Пифагорын теорем: гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратын нийлбэртэй тэнцүү

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Гипотенузын квадрат нь хөл тус бүр нь квадратын нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байдгийг оюутан бүр мэддэг. Энэ мэдэгдлийг Пифагорын теорем гэж нэрлэдэг. Энэ бол тригонометр, математикийн хамгийн алдартай теоремуудын нэг юм. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тухай ойлголт

Гипотенузын квадрат нь квадрат болсон хөлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байдаг Пифагорын теоремыг авч үзэхийн өмнө бид теорем болох тэгш өнцөгт гурвалжны тухай ойлголт, шинж чанарыг авч үзэх хэрэгтэй. хүчинтэй.

Гурвалжин бол гурван өнцөг, гурван талтай хавтгай дүрс юм. Тэгш өнцөгт гурвалжин нь нэрнээс нь харахад нэг тэгш өнцөгтэй, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь 90o байна.

Бүх гурвалжны ерөнхий шинж чанаруудаас харахад энэ зургийн бүх гурван өнцгийн нийлбэр нь 180^o байгаа нь тэгш өнцөгт гурвалжны нийлбэр гэсэн үг юм. зөв биш хоёр өнцөг нь 180^o -90^o=90^o. Сүүлийн баримт нь тэгш өнцөгт биш тэгш өнцөгт гурвалжны аль ч өнцөг үргэлж 90^{o-аас бага байх болно.}

Зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах талыг гипотенуз гэнэ. Нөгөө хоёр тал нь гурвалжны хөл бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү эсвэл ялгаатай байж болно. Гурвалжны аль нэг тал байрлах өнцөг их байх тусам энэ талын урт нь их байх болно гэдгийг тригонометрээс мэддэг. Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз (90^o өнцгийн эсрэг талд байрлах) нь аль ч хөлөөс (< 90^{o өнцгүүдийн эсрэг байрлах) үргэлж их байх болно гэсэн үг юм.).}

Пифагорын теоремын математик тэмдэглэгээ

Энэ теорем нь гипотенузын квадрат нь өмнө нь квадрат байсан хөлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ томъёололыг математикийн аргаар бичихийн тулд a, b, c талууд нь хоёр хөл ба гипотенуз болох тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Энэ тохиолдолд гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэж тодорхойлсон теоремыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Эндээс дадлага хийхэд чухал ач холбогдолтой бусад томъёог авч болно: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) ба c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд, өөрөөр хэлбэл, a=b, томъёолол: гипотенузын квадрат нь хөлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү болохыг анхаарна уу.квадрат, математикийн хувьд: c²=a² + b²=2a ^{2, энэ нь тэгш байдлыг илэрхийлнэ: c=a√2.}

Түүхэн мэдээлэл

Гипотенузын квадрат нь хөл тус бүрийн квадрат нь нийлбэртэй тэнцүү гэсэн Пифагорын теорем нь Грекийн нэрт гүн ухаантан үүнд анхаарлаа хандуулахаас өмнө мэдэгдэж байсан. Эртний Египетийн олон папирус, түүнчлэн Вавилончуудын шавар хавтангууд нь эдгээр ард түмэн тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын тэмдэглэгээг ашигласан болохыг баталж байна. Жишээлбэл, Египетийн анхны пирамидуудын нэг болох Хафрегийн пирамид нь МЭӨ 26-р зуунд (Пифагорын амьдралаас 2000 жилийн өмнө) баригдсан бөгөөд 3х4х5 хэмжээтэй тэгш өнцөгт гурвалжин дахь талуудын харьцааны талаархи мэдлэг дээр үндэслэн баригдсан.

Тэгвэл яагаад теоремыг Грек хэлээр нэрлэсэн бэ? Хариулт нь энгийн: Пифагор бол энэ теоремыг математикийн хувьд хамгийн түрүүнд нотолсон хүн юм. Амьд үлдсэн Вавилон болон Египетийн бичээсүүдэд зөвхөн түүний хэрэглээг дурьдсан боловч математикийн ямар ч нотолгоо өгдөггүй.

Пифагор 90o өнцгөөс тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг зурж олж авсан ижил төстэй гурвалжны шинж чанарыг ашиглан авч үзэж буй теоремоо баталсан гэж үздэг. гипотенуз.

Пифагорын теоремыг ашиглах жишээ

Энгийн асуудлыг авч үзье: хэрэв налуу шат нь H=3 өндөртэй нь мэдэгдэж байгаа бол түүний уртыг L тодорхойлох шаардлагатай.метр бөгөөд шатыг тулах хананаас хөл хүртэлх зай нь P=2.5 метр байна.

Энэ тохиолдолд H ба P нь хөл, L нь гипотенуз юм. Гипотенузын урт нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү тул бид дараахийг авна: L²=H² + P 2^{, эндээс L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 метр буюу 3 метр 90.5 см.}