Магадлалын онолыг судлах нь магадлалыг нэмэх, үржүүлэх бодлого бодохоос эхэлдэг. Оюутан энэ мэдлэгийн талбарыг эзэмшихэд бэрхшээлтэй тулгардаг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй: хэрэв физик, химийн процессыг нүдээр дүрсэлж, эмпирик байдлаар ойлгож чадвал математикийн хийсвэрлэлийн түвшин маш өндөр бөгөөд энд ойлгох нь зөвхөн үүнтэй холбоотой байдаг. туршлага.
Гэсэн хэдий ч, энэ өгүүлэлд авч үзсэн томьёо болон илүү төвөгтэй томъёог өнөөдөр хаа сайгүй ашиглаж байгаа тул ажилд хэрэг болж магадгүй тул тоглоом нь үнэ цэнэтэй юм.
Гарал үүсэл
Хачирхалтай нь, математикийн энэ хэсгийг хөгжүүлэх түлхэц болсон … мөрийтэй тоглоом. Үнэн хэрэгтээ шоо, зоос шидэх, покер, рулет зэрэг нь магадлалыг нэмэх, үржүүлэх аргыг ашигладаг ердийн жишээ юм. Аливаа сурах бичигт байгаа даалгаврын жишээн дээр үүнийг тодорхой харж болно. Хүмүүс ялах боломжоо хэрхэн нэмэгдүүлэх талаар суралцах сонирхолтой байсан бөгөөд зарим нь үүнийг амжилттай хийсэн гэж би хэлэх ёстой.
Жишээ нь, аль хэдийн 21-р зуунд бид нэрийг нь хэлэхгүй нэг хүн,Хэдэн зуун жилийн турш хуримтлуулсан энэ мэдлэгээ казиног шууд утгаараа "цэвэрлэх" зорилгоор ашиглаж, рулет дээрээс хэдэн арван сая доллар хожсон.
Гэсэн хэдий ч энэ сэдвийг сонирхож байгаа хэдий ч 20-р зуунд л онолын үндэс нь "онолч"-ыг математикийн бүрэн бүрэлдэхүүн хэсэг болгосон. Өнөөдөр бараг бүх шинжлэх ухаанд та магадлалын аргуудыг ашиглан тооцооллыг олох боломжтой.
Хэрэглэх боломж
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томьёог ашиглахад чухал зүйл бол нөхцөлт магадлал нь төв хязгаарын теоремын хангалт юм. Эс бөгөөс хэдийгээр оюутан үүнийг ухамсарлахгүй байж болох ч хэчнээн үнэмшилтэй мэт санагдаж байсан ч бүх тооцоо буруу байх болно.
Тийм ээ, өндөр урам зоригтой суралцагч боломж бүрд шинэ мэдлэгийг ашиглах хүсэл эрмэлзэлтэй байдаг. Гэхдээ энэ тохиолдолд та бага зэрэг удааширч, хэрэглэх боломжтой хүрээг нарийн тодорхойлох хэрэгтэй.
Магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдлуудыг авч үздэг бөгөөд энэ нь туршилтын үр дүн юм: бид зургаан талт үхрийг өнхрүүлж, тавцангаас хөзөр зурж, багц дахь гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоог урьдчилан таамаглах боломжтой. Гэсэн хэдий ч зарим асуултуудад математикийн энэ хэсгийн томъёог ашиглах нь туйлын боломжгүй юм. Бид өгүүллийн төгсгөлд үйл явдлын магадлалыг авч үзэх онцлог, үйл явдлыг нэмэх, үржүүлэх теоремуудыг өгүүллийн төгсгөлд авч үзэх болно, гэхдээ одоо жишээнүүдийг авч үзье.
Үндсэн ойлголт
Санамсаргүй үйл явдал гэдэг нь гарч болох эсвэл харагдахгүй байж болох зарим үйл явц эсвэл үр дүнг хэлнэтуршилтын үр дүнд. Жишээлбэл, бид сэндвич шиддэг - энэ нь цөцгийн тос эсвэл цөцгийн тосыг доошлуулж болно. Хоёр үр дүнгийн аль нэг нь санамсаргүй байдлаар гарах ба аль нь гарахыг бид урьдчилан мэдэхгүй.
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхийг судлахад бидэнд өөр хоёр ойлголт хэрэгтэй.
Нэгдсэн үйл явдлууд нь нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй. Хоёр хүн нэгэн зэрэг бай руу буудлаа гэж бодъё. Хэрэв тэдний нэг нь амжилттай цохилт хийвэл нөгөөгийнхөө онох, алдах чадварт нөлөөлөхгүй.
Тохиромжгүй ийм үйл явдал тохиолдох нь нэгэн зэрэг боломжгүй юм. Жишээлбэл, хайрцагнаас ганц бөмбөг гаргаснаар та цэнхэр, улаан өнгийг нэг дор авах боломжгүй.
