Леонхард Эйлер (1707-1783) - Швейцарь, Оросын нэрт математикч, Санкт-Петербургийн Шинжлэх ухааны академийн гишүүн, амьдралынхаа ихэнх хугацааг Орост өнгөрөөсөн. Математикийн анализ, статистик, компьютерийн шинжлэх ухаан, логикийн шинжлэх ухаанд хамгийн алдартай нь Эйлерийн тойрог (Эйлер-Венн диаграмм) бөгөөд ойлголтын хүрээ, элементийн багцыг илэрхийлэхэд ашигладаг.
Жон Венн (1834-1923) - Английн философич, логикч, Эйлер-Венн диаграмын хамтран зохиогч.
Тохиромжтой ба үл нийцэх ойлголтууд
Логикийн үзэл баримтлалын дагуу нэгэн төрлийн объектын ангийн чухал шинж чанарыг тусгасан сэтгэлгээний хэлбэрийг хэлнэ. Тэдгээрийг "дэлхийн газрын зураг", "зонхилох тав-7 дахь хөвч", "Даваа" гэх мэт нэг буюу бүлэг үгээр тэмдэглэнэ.
Нэг ойлголтын хамрах хүрээний элементүүд нөгөө ойлголтын хамрах хүрээнд бүрэн буюу хэсэгчлэн хамаарах тохиолдолд нийцтэй ухагдахууны тухай ярьдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв тодорхой ойлголтын хамрах хүрээний аль ч элемент нөгөө ойлголтын хамрах хүрээнд хамаарахгүй бол бидэнд үл нийцэх ойлголт байна.
Эргээд ойлголтын төрөл бүр өөр өөрийн боломжит харилцаатай байдаг. Тохиромжтой ойлголтуудын хувьд эдгээр нь:
- ботьуудын адилтгал (тэнцэх байдал);
- хөндлөн огтлолцол (хэсэгчилсэн тоглолт)боть;
- захиалах (дагаарлах).
Тохиромжгүй тохиолдолд:
- захирах (зохицуулах);
- эсрэг (эсрэг);
- зөрчил (зөрчил).
Схемийн хувьд логикийн ойлголтуудын хоорондын хамаарлыг ихэвчлэн Эйлер-Венны тойрог ашиглан тэмдэглэдэг.
Эцвивалент хамаарал
Энэ тохиолдолд ойлголтууд нь ижил сэдвийг илэрхийлдэг. Үүний дагуу эдгээр ойлголтуудын эзлэхүүн нь бүрэн ижил байна. Жишээ нь:
А - Зигмунд Фрейд;
Б бол сэтгэлзүйн анализыг үндэслэгч.
Эсвэл:
A нь дөрвөлжин;
B нь тэгш талт тэгш өнцөгт;
C нь тэгш өнцөгт ромб.
Бүрэн давхцаж буй Эйлер тойргийг тэмдэглэгээнд ашиглана.
Уулзвар (хэсэгчилсэн таарч)
Энэ ангилалд огтлолцохтой холбоотой нийтлэг элементүүдтэй ойлголтууд багтана. Өөрөөр хэлбэл, нэг ойлголтын эзлэхүүнийг нөгөөгийнх нь эзлэхүүнд хэсэгчлэн оруулсан болно:
A - багш;
Б бол хөгжимд дуртай.
Энэ жишээнээс харахад үзэл баримтлалын хэмжээ хэсэгчлэн давхцаж байна: тодорхой бүлгийн багш нар хөгжимд дурлагчид болж хувирч магадгүй, харин эсрэгээр - хөгжим сонирхогчдын дунд багшийн мэргэжлийн төлөөлөгчид байж болно. А гэдэг ойлголт нь жишээлбэл "иргэн", Б нь "жолооч" байх тохиолдолд ижил төстэй хандлага ажиглагдах болно.
Захиалах (дагаарлах)
Схемийн хувьд өөр өөр масштабтай Эйлерийн тойрог гэж тэмдэглэсэн. ХарилцааЭнэ тохиолдолд ойлголтуудын хооронд дэд ойлголт (эзлэхүүний хувьд бага) нь дэд зүйлд бүрэн багтдаг (эзлэхүүнээрээ том) байдгаараа онцлог юм. Үүний зэрэгцээ, дэд ойлголт нь захирагдагчийг бүрэн шавхдаггүй.
