Стереометр нь нэг хавтгайд оршдоггүй дүрсүүдийг судалдаг геометрийн хэсэг юм. Стереометрийн судалгааны объектуудын нэг бол призм юм. Нийтлэлд бид геометрийн үүднээс призмийн тодорхойлолтыг өгөхөөс гадна түүний шинж чанарыг товч жагсаах болно.
Геометр дүрс
Геометрийн призмийн тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: энэ нь хоорондоо оройгоороо холбогдсон зэрэгцээ хавтгайд байрлах хоёр ижил n-гоноос бүрдэх орон зайн дүрс юм.
Призм авах амархан. Хоёр ижил n-gon байна гэж төсөөлөөд үз дээ, энд n нь талууд эсвэл оройнуудын тоо юм. Тэдгээрийг хоорондоо параллель байхаар байрлуулцгаая. Үүний дараа нэг олон өнцөгтийн оройг нөгөөгийн харгалзах оройтой холбох хэрэгтэй. Үүсгэсэн зураг нь суурь гэж нэрлэгддэг n өнцөгт хоёр тал, ерөнхий тохиолдолд параллелограмм болох n дөрвөн өнцөгт талуудаас бүрдэнэ. Параллелограммуудын багц нь зургийн хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг.
Тухайн дүрсийг геометрийн аргаар олж авах өөр нэг арга бий. Тиймээс, хэрэв бид n-гоныг аваад ижил урттай параллель сегментүүдийг ашиглан өөр хавтгайд шилжүүлбэл шинэ хавтгайд анхны олон өнцөгтийг олж авна. Олон өнцөгт болон оройгоос нь татсан бүх параллель хэрчмүүд хоёулаа призм үүсгэдэг.
Дээрх зурган дээр гурвалжин призм харагдаж байна. Суурь нь гурвалжин учраас ингэж нэрлэдэг.
Зураг бүрдүүлдэг элементүүд
Призмийн тодорхойлолтыг дээр дурдсан ба эндээс харахад дүрсийн гол элементүүд нь түүний нүүр буюу талууд бөгөөд призмийн бүх дотоод цэгүүдийг гадаад орон зайнаас хязгаарлаж байгаа нь тодорхой байна. Харж буй зургийн аль ч нүүр нь хоёр төрлийн аль нэгэнд хамаарна:
- тал;
- үндэслэл.
Хажуугийн n хэсэг байдаг бөгөөд тэдгээр нь параллелограмм эсвэл тэдгээрийн тодорхой төрөл (тэгш өнцөгт, дөрвөлжин) юм. Ерөнхийдөө хажуугийн нүүр нь бие биенээсээ ялгаатай байдаг. Суурь нь зөвхөн хоёр нүүртэй бөгөөд тэдгээр нь n-gon бөгөөд хоорондоо тэнцүү байна. Тиймээс призм бүр n+2 талтай.
Зураг нь хажуу талуудаас гадна оройгоороо тодорхойлогддог. Эдгээр нь гурван нүүр нэгэн зэрэг хүрэх цэг юм. Түүнээс гадна гурван нүүрний хоёр нь үргэлж хажуугийн гадаргууд, нэг нь суурьтай байдаг. Тиймээс призмд тусгайлан сонгосон нэг орой байдаггүй, жишээлбэл, пирамид нь бүгд тэнцүү байдаг. Зургийн оройн тоо нь 2n (тус бүрд n ширхэгшалтгаан).
Эцэст нь призмийн гурав дахь чухал элемент бол түүний ирмэгүүд юм. Эдгээр нь зургийн талуудын огтлолцлын үр дүнд үүссэн тодорхой урттай сегментүүд юм. Нүүрний нэгэн адил ирмэг нь хоёр өөр төрөлтэй:
- эсвэл зөвхөн хажуугаар нь үүссэн;
- эсвэл параллелограммын уулзвар ба n өнцөгт суурийн хажуу талд харагдана.