Зориулалт
Магадлалын тухай ойлголтыг латин том P үсгээр тэмдэглэсэн. Дараа нь хаалтанд зарим үйл явдлыг илэрхийлсэн аргументууд байна.
Нэмэх теорем, нөхцөлт магадлал, үржүүлэх теоремын томьёонд та хаалт доторх илэрхийллүүдийг харах болно, жишээлбэл: A+B, AB эсвэл A|B. Тэдгээрийг янз бүрийн аргаар тооцоолох болно, бид одоо тэдэнд хандах болно.
Нэмэлт
Нэмэх болон үржүүлэх томьёо ашигласан тохиолдлыг авч үзье.
Тохиромжгүй үйл явдлын хувьд хамгийн энгийн нэмэх томъёо нь хамааралтай: санамсаргүй үр дүнгийн магадлал нь эдгээр үр дүн бүрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
2 цэнхэр, 3 улаан, 5 шар өнгийн бөмбөлөг бүхий хайрцаг байна гэж бодъё. Хайрцагт нийт 10 зүйл байна. Цэнхэр, улаан бөмбөг зурна гэсэн үг хэдэн хувьтай байна вэ? Энэ нь 2/10 + 3/10, өөрөөр хэлбэл тавин хувьтай тэнцүү байх болно.
Тохиромжгүй үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд нэмэлт нэр томъёо нэмэгдсэн тул томъёо улам төвөгтэй болно. Бид өөр нэг томьёог авч үзсэний дараа нэг догол мөр рүү буцна.
Үржүүлэх
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг нэмэх, үржүүлэхийг өөр өөр тохиолдолд ашигладаг. Хэрэв туршилтын нөхцлийн дагуу бид хоёр боломжит үр дүнгийн аль нэгэнд нь сэтгэл хангалуун байвал бид нийлбэрийг тооцоолно; Хэрэв бид хоёр тодорхой үр дүнг ар араас нь авахыг хүсвэл өөр томъёог ашиглана.
Өмнөх хэсгийн жишээ рүү буцахдаа бид эхлээд цэнхэр, дараа нь улаан бөмбөгийг зурахыг хүсч байна. Бидний мэдэх эхний тоо бол 2/10. Дараа нь юу болох вэ? 9 бөмбөг үлдсэн, ижил тооны улаан бөмбөг үлдсэн - гурван ширхэг. Тооцооллын дагуу та 3/9 эсвэл 1/3 авна. Харин одоо хоёр тоогоор яах вэ? Зөв хариулт нь үржүүлснээр 2/30 болно.
Хамтарсан арга хэмжээ
Одоо бид хамтарсан арга хэмжээний нийлбэрийн томъёог эргэн харах боломжтой. Бид яагаад сэдвээсээ ухарч байна вэ? Магадлал хэрхэн үрждэгийг сурах. Одоо энэ мэдлэг хэрэг болно.
Эхний хоёр нэр томъёо юу болохыг бид аль хэдийн мэдэж байгаа (өмнө авч үзсэн нэмэлт томъёоныхтой адил), одоо бид хасах хэрэгтэйбидний дөнгөж тооцоолж сурсан магадлалын үржвэр. Тодорхой болгохын тулд бид томъёог бичнэ: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Нэг илэрхийлэлд магадлалыг нэмэх, үржүүлэх хоёрыг ашигладаг болох нь харагдаж байна.
Зээл авахын тулд бид хоёр асуудлын аль нэгийг нь шийдэх ёстой гэж бодъё. Бид эхнийхийг 0.3, хоёр дахь нь 0.6 магадлалаар шийдэж чадна Шийдэл: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72. Энд зөвхөн тоонуудыг нэгтгэх нь хангалтгүй гэдгийг анхаарна уу.
Нөхцөлт магадлал
Эцэст нь болзолт магадлалын тухай ойлголт бий бөгөөд түүний аргументуудыг хаалтанд тэмдэглэж, босоо зураасаар тусгаарласан болно. P(A|B) бичилт нь дараах байдлаар бичигдэнэ: “өгөгдсөн А үйл явдлын магадлал”.
Жишээ харцгаая: нэг найз тань танд ямар нэгэн төхөөрөмж өгсөн, энэ нь утас байх болтугай. Энэ нь эвдэрсэн (20%) эсвэл сайн (80%) байж болно. Таны гарт унасан ямар ч төхөөрөмжийг 0.4 магадлалаар засах боломжтой эсвэл үүнийг хийх боломжгүй (0.6). Эцэст нь, хэрэв төхөөрөмж хэвийн ажиллаж байгаа бол та 0.7 магадлалаар зөв хүнд хүрч чадна.
