Хавтгайнуудын параллелизм ба перпендикуляр байдлыг тодорхойлох, мөн эдгээр геометрийн объектуудын хоорондох зайг тооцоолохын тулд нэг буюу өөр төрлийн тоон функцийг ашиглах нь тохиромжтой. Хавтгайн тэгшитгэлийг сегментүүдэд ашиглах нь ямар асуудалд тохиромжтой вэ? Энэ нийтлэлд бид энэ нь юу болох, практик даалгаварт хэрхэн ашиглах талаар авч үзэх болно.
Шугамын сегмент дэх тэгшитгэл гэж юу вэ?
3D орон зайд хавтгайг хэд хэдэн аргаар тодорхойлж болно. Энэ нийтлэлд тэдгээрийн заримыг янз бүрийн төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад өгөх болно. Энд бид хавтгайн сегмент дэх тэгшитгэлийн нарийвчилсан тайлбарыг өгсөн болно. Энэ нь ерөнхийдөө дараах хэлбэртэй байна:
x/p + y/q + z/r=1.
Энд p, q, r тэмдэгтүүд нь тодорхой тоонуудыг илэрхийлдэг. Энэ тэгшитгэлийг ерөнхий илэрхийлэл болон хавтгайн тоон функцын бусад хэлбэрт хялбархан орчуулж болно.
Тэгшитгэлийг сегментээр бичихэд тохиромжтой тал нь перпендикуляр координатын тэнхлэгүүдтэй хавтгайн огтлолцлын тодорхой координатуудыг агуулж байгаад оршино. X тэнхлэг дээргарал үүсэлтэй харьцуулахад онгоц нь p урттай сегментийг таслав, y тэнхлэг дээр - q-тай тэнцүү, z дээр - r урттай.
Хэрэв гурван хувьсагчийн аль нэг нь тэгшитгэлд агуулаагүй бол энэ нь тухайн онгоц харгалзах тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөггүй гэсэн үг юм (математикчид үүнийг хязгааргүйд огтолдог гэж хэлдэг).
Дараа нь бид энэ тэгшитгэлтэй хэрхэн ажиллахыг харуулах хэдэн бодлого байна.
Ерөнхий болон тэгшитгэлийн сегментүүдийн холбоо
Онгоц дараах тэгшитгэлээр өгөгдсөн нь мэдэгдэж байна:
2x - 3y + z - 6=0.
Энэ хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг сегментээр бичих шаардлагатай.
Ижил төстэй асуудал гарахад та энэ аргыг дагах хэрэгтэй: бид чөлөөт нэр томъёог тэгш байдлын баруун талд шилжүүлдэг. Дараа нь бид тэгшитгэлийг бүхэлд нь энэ нэр томъёонд хувааж, өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн хэлбэрээр илэрхийлэхийг хичээдэг. Бидэнд:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Бид сегментүүдэд эхлээд ерөнхий хэлбэрээр өгсөн хавтгайн тэгшитгэлийг олж авлаа. Онгоц нь x, y, z тэнхлэгт тус тус 3, 2, 6 урттай сегментүүдийг огтолж байгаа нь мэдэгдэхүйц юм. У тэнхлэг нь координатын сөрөг талбарт хавтгайг огтолж байна.
Хэсэгт тэгшитгэл зохиохдоо бүх хувьсагчийн өмнө "+" тэмдэг тавих нь чухал. Зөвхөн энэ тохиолдолд хувьсагчийг хуваах тоо нь тэнхлэг дээрх координатыг таслах болно.
Хэвийн вектор ба хавтгай дээрх цэг
Зарим хавтгайд чиглэлийн вектор (3; 0; -1) байдаг нь мэдэгдэж байна. (1; 1; 1) цэгээр дамждаг нь бас мэдэгдэж байна. Энэ хавтгайд тэгшитгэлийг сегментээр бичнэ үү.
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд эхлээд энэ хоёр хэмжээст геометрийн объектын ерөнхий хэлбэрийг ашиглах хэрэгтэй. Ерөнхий маягтыг дараах байдлаар бичнэ:
Ax + By + Cz + D=0.