Жишээ нь:
A - мод;
B - нарс.
Б үзэл баримтлал нь А үзэл баримтлалд захирагдах болно. Нарс нь модонд харьяалагддаг тул энэ жишээн дээрх А ухагдахуун нь Б ойлголтын хамрах хүрээг "шингээж" захирагдах болно.
Зохицуулах (зохицуулах)
Харилцаа нь бие биенээ үгүйсгэдэг, гэхдээ тодорхой нийтлэг ерөнхий тойрогт хамаарах хоёр ба түүнээс дээш ойлголтыг тодорхойлдог. Жишээ нь:
A – кларнет;
B - гитар;
C - хийл;
D бол хөгжмийн зэмсэг.
A,B,C гэсэн ойлголтууд хоорондоо огтлолцдоггүй ч бүгд хөгжмийн зэмсгийн ангилалд багтдаг (D ойлголт).
Эсрэг (эсрэгээр)
Үзэл баримтлал хоорондын эсрэг тэсрэг харилцаа нь эдгээр ойлголтууд нэг төрөлд хамаарахыг илтгэнэ. Үүний зэрэгцээ, ойлголтуудын аль нэг нь тодорхой шинж чанартай (онцлог шинж чанартай) байдаг бол нөгөө нь тэдгээрийг үгүйсгэж, байгальд эсрэгээрээ орлуулдаг. Тиймээс бид антонимуудтай харьцаж байна. Жишээ нь:
А бол одой;
В бол аварга.
Үзэл баримтлал хоорондын эсрэг харилцаатай Эйлерийн тойрогнь гурван сегментэд хуваагддаг бөгөөд эхнийх нь А ойлголттой, хоёр дахь нь В үзэл баримтлалтай, гурав дахь нь бусад бүх боломжит ухагдахуунуудтай тохирч байна.
Зөрчил (зөрчилдөөн)
Энэ тохиолдолд хоёр ойлголт нь нэг төрлийн зүйл юм. Өмнөх жишээний нэгэн адил ойлголтуудын нэг нь тодорхой чанарыг (онцлогуудыг) илэрхийлдэг бол нөгөө нь тэдгээрийг үгүйсгэдэг. Гэсэн хэдий ч эсрэг талуудын хамаарлаас ялгаатай нь хоёр дахь, эсрэг ойлголт нь үгүйсгэгдсэн шинж чанарыг өөр, өөр зүйлээр сольдоггүй. Жишээ нь:
А хэцүү даалгавар;
B бол хялбар даалгавар (А биш).
Ийм төрлийн ухагдахууны хэмжээг илэрхийлэхдээ Эйлерийн тойрог нь хоёр хэсэгт хуваагддаг - энэ тохиолдолд гурав дахь, завсрын холбоос байхгүй байна. Тиймээс ойлголтууд нь мөн эсрэг утгатай байдаг. Үүний зэрэгцээ тэдгээрийн нэг нь (A) эерэг болж (зарим шинж чанарыг баталгаажуулж), хоёр дахь нь (В эсвэл А биш) сөрөг болж (харгалзах шинж чанарыг үгүйсгэдэг): "цагаан цаас" - "цагаан цаас биш", " үндэсний түүх” – “гадаад түүх” гэх мэт.
Иймээс ухагдахууны эзлэхүүний бие биентэйгээ харьцах харьцаа нь Эйлерийн тойргийг тодорхойлох гол шинж чанар юм.
Багц хоорондын хамаарал
Мөн эзлэхүүнийг Эйлерийн тойргоор харуулсан элемент ба олонлогийн ойлголтуудыг ялгах шаардлагатай. Олонлогийн тухай ойлголт нь математикийн шинжлэх ухаанаас авсан бөгөөд нэлээд өргөн утгатай. Логик, математикийн жишээнүүд үүнийг тодорхой объектуудын багц хэлбэрээр харуулдаг. Объектууд нь өөрсдөөэнэ багцын элементүүд. "Олон нь нэг гэж боддог" (Жорж Кантор, олонлогын онолыг үндэслэгч).