Энэ тохиолдолд болзолт магадлал хэрхэн ажилладагийг харахад амархан: утас нь эвдэрсэн тохиолдолд хүнтэй холбогдож чадахгүй, сайн байвал засах шаардлагагүй. Тиймээс "хоёр дахь түвшинд" ямар нэгэн үр дүнд хүрэхийн тулд эхний шатанд ямар үйл явдал хийгдсэнийг мэдэх хэрэгтэй.
Тооцоо
Өмнөх догол мөрийн өгөгдлийг ашиглан магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
Эхлээд танд байх магадлалыг олъётанд өгсөн төхөөрөмжийг засах. Үүнийг хийхийн тулд, нэгдүгээрт, энэ нь алдаатай байх ёстой, хоёрдугаарт, та засварыг даван туулах ёстой. Энэ бол ердийн үржүүлэх бодлого юм: бид 0.20.4=0.08 болно.
Та зөв хүн рүү шууд очих магадлал хэд вэ? Энгийнээс хялбар: 0.80.7=0.56. Энэ тохиолдолд та утас ажиллаж байгааг олж мэдээд амжилттай дуудлага хийлээ.
Эцэст нь энэ хувилбарыг бодож үзээрэй: та эвдэрсэн утас хүлээж аваад засч, дугаараа залгаж, эсрэг талын хүн утсанд хариулсан. Энд гурван бүрэлдэхүүн хэсгийг үржүүлэх шаардлагатай байна: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Хэрэв танд нэг дор ажиллахгүй хоёр утас байвал яах вэ? Та ядаж нэгийг нь засах магадлал хэр байна вэ? Хамтарсан үйл явдлуудыг ашигладаг тул энэ нь магадлалыг нэмэх, үржүүлэх асуудал юм. Шийдэл: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Болгоомжтой ашиглах
Өгүүллийн эхэнд дурдсанчлан магадлалын онолыг ашиглах нь зориуд, ухамсартай байх ёстой.
Туршилтын цуврал их байх тусам онолын хувьд таамагласан утга нь практикт ойртоно. Жишээлбэл, бид зоос шидэж байна. Онолын хувьд, магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томьёо байдгийг мэдсэнээр бид туршилтыг 10 удаа хийвэл хэдэн удаа толгой, сүүл унахыг урьдчилан таамаглах боломжтой. Бид туршилт хийсэн баСанамсаргүй тохиолдлоор унасан талуудын харьцаа 3-аас 7 байв. Гэхдээ хэрэв та 100, 1000 ба түүнээс дээш оролдлого хийвэл тархалтын график онолын хувьд улам бүр ойртож байгаа нь харагдаж байна: 44-ээс 56-аас 482 хүртэл. 518 гэх мэт.
Одоо энэ туршилтыг зоосоор биш, ямар нэгэн шинэ химийн бодис гаргаж авах замаар хийж байна гэж төсөөлөөд үз дээ, магадлалыг нь бид мэдэхгүй. Бид 10 туршилт хийж, амжилттай үр дүнд хүрэхгүй бол "бодисыг олж авах боломжгүй" гэж ерөнхийд нь дүгнэж болно. Гэхдээ бид арван нэг дэх оролдлогоо хийсэн бол зорилгодоо хүрэх байсан ч юм уу, үгүй ч байсан юм уу хэн мэдлээ?
Тиймээс хэрэв та үл мэдэгдэх, судлагдаагүй ертөнц рүү явж байгаа бол магадлалын онол хэрэгжихгүй байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд дараагийн оролдлого бүр амжилттай байж болох бөгөөд "X байхгүй" эсвэл "X боломжгүй" гэх мэт ерөнхий дүгнэлтүүд хугацаанаас нь өмнө байх болно.
Хаалтын үг
Тиймээс бид хоёр төрлийн нэмэх, үржүүлэх болон нөхцөлт магадлалыг авч үзсэн. Энэ чиглэлийг цаашид судлахын тулд тодорхой томъёо тус бүрийг ашиглах үед нөхцөл байдлыг ялгаж сурах шаардлагатай байна. Үүнээс гадна, та магадлалын аргууд нь таны асуудлыг шийдвэрлэхэд ерөнхийдөө хэрэг болох эсэхийг ойлгох хэрэгтэй.
Хэрэв та дадлага хийвэл хэсэг хугацааны дараа та шаардлагатай бүх үйлдлүүдийг зөвхөн оюун ухаандаа хийж эхлэх болно. Хөзрийн тоглоомонд дуртай хүмүүсийн хувьд энэ чадварыг анхаарч үзэх боломжтоймаш үнэ цэнэтэй - тодорхой карт эсвэл костюм унах магадлалыг тооцоолоход л та ялах магадлалаа мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх болно. Гэхдээ олж авсан мэдлэгээ үйл ажиллагааны бусад салбарт хялбархан ашиглах боломжтой.
