөөлдөг гэдгийг бид тэмдэглэж байна, гэхдээ энэ нь усан дахь Архимедийн хүчтэй харьцуулахад маш бага (800 дахин бага).
Шингэн болон агаар дахь биеийн жингийн зөрүүг хатуу ба шингэн бодисын нягтыг тодорхойлоход ашигладаг. Энэ аргыг гидростатик жин гэж нэрлэдэг. Домогт өгүүлснээр үүнийг Архимед анх титэм хийсэн металлын нягтыг тодорхойлоход ашигласан.
Гулин цилиндрт үйлчлэх хөвөх хүчийг тодорхойлохын тулд дээрх томьёог ашиглана уу.
Гулин цилиндрт үйлчлэх Архимедийн хүчийг тооцоолох асуудал
Гулин цилиндр нь 20 см өндөр, 10 см диаметртэй гэдгийг мэддэг. Архимедийн хүч ямар байх вэ?Энэ нь цилиндрийг нэрмэл усанд хаявал түүнд нөлөөлж эхэлнэ.
Гулин цилиндрийн хөвөх хүчийг тодорхойлохын тулд эхлээд хүснэгтээс гуулин нягтыг харна уу. Энэ нь 8600 кг/м3-тэй тэнцүү (энэ нь түүний нягтын дундаж утга). Энэ утга нь усны нягтаас (1000 кг/м3) их байх тул объект живэх болно.
Архимедийн хүчийг тодорхойлохын тулд цилиндрийн эзэлхүүнийг олоход хангалттай бөгөөд FA-д дээрх томьёог ашиглана. Бидэнд:
V=pir2h=3, 145220=1570 см 3
Диаметрийн асуудлын нөхцөлд өгөгдсөн хэмжээнээс 2 дахин бага учир бид 5 см-ийн радиусын утгыг томъёонд орлуулсан.
Бид хөвөх хүчний хувьд:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Бид V боть-г m3 болгон хөрвүүллээ.
Иймээс 15.4 Н-ийн дээш чиглэсэн хүч нь мэдэгдэж буй хэмжээстэй гуулин цилиндрт усанд дүрнэ.
