Математик бол үндсэн ойлголтоос холдвол хийсвэр шинжлэх ухаан юм. Тиймээс, хэд хэдэн алим дээр та математикийн үндсэн үйлдлүүдийг нүдээр дүрсэлж болно, гэхдээ үйл ажиллагааны хавтгай тэлэх тусам эдгээр объектууд хангалтгүй болно. Хэн нэгэн алим дээрх хязгааргүй олонлог дээрх үйлдлийг дүрслэх гэж оролдсон уу? Энэ л юм, үгүй. Математикийн үзэл баримтлал нь илүү төвөгтэй байх тусам тэдний ойлголтыг хөнгөвчлөхөд чиглэсэн харааны илэрхийлэл нь илүү асуудалтай мэт санагдаж байв. Гэсэн хэдий ч орчин үеийн оюутнууд болон ерөнхийдөө шинжлэх ухааны аль алиных нь аз жаргалын төлөө Эйлерийн тойргийг гаргаж авсан бөгөөд тэдгээрийн жишээ, боломжуудыг бид доор авч үзэх болно.
Бага түүх
1707 оны 4-р сарын 17-нд математик, физик, хөлөг онгоцны үйлдвэрлэл, тэр ч байтугай хөгжмийн онолд оруулсан хувь нэмрийг үнэлж баршгүй гайхалтай эрдэмтэн Леонхард Эйлерт дэлхий ертөнц шинжлэх ухаанд бэлэглэсэн.
Шинжлэх ухаан зогсохгүй байгаа хэдий ч түүний бүтээлүүд өнөөг хүртэл дэлхий даяар хүлээн зөвшөөрөгдөж, эрэлт хэрэгцээтэй байгаа. Ноён Эйлер Оросын дээд математикийн сургуулийг бий болгоход шууд оролцсон, ялангуяа хувь заяаны хүслээр манай улсад хоёр удаа буцаж ирсэн нь онцгой анхаарал татаж байна. Эрдэмтэд логикийн хувьд ил тод алгоритмуудыг барьж, илүүдлийг таслан зогсоож, ерөнхийөөс онцгой руу аль болох богино хугацаанд шилжих өвөрмөц чадвартай байв. Энэ нь маш их цаг хугацаа шаардагдах тул бид түүний бүх гавьяаг жагсаахгүй бөгөөд бид нийтлэлийн сэдэв рүү шууд хандах болно. Тэр бол олонлог дээрх үйлдлийн график дүрслэлийг ашиглахыг санал болгосон хүн юм. Эйлерийн тойрог нь аливаа, бүр хамгийн төвөгтэй асуудлын шийдлийг төсөөлөх чадвартай.
Ямар учиртай юм бэ?
Практикт схемийг доор үзүүлсэн Эйлерийн тойргийг зөвхөн математикт ашиглах боломжгүй, учир нь "иж бүрдэл" гэсэн ойлголт нь зөвхөн энэ шинжлэх ухаанд хамаарахгүй. Тиймээс тэдгээрийг менежментэд амжилттай ашиглаж байна.
Дээрх диаграмм нь A (иррационал тоо), B (рационал тоо) ба C (натурал тоо) олонлогуудын харилцааг харуулж байна. Тойргууд нь С олонлог В олонлогт багтсан байхад А олонлог нь тэдэнтэй огт огтлолцохгүй байгааг харуулж байна. Жишээ нь хамгийн энгийн боловч хязгааргүйн улмаас бодит харьцуулалт хийхэд хэтэрхий хийсвэр "багцуудын харилцаа"-ны онцлогийг тодорхой тайлбарласан болно.
Логикийн алгебр
Энэ бүсМатематик логик нь үнэн ба худал аль аль нь байж болох мэдэгдлүүдтэй ажилладаг. Жишээлбэл, энгийн тооноос: 625 тоо 25-т хуваагдана, 625 нь 5-д хуваагдана, 625 нь анхны тоо болно. Эхний болон хоёр дахь мэдэгдэл нь үнэн, харин сүүлчийнх нь худал юм. Мэдээжийн хэрэг, практик дээр бүх зүйл илүү төвөгтэй байдаг, гэхдээ мөн чанар нь тодорхой харагдаж байна. Мэдээжийн хэрэг, Эйлерийн тойрог дахин шийдэлд оролцож байгаа тул тэдгээрийг ашигласан жишээнүүд нь дэндүү тохиромжтой, харагдахуйц тул үл тоомсорлож болохгүй.
Бага зэрэг онол:
- А ба В олонлогуудыг хоосон биш гэж үзье. Дараах огтлолцол, нэгдэл, үгүйсгэх үйлдлүүд тэдгээрт тодорхойлогдоно.
- А ба В олонлогуудын огтлолцол нь А олонлог болон В олонлогт нэгэн зэрэг хамаарах элементүүдээс бүрдэнэ.
- А ба В олонлогуудын нэгдэл нь А олонлог эсвэл В олонлогт хамаарах элементүүдээс бүрдэнэ.
- А олонлогийг үгүйсгэх нь А олонлогт хамаарахгүй элементүүдээс тогтсон олонлог юм.
Энэ бүхнийг Эйлерийн тойргууд логикоор дахин дүрсэлдэг, учир нь тэдний тусламжтайгаар ажил бүр нарийн төвөгтэй байдлын зэргээс үл хамааран тодорхой бөгөөд нүдээр харагддаг.
Логикийн алгебрын аксиомууд
1 ба 0-ийг А олонлогт тодорхойлсон гэж үзвэл:
- А олонлогийн үгүйсгэлийн үгүйсгэлт нь А олонлог;
- А олонлогийн А биштэй нэгдэл нь 1;
- А олонлогийн 1-тэй нэгдэл нь 1;
- А олонлогийг өөртэй нь нэгдэх нь А олонлог;
- А багцын нэгдэл0-тэй А олонлог байна;
- А олонлогийн А биштэй огтлолцол нь 0;
- А олонлогийн өөртэйгөө огтлолцох цэг нь А олонлог;
- А олонлогийн 0-тэй огтлолцох нь 0;
- А олонлогийн 1-тэй огтлолцол нь А олонлог байна.
Логикийн алгебрын үндсэн шинж чанарууд
А ба В олонлогууд хоосон биш байх болтугай, тэгвэл:
- А ба В олонлогийн огтлолцол болон нэгдлийн хувьд солих хуулийг хэрэглэнэ;
- хослолын хууль нь А ба В олонлогуудын огтлолцол болон нэгдэлд хамаарна;
- тархалтын хууль нь А ба В олонлогуудын огтлолцол болон нэгдэлд хамаарна;
- А ба В олонлогуудын огтлолцлын үгүйсгэлт нь А ба В олонлогуудын үгүйсгэлийн огтлолцол юм;
- А ба В олонлогуудын нэгдлийг үгүйсгэх нь А ба В олонлогуудын үгүйсгэлүүдийн нэгдэл юм.
Дараах нь Эйлерийн тойрог, A, B, C олонлогуудын огтлолцол, нэгдлийн жишээг харуулж байна.
хэтийн төлөв
Леонхард Эйлерийн бүтээлүүд нь орчин үеийн математикийн үндэс суурь гэж зүй ёсоор тооцогддог боловч одоо харьцангуй саяхан гарч ирсэн хүний үйл ажиллагааны салбарт амжилттай ашиглагдаж байна, жишээлбэл: Эйлерийн тойрог, жишээ, графикууд нь механизмыг дүрсэлсэн байдаг. хөгжүүлэлтийн загварууд нь орос эсвэл англи-америк хувилбар байж болно.