Багцуудыг том үсгээр тэмдэглэсэн: A, B, C, D… гэх мэт, олонлогийн элементүүдийг жижиг үсгээр тэмдэглэсэн: a, b, c, d… гэх мэт. Багцын жишээ нь дараах оюутнууд байж болно. Нэг ангид байгаа, тодорхой тавиур дээрх ном (эсвэл тодорхой номын сангийн бүх ном), өдрийн тэмдэглэлийн хуудас, ойн талбай дахь жимс гэх мэт.
Эргээд тодорхой олонлогт ганц элемент агуулаагүй бол түүнийг хоосон гэж нэрлээд Ø тэмдгээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, параллель шулуунуудын огтлолцох цэгүүдийн олонлог, тэгшитгэлийн шийдүүдийн багц x2=-5.
Асуудлыг шийдвэрлэх
Эйлерийн тойргийг олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд идэвхтэй ашигладаг. Логикийн жишээнүүд нь логик үйлдлүүд болон олонлогын онолын хоорондын холбоог тодорхой харуулдаг. Энэ тохиолдолд үзэл баримтлалын үнэний хүснэгтийг ашигладаг. Жишээлбэл, А гэж тэмдэглэсэн тойрог нь үнэний бүсийг илэрхийлдэг. Тиймээс тойргийн гаднах хэсэг нь худал илэрхийлнэ. Логик үйлдлийн диаграммын талбайг тодорхойлохын тулд та Эйлерийн тойргийг тодорхойлсон хэсгүүдийг сүүдэрлэх хэрэгтэй бөгөөд үүнд А ба В элементийн утгууд үнэн байх болно.
Эйлерийн тойргийг ашиглах нь янз бүрийн салбарт өргөн практик хэрэглээг олсон. Жишээлбэл, мэргэжлийн сонголттой нөхцөлд. Хэрэв тухайн хүн ирээдүйн мэргэжлээ сонгох талаар санаа зовж байгаа бол түүнийг дараах шалгуураар удирдаж болно:
W – би юу хийх дуртай вэ?
D – би юу хийж байна?
П– би яаж сайн мөнгө хийх вэ?
Үүнийг диаграмм хэлбэрээр зуръя: Эйлерийн тойрог (логик дахь жишээнүүд - огтлолцлын харьцаа):
Үр дүн нь бүх гурван тойргийн огтлолцол дээр байх мэргэжлүүд байх болно.
Эйлер-Венн тойрог нь хослол, шинж чанарыг тооцоолохдоо математикт (олонлогийн онол) тусдаа байр эзэлдэг. Элементүүдийн олонлогийн Эйлерийн тойргууд нь бүх нийтийн олонлогийг (U) илэрхийлсэн тэгш өнцөгтийн зурагт хавсаргасан байна. Тойргийн оронд бусад хаалттай дүрсийг ашиглаж болно, гэхдээ үүний мөн чанар өөрчлөгдөхгүй. Асуудлын нөхцлийн дагуу (хамгийн ерөнхий тохиолдолд) тоонууд хоорондоо огтлолцдог. Мөн эдгээр тоонуудыг зохих шошготой байх ёстой. Харгалзан үзэж буй олонлогийн элементүүд нь диаграммын өөр өөр сегмент дотор байрлах цэгүүд байж болно. Үүний үндсэн дээр та тодорхой хэсгийг сүүдэрлэж, улмаар шинээр бий болсон багцуудыг тодорхойлж болно.
Эдгээр олонлогийн тусламжтайгаар математикийн үндсэн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх боломжтой: нэмэх (элементүүдийн олонлогийн нийлбэр), хасах (ялгаа), үржүүлэх (бүтээгдэхүүн). Нэмж дурдахад Эйлер-Венн диаграмын ачаар олонлогуудыг тоолохгүйгээр тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоогоор нь харьцуулах боломжтой болсон.