Иймээс ирмэгүүдийн тоо 3n бөгөөд тэдгээрийн 2n нь хоёр дахь төрлийнх байна.
Призмын төрлүүд
Призмийг ангилах хэд хэдэн арга байдаг. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь бүгд зургийн хоёр шинж чанарт суурилдаг:
- n-нүүрсний баазын төрөл дээр;
- хажуу талын төрөл.
Эхлээд хоёр дахь шинж чанар руугаа эргэж, шулуун ба ташуу призмийг тодорхойлъё. Хэрэв дор хаяж нэг тал нь ерөнхий төрлийн параллелограмм бол зургийг ташуу эсвэл ташуу гэж нэрлэдэг. Хэрэв бүх параллелограммууд тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин байвал призм шулуун болно.
Шулуун призмийн тодорхойлолтыг мөн арай өөр байдлаар өгч болно: шулуун дүрс нь хажуугийн ирмэг ба нүүр нь суурьтай перпендикуляр байдаг призм юм. Зураг дээр хоёр дөрвөлжин дүрсийг харуулж байна. Зүүн тал нь шулуун, баруун тал нь ташуу.
Одоо сууринд хэвтэж буй n-гоны төрлөөр ангилах руугаа орцгооё. Энэ нь ижил тал, өнцөгтэй эсвэл өөр байж болно. Эхний тохиолдолд олон өнцөгтийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Хэрэв авч үзэж буй зураг нь тэнцүү олон өнцөгтийг агуулж байвалталууд ба өнцөг ба шулуун шугам бол зөв гэж нэрлэдэг. Энэ тодорхойлолтын дагуу ердийн призм нь суурь дээрээ тэгш өнцөгт гурвалжин, дөрвөлжин, ердийн таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт хэлбэртэй байж болно. Жагсаалтад орсон зөв тоонуудыг зурагт үзүүлэв.
Призмын шугаман параметрүүд
Дараах үзүүлэлтүүдийг авч үзэж буй тоонуудын хэмжээг тодорхойлоход ашигладаг:
- өндөр;
- суурь талууд;
- хажуугийн хавирганы урт;
- 3D диагональ;
- диагональ талууд ба суурь.
Энгийн призмүүдийн хувьд нэрлэгдсэн бүх хэмжигдэхүүнүүд хоорондоо холбоотой байдаг. Жишээлбэл, хажуугийн хавирганы урт нь ижил бөгөөд өндөртэй тэнцүү байна. Тодорхой n өнцөгт ердийн зургийн хувьд бусад бүх зүйлийг дурын хоёр шугаман параметрээр тодорхойлох томьёо байдаг.
Хэлбэрийн гадаргуу
Хэрэв бид призмийн тухай дээрх тодорхойлолтыг иш татвал дүрсийн гадаргуу юуг илэрхийлж байгааг ойлгоход хэцүү биш байх болно. Гадаргуу нь бүх нүүрний талбай юм. Шулуун призмийн хувьд үүнийг томъёогоор тооцоолно:
S=2So + Poh
Энд So нь суурийн талбай, Po нь суурийн n-гоны периметр юм., h нь өндөр (суурь хоорондын зай).
Зургийн хэмжээ
Дасгал хийх гадаргуугаас гадна призмийн эзэлхүүнийг мэдэх нь чухал. Үүнийг дараах томъёогоор тодорхойлж болно:
V=Soh
ЭнэЭнэ илэрхийлэл нь ташуу ба жигд бус олон өнцөгтүүдээс тогтсон призмийг оруулаад ямар ч төрлийн призмийн хувьд үнэн юм.
Энгийн призмийн хувьд эзэлхүүн нь суурийн хажуугийн урт ба зургийн өндрөөс хамаарна. Харгалзах n өнцөгт призмийн хувьд V-ийн томъёо нь бетон хэлбэртэй байна.