Энд байгаа эхний гурван коэффициент нь асуудлын мэдэгдэлд заасан чиглүүлэгч векторын координатууд бөгөөд өөрөөр хэлбэл:
A=3;
B=0;
C=-1.
Чөлөөт D нэр томъёог олоход үлдлээ. Үүнийг дараах томъёогоор тодорхойлж болно:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Энд 1-р индекстэй координатын утга нь тухайн хавтгайд хамаарах цэгийн координаттай тохирч байна. Бид асуудлын нөхцөлөөс тэдгээрийн утгыг орлуулж, бид дараахийг авна:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Одоо та тэгшитгэлийг бүрэн бичиж болно:
3x - z - 2=0.
Энэ илэрхийллийг хавтгайн сегмент дэх тэгшитгэл болгон хувиргах техникийг дээр аль хэдийн үзүүлсэн. Хэрэглэх:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Асуудлын хариултыг хүлээн авлаа. Энэ хавтгай зөвхөн x ба z тэнхлэгүүдийг огтолж байгааг анхаарна уу. y-ийн хувьд энэ нь зэрэгцээ байна.
Хавтыг тодорхойлсон хоёр шулуун шугам
Орон зайн геометрийн хичээлээс дурын хоёр шулуун хавтгайг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гэдгийг оюутан бүр мэддэг.гурван хэмжээст орон зай. Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдье.
Мэдэгдэж байгаа хоёр шулууны тэгшитгэл:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Хавтгайн тэгшитгэлийг эдгээр шугамыг дайран хэрчим болгон бичих шаардлагатай.
Хоёр шулуун хавтгайд байх ёстой тул тэдгээрийн векторууд (хөтөч) нь тухайн хавтгайн вектор (хөтөч)-д перпендикуляр байх ёстой гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ дур зоргоороо чиглэсэн хоёр сегментийн вектор үржвэр нь хоёр эхтэй перпендикуляр гурав дахь координат хэлбэрээр үр дүнг өгдөг нь мэдэгдэж байна. Энэ шинж чанарыг харгалзан бид хүссэн хавтгайд хэвийн векторын координатыг олж авна:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Үүнийг дурын тоогоор үржүүлж болох тул энэ нь анхныхтай параллель чиглэгдсэн шинэ сегмент үүсгэдэг тул бид олж авсан координатын тэмдгийг эсрэгээр (-1-ээр үржүүлж) сольж болно:
(1; 2; 1).
Бид чиглэлийн векторыг мэднэ. Шулуун шугамын аль нэгний дурын цэгийг авч, хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг зурахад л үлддэг:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Энэ тэгш байдлыг сегмент дэх илэрхийлэл болгон орчуулбал бид дараахийг авна:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Тиймээс онгоц координатын системийн эерэг муж дахь бүх гурван тэнхлэгийг огтолно.
Гурван оноо ба онгоц
Хоёр шулуун шугамын нэгэн адил гурван цэг нь гурван хэмжээст орон зайд онцгой байдлаар хавтгайг тодорхойлдог. Хавтгайд байрлах цэгүүдийн дараах координатууд мэдэгдэж байвал бид харгалзах тэгшитгэлийг сегментүүдэд бичнэ:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Дараах үйлдлийг хийцгээе: эдгээр цэгүүдийг холбосон дурын хоёр векторын координатыг тооцоод, дараа нь олсон чиглэсэн хэрчмүүдийн үржвэрийг тооцоолж хавтгайд хэвийн n¯ векторыг ол. Бид дараахыг авна:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
P цэгийг жишээ болгон авч, хавтгайн тэгшитгэлийг зохио:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 эсвэл z=0.
Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх xy хавтгайд тохирох энгийн илэрхийлэлийг бид авсан. x, y тэнхлэгүүд нь хавтгайд хамаарах ба z тэнхлэг дээр таслагдсан хэрчмийн урт нь тэг (0; 0; 0) цэг нь хавтгайд хамаарах тул үүнийг сегментээр бичих боломжгүй.
