"Магадлалын онол"-ын тухай ойлголттой тулгарсан олон хүн айж эмээж, энэ бол асар их, маш нарийн төвөгтэй зүйл гэж бодож байна. Гэхдээ энэ нь үнэхээр эмгэнэлтэй зүйл биш юм. Өнөөдөр бид магадлалын онолын үндсэн ойлголтыг авч үзэж, тодорхой жишээнүүдийг ашиглан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.
Шинжлэх ухаан
"Магадлалын онол" гэх мэт математикийн салбар юуг судалдаг вэ? Энэ нь санамсаргүй үйл явдал, хэмжигдэхүүний хэв маягийг тэмдэглэдэг. Эрдэмтэд анх удаа XVIII зуунд мөрийтэй тоглоомын талаар судалж байхдаа энэ асуудлыг сонирхож эхэлсэн. Магадлалын онолын үндсэн ойлголт бол үйл явдал юм. Энэ нь туршлага, ажиглалтаар тогтоогдсон аливаа баримт юм. Гэхдээ туршлага гэж юу вэ? Магадлалын онолын өөр нэг үндсэн ойлголт. Нөхцөл байдлын энэхүү бүрдэл нь санамсаргүй байдлаар бүтээгдсэн биш, харин тодорхой зорилгоор бий болсон гэсэн үг юм. Ажиглалтын хувьд энд судлаач өөрөө туршилтанд оролцдоггүй, зүгээр л эдгээр үйл явдлын гэрч болж, болж буй зүйлд ямар ч байдлаар нөлөөлдөггүй.
Үйл явдал
Бид магадлалын онолын үндсэн ойлголт нь үйл явдал гэдгийг мэдсэн ч ангиллыг авч үзээгүй. Бүгдийг дараах ангилалд хуваана:
- найдвартай.
- Боломжгүй.
- Санамсаргүй.
хамаагүйТуршлагын явцад ямар төрлийн үйл явдлууд ажиглагдаж, бий болдог, тэдгээр нь бүгд энэ ангилалд хамаарна. Бид төрөл зүйл тус бүртэй танилцахыг санал болгож байна.
Тодорхой үйл явдал
Энэ бол өмнө нь шаардлагатай цогц арга хэмжээг авсан нөхцөл байдал юм. Үүний мөн чанарыг илүү сайн ойлгохын тулд цөөн хэдэн жишээ өгөх нь дээр. Физик, хими, эдийн засаг, дээд математик энэ хуульд захирагдана. Магадлалын онол нь тодорхой үйл явдал гэх мэт чухал ойлголтыг агуулдаг. Энд зарим жишээ байна:
- Бид ажиллаж, цалин хэлбэрээр урамшуулал авдаг.
- Бид шалгалтаа сайн өгч, уралдаанд тэнцсэн, үүний төлөө боловсролын байгууллагад элсэх хэлбэрээр урамшуулал авдаг.
- Бид банкинд хөрөнгө оруулсан, шаардлагатай бол буцааж авах болно.
Ийм арга хэмжээ найдвартай. Хэрэв бид шаардлагатай бүх нөхцлийг хангасан бол хүлээгдэж буй үр дүнд хүрэх нь гарцаагүй.
Боломжгүй үйл явдлууд
Одоо бид магадлалын онолын элементүүдийг авч үзэж байна. Бид дараагийн төрлийн үйл явдлын тухай, тухайлбал боломжгүй зүйлийн тайлбар руу шилжихийг санал болгож байна. Эхлээд хамгийн чухал дүрмийг зааж өгье - боломжгүй үйл явдлын магадлал тэг байна.
Та асуудлыг шийдэхдээ энэ үг хэллэгээс хазайж болохгүй. Тодорхой болгохын тулд ийм үйл явдлын жишээг энд үзүүлэв:
- Ус арав дээр хөлдсөн (энэ боломжгүй юм).
- Цахилгааны хомсдол нь үйлдвэрлэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй (өмнөх жишээн дээрх шиг боломжгүй).
Бусад жишээДээр дурдсан зүйлүүд нь энэ ангиллын мөн чанарыг маш тодорхой тусгасан тул иш татах нь үнэ цэнэтэй зүйл биш юм. Боломжгүй үйл явдал ямар ч нөхцөлд туршлагын явцад хэзээ ч тохиолдохгүй.
Санамсаргүй үйл явдал
Магадлалын онолын элементүүдийг судлахдаа энэ төрлийн үйл явдалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Үүнийг шинжлэх ухаан судалж байна. Туршлагын үр дүнд ямар нэг зүйл тохиолдож болно, эсвэл болохгүй. Үүнээс гадна туршилтыг хязгааргүй олон удаа давтаж болно. Үүний тод жишээ нь:
- Зоос шидэх нь туршлага юм уу сорилт, гарчиг бол үйл явдал юм.
- Уутнаас сохроор бөмбөг сугалах нь сорилт, улаан бөмбөг баригдах нь үйл явдал гэх мэт.
Ийм жишээнүүд хязгааргүй олон байж болох ч ерөнхийдөө мөн чанар нь тодорхой байх ёстой. Үйл явдлын талаар олж авсан мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэх, системчлэхийн тулд хүснэгтийг өгсөн болно. Магадлалын онол нь танилцуулсан бүх зүйлийн зөвхөн сүүлчийн төрлийг судалдаг.
| гарчиг | тодорхойлолт | жишээ |
| найдвартай | Тодорхой нөхцөлд 100% баталгаатай тохиолдох үйл явдлууд. | Элсэлтийн шалгалт сайтай боловсролын байгууллагад элсэнэ. |
| Боломжгүй | Ямар ч нөхцөлд хэзээ ч болохгүй үйл явдлууд. | Гучин хэмийн халуунд цас орж байна. |
| Санамсаргүй | Туршилт/туршилтын явцад тохиолдож болох эсвэл болохгүй үйл явдал. | Сагсан бөмбөгийг цагираг руу шидэх үед цохих эсвэл алдах. |
Хууль
Магадлалын онол нь аливаа үйл явдал болох магадлалыг судалдаг шинжлэх ухаан юм. Бусадтай адил энэ нь зарим дүрэм журамтай байдаг. Магадлалын онолын дараах хуулиуд байдаг:
- Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дарааллыг нэгтгэх.
- Их тооны хууль.
Цогцолборын боломжийг тооцоолохдоо та энгийн үйл явдлуудын иж бүрдлийг ашиглан үр дүндээ илүү хялбар бөгөөд хурдан хүрэх боломжтой. Магадлалын онолын хуулиудыг зарим теоремуудын тусламжтайгаар амархан нотлохыг анхаарна уу. Эхний хуулиас эхэлцгээе.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дарааллыг нэгтгэх
Нэгдэлтийн хэд хэдэн төрөл байдгийг анхаарна уу:
- Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дараалал нь магадлалаар нийлдэг.
- Бараг боломжгүй.
- RMS нэгдэл.
- Хуваарилалтын нэгдэл.
Тиймээс шууд л, ёроолд нь хүрэхэд маш хэцүү байдаг. Энэ сэдвийг ойлгоход тань туслах зарим тодорхойлолтыг энд оруулав. Эхний харцнаас эхэлцгээе. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд дарааллыг магадлалын нэгдмэл гэж нэрлэдэг: n нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай, дарааллын хандлагатай тоо нь тэгээс их, нэгтэй ойролцоо байна.
Дараагийн харагдац руу очих нь гарцаагүй. Тэд ингэж хэлдэгдараалал нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү нийлэх нь гарцаагүй бөгөөд n нь хязгааргүйд, P нь нэгтэй ойролцоо утгатай байна.
Дараагийн төрөл нь язгуур-дундаж квадратын нэгдэл юм. SC-конвергенцийг ашиглах үед векторын санамсаргүй үйл явцын судалгааг тэдгээрийн координатын санамсаргүй үйл явцын судалгаа болгон бууруулна.
Сүүлчийн төрөл хэвээр байгаа тул асуудлыг шууд шийдвэрлэхийн тулд үүнийг товчхон харцгаая. Түгээлтийн нэгдэл нь өөр нэртэй байдаг - "сул" гэдгийг бид доор тайлбарлах болно. Сул нэгдэл гэдэг нь хязгаарын тархалтын функцийн тасралтгүй байдлын бүх цэгт тархалтын функцүүдийн нийлэлтийг хэлнэ.
Амлалтаа биелүүлэхээ мартуузай: сул нэгдэл нь магадлалын орон зайд санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхойлогдоогүй байгаагаараа дээрх бүх зүйлээс ялгаатай. Нөхцөл нь зөвхөн түгээлтийн функцийг ашиглан үүссэн тул энэ нь боломжтой юм.
Их тооны хууль
Энэ хуулийг батлах маш сайн туслахууд нь магадлалын онолын теоремууд байх болно, тухайлбал:
- Чебышевын тэгш бус байдал.
- Чебышевын теорем.
- Ерөнхийлсөн Чебышевын теорем.
- Марковын теорем.
Хэрэв бид эдгээр бүх теоремуудыг авч үзвэл энэ асуулт хэдэн арван хуудас сунжирч магадгүй юм. Бидний гол ажил бол магадлалын онолыг практикт хэрэгжүүлэх явдал юм. Бид таныг яг одоо үүнийг хийхийг урьж байна. Гэхдээ үүнээс өмнө магадлалын онолын аксиомуудыг авч үзье, тэдгээр нь асуудлыг шийдвэрлэх гол туслах болно.
Аксиом
Бид боломжгүй үйл явдлын тухай ярихдаа эхнийхтэй нь аль хэдийн уулзсан. Санаж үзье: боломжгүй үйл явдлын магадлал тэг байна. Бид маш тод бөгөөд мартагдашгүй жишээг дурдлаа: Цельсийн гучин хэмийн агаарын температурт цас орсон.
Хоёр дахь нь иймэрхүү сонсогдож байна: нэгтэй тэнцэх магадлалтай найдвартай үйл явдал тохиолдоно. Одоо үүнийг математик хэлээр хэрхэн бичихийг үзүүлье: P(B)=1.
Гуравдугаарт: Санамсаргүй үйл явдал тохиолдож болно, үгүй ч байж болох ч боломж нь үргэлж тэгээс нэг хүртэл хэлбэлздэг. Утга нь нэгд ойртох тусам боломж нэмэгдэх болно; хэрэв утга тэг рүү ойртвол магадлал маш бага байна. Үүнийг математик хэлээр бичье: 0<Р(С)<1.
Хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү гэсэн шиг сонсогдож байгаа сүүлийн дөрөв дэх аксиомыг авч үзье. Бид математик хэлээр бичдэг: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Магадлалын онолын аксиомууд нь санахад хялбар хамгийн энгийн дүрэм юм. Өмнө нь олж авсан мэдлэг дээрээ тулгуурлан зарим асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.
Сугалааны тасалбар
Эхлээд хамгийн энгийн жишээ болох сугалааг авч үзье. Та аз өгөхийн тулд нэг сугалааны тасалбар худалдаж авсан гэж төсөөлөөд үз дээ. Та дор хаяж хорин рубль хожих магадлал хэд вэ? Нийтдээ мянган тасалбар гүйлгээнд оролцдог бөгөөд тэдгээрийн нэг нь таван зуун рубль, арав нь нэг зуун рубль, тавин нь хорин рубль, зуун таван рублийн шагналтай. Магадлалын онолын асуудлууд нь боломжийг олоход суурилдагамжилт хүсье. Одоо бид дээр дурдсан даалгаврын шийдлийг хамтдаа шинжлэх болно.
Хэрэв бид таван зуун рублийн ялалтыг А үсгээр тэмдэглэвэл А-г авах магадлал 0.001 болно. Бид үүнийг яаж авсан бэ? Та "азтай" тасалбарын тоог нийт тоонд нь хуваахад л хангалттай (энэ тохиолдолд: 1/1000).
B нь зуун рублийн ялалт, магадлал нь 0.01 байх болно. Одоо бид өмнөх үйлдэлтэй ижил зарчмаар ажилласан (10/1000)
C - ялалт нь хорин рубльтэй тэнцэнэ. 0.05-тай тэнцэх магадлалыг ол.
Үлдсэн тасалбаруудын шагналын сан нь болзолд заасан хэмжээнээс бага тул бидний сонирхлыг татахгүй. Дөрөв дэх аксиомыг хэрэгжүүлье: Хамгийн багадаа хорин рубль хожих магадлал нь P(A)+P(B)+P(C). P үсэг нь энэ үйл явдал тохиолдох магадлалыг илэрхийлдэг тул бид өмнөх алхмуудад аль хэдийн олсон. Зөвхөн шаардлагатай өгөгдлийг нэмэхэд л үлддэг бөгөөд хариултанд бид 0, 061-ийг авна. Энэ тоо нь даалгаврын асуултын хариулт болно.
Картын тавцан
Магадлалын онолын асуудлууд илүү төвөгтэй байж болно, жишээлбэл, дараах даалгаврыг аваарай. Таны өмнө гучин зургаан картын тавцан байна. Таны даалгавар бол овоолгыг холихгүйгээр хоёр хөзрийг дараалан зурах, эхний болон хоёр дахь хөзөр нь хөзөр байх ёстой, костюм хамаагүй.
Эхлээд эхний хөзөр хөзөр байх магадлалыг олъё, үүний тулд бид дөрөвийг гучин зургаад хуваана. Тэд үүнийг хойш тавьдаг. Бид хоёр дахь хөзрийг гаргаж авбал энэ нь гучин тавны гуравны магадлал бүхий хөзрийн тамга болно. Хоёрдахь үйл явдлын магадлал нь бидний сонирхож буй картыг хамгийн түрүүнд зурсанаас хамаарнахөзрийн тамга байсан уу, үгүй юу. Үүнээс үзэхэд В үйл явдал А үйл явдлаас хамаарна.
Дараагийн алхам бол нэгэн зэрэг хэрэгжих магадлалыг олох, өөрөөр хэлбэл бид А ба В-ийг үржүүлнэ. Тэдний үржвэр нь дараах байдлаар олддог: нэг үйл явдлын магадлалыг нөгөө үйл явдлын нөхцөлт магадлалаар үржүүлж, бид үүнийг тооцоолно., эхний үйл явдал болсон гэж үзвэл, өөрөөр хэлбэл эхний хөзрөөр бид хөзрийн тамга зурсан.
Бүх зүйлийг тодорхой болгохын тулд үйл явдлын нөхцөлт магадлал гэх мэт элементэд тэмдэглэгээ өгье. А үйл явдал болсон гэж тооцож гаргасан. Дараах байдлаар тооцоолсон: P(B/A).
Асуудлаа үргэлжлүүлэн шийдээрэй: P(AB)=P(A)P(B/A) эсвэл P (AB)=P(B)P(A/B). Магадлал нь (4/36)((3/35)/(4/36) байна. Зуу руу бөөрөнхийлж тооцоол. Бидэнд: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Бид хоёр хөзрийг дараалан зурах магадлал есөн зуу.. Утга нь маш бага тул үйл явдал болох магадлал маш бага байна.
Мартагдсан дугаар
Бид магадлалын онолоор судлагдсан даалгаврын хэд хэдэн хувилбарт дүн шинжилгээ хийхийг санал болгож байна. Эдгээрийн заримыг нь шийдэх жишээг та энэ нийтлэлд аль хэдийн үзсэн тул дараах асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе: хүү найзынхаа утасны дугаарын сүүлчийн оронг мартсан боловч дуудлага нь маш чухал байсан тул бүх зүйлийг ээлжлэн залгаж эхлэв. Тэр гурваас илүүгүй удаа залгах магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй. Магадлалын онолын дүрэм, хууль, аксиомыг мэддэг бол асуудлыг шийдэх хамгийн энгийн шийдэл болно.
Үзэхийн өмнөшийдэл, өөрөө шийдэж үзээрэй. Сүүлийн цифр нь тэгээс ес хүртэл байж болно, өөрөөр хэлбэл нийт арван утгыг бид мэднэ. Зөвийг авах магадлал 1/10.
Дараа нь бид үйл явдлын гарал үүслийн хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй, хүү зөв тааж, тэр даруй зөв оноо авсан гэж бодъё, ийм үйл явдлын магадлал 1/10 байна. Хоёр дахь сонголт: эхний дуудлага нь алдаж, хоёр дахь нь зорилтот түвшинд байна. Бид ийм үйл явдлын магадлалыг тооцоолдог: 9/10-ийг 1/9-ээр үржүүлснээр бид 1/10-ийг авна. Гурав дахь сонголт: эхний болон хоёр дахь дуудлага нь буруу хаягаар хийгдсэн, гурав дахь нь л хүү хүссэн газартаа хүрчээ. Бид ийм үйл явдлын магадлалыг тооцоолдог: бид 9/10-ийг 8/9-ээр үржүүлж, 1/8-аар үржүүлснээр үр дүнд нь 1/10-ийг авна. Асуудлын нөхцлийн дагуу бид бусад сонголтуудыг сонирхохгүй байгаа тул үр дүнг нэгтгэх нь бидэнд үлдэж, үр дүнд нь 3/10 байна. Хариулт: Хүү гурваас илүүгүй удаа залгах магадлал 0.3 байна.
Тоотой картууд
Таны өмнө есөн карт байгаа бөгөөд тус бүр дээр нэгээс ес хүртэлх тоог бичсэн, тоо нь давтагдахгүй. Тэдгээрийг хайрцагт хийж, сайтар холино. Та
байх магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй.
- тэгш тоо гарч ирнэ;
- хоёр оронтой.
Шийдвэрийг үргэлжлүүлэхийн өмнө m нь амжилттай тохиолдсон тохиолдлын тоо, n нь нийт сонголтын тоо гэдгийг тогтооё. Тоо тэгш байх магадлалыг ол. Дөрвөн тэгш тоо байгааг тооцоолоход хэцүү биш байх болно, энэ нь бидний m байх болно, нийт есөн сонголт байна, өөрөөр хэлбэл, m=9. Дараа нь магадлал0, 44 эсвэл 4/9-тэй тэнцүү.
Хоёрдахь тохиолдлыг авч үзье: сонголтуудын тоо есөн бөгөөд амжилттай үр дүн огт байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл m нь тэгтэй тэнцүү байна. Сугасан картанд хоёр оронтой тоо байх магадлал бас тэг байна.
