Оюутан бүр дугуй конусын тухай сонссон бөгөөд энэ гурван хэмжээст дүрс ямар байхыг төсөөлдөг. Энэ нийтлэлд конусын хөгжлийг тодорхойлж, түүний шинж чанарыг тодорхойлсон томьёо өгч, луужин, протектор, шулуун ирмэг ашиглан хэрхэн бүтээхийг тайлбарласан болно.
Геометрийн дугуй конус
Энэ дүрсийн геометрийн тодорхойлолтыг өгье. Дугуй конус нь тодорхой тойргийн бүх цэгүүдийг орон зайн нэг цэгтэй холбосон шулуун шугамын хэсгүүдээс үүссэн гадаргуу юм. Энэ ганц цэг нь тойрог байрлах хавтгайд хамаарах ёсгүй. Хэрэв бид тойргийн оронд тойрог авбал энэ арга нь мөн конус руу хөтөлнө.
Тойрог дүрсний суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний тойрог нь чиглүүлэлт юм. Цэгийг чиглүүлэлттэй холбосон хэрчмүүдийг генераторууд буюу генераторууд гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн огтлолцох цэг нь конусын орой юм.
Дугуй конус нь шулуун ба ташуу хэлбэртэй байж болно. Хоёр зургийг доорх зурагт үзүүлэв.
Тэдгээрийн ялгаа нь: хэрэв конусын орой дээрх перпендикуляр яг тойргийн төв рүү унавал конус шулуун болно. Түүний хувьд дүрсийн өндөр гэж нэрлэгддэг перпендикуляр нь түүний тэнхлэгийн нэг хэсэг юм. Ташуу конусын хувьд өндөр ба тэнхлэг нь хурц өнцөг үүсгэдэг.
Зургийн энгийн бөгөөд тэгш хэмийн улмаас бид зөвхөн дугуй суурьтай зөв конусын шинж чанарыг цаашид авч үзэх болно.
Эргүүлэлтийг ашиглан дүрс авах
Конусны гадаргуугийн хөгжлийг авч үзэхээсээ өмнө энэ орон зайн дүрсийг эргэлтийг ашиглан хэрхэн олж авах боломжтойг мэдэх нь зүйтэй.
Бид a,b,c талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин байна гэж бодъё. Тэдний эхний хоёр нь хөл, в нь гипотенуз юм. Гурвалжинг а хөл дээр тавиад б хөлийг тойруулан эргүүлж эхэлцгээе. Дараа нь гипотенуз c нь конус гадаргууг дүрслэх болно. Энэхүү энгийн конус техникийг доорх диаграммд үзүүлэв.
Мэдээжийн хэрэг, а хөл нь зургийн суурийн радиус, b хөл нь түүний өндөр, с гипотенуз нь дугуй баруун конусын генератрикстэй тохирч байх нь ойлгомжтой.
Конусны хөгжлийг харах
Таны таамаглаж байгаагаар конус нь хоёр төрлийн гадаргуугаас үүсдэг. Тэдний нэг нь хавтгай суурьтай тойрог юм. Энэ нь r радиустай гэж бодъё. Хоёрдахь гадаргуу нь хажуу тал бөгөөд конус хэлбэртэй гэж нэрлэдэг. Түүний генератор g-тэй тэнцүү байг.
Хэрэв бид цаасан конустай бол хайч аваад суурийг нь тасдаж болно. Дараа нь конус хэлбэрийн гадаргууг таслах хэрэгтэйдурын generatrix дагуу болон онгоцонд байрлуулах. Ийм байдлаар бид конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийг олж авсан. Хоёр гадаргууг анхны конустай хамт доорх диаграммд харуулав.
Суурь тойргийг баруун доод талд дүрсэлсэн. Эвхээгүй конус гадаргууг төвд үзүүлэв. Энэ нь тойргийн зарим дугуй секторт тохирч байгаа нь радиус нь g generatrix-ийн урттай тэнцүү байна.
Өнцөг болон талбайн шүүрэлт
Одоо бид мэдэгдэж байгаа g ба r параметрүүдийг ашиглан конусын талбай болон өнцгийг тооцоолох боломжийг олгодог томьёог олж авлаа.
Дээрх зурагт үзүүлсэн дугуй секторын нум нь суурийн тойрогтой тэнцэх урттай нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл:
l=2pir.
Хэрэв g радиустай тойргийг бүхэлд нь барьсан бол түүний урт нь:
байх болно.
L=2pig.
L урт нь 2pi радиантай тохирч байгаа тул l нумын тулгуурласан өнцгийг харгалзах харьцаагаар тодорхойлж болно:
L==>2pi;
l==> φ.
Тэгвэл үл мэдэгдэх φ өнцөг нь дараахтай тэнцүү болно:
φ=2pil/L.
l ба L уртуудын илэрхийллүүдийг орлуулснаар конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийн өнцгийн томьёо гарна:
φ=2pir/g.
Энд байгаа φ өнцгийг радианаар илэрхийлнэ.
Дугуй секторын Sb талбайг тодорхойлохдоо φ-ийн олсон утгыг ашиглана. Бид зөвхөн талбайн хувьд дахиад нэг пропорцийг хийдэг. Бидэнд:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Хаанаас Sb-г илэрхийлэх ба дараа нь φ өнцгийн утгыг орлуулна. Бид дараахыг авна:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Конус хэлбэрийн гадаргуугийн хувьд бид нэлээн авсаархан томьёог олж авсан. Sb-ийн утга нь pi, зургийн радиус ба түүний үүсгэгч гэсэн гурван хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Тэгвэл зургийн бүх гадаргуугийн талбай нь Sb ба So (дугуй хэлбэртэй) -ийн нийлбэртэй тэнцүү байх болно. суурь талбай). Бид томъёог авна:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Цаасан дээр конус шүүрдэх нь
Энэ ажлыг гүйцэтгэхийн тулд танд цаас, харандаа, протектор, захирагч, луужин хэрэгтэй болно.
Юуны өмнө 3 см, 4 см, 5 см талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжинг зуръя. Түүний хөлийг 3 см эргүүлэхэд хүссэн конусыг өгнө. Зураг нь r=3 см, h=4 см, g=5 см байна.
Шүүрдэх ажлыг луужингаар r радиустай тойрог зурж эхэлнэ. Түүний урт нь 6пи см-тэй тэнцүү байх болно. Одоо түүний хажууд бид өөр тойрог зурах болно, гэхдээ g радиустай. Түүний урт нь 10пи см-тэй тохирч байна. Одоо бид том тойргоос дугуй салбарыг таслах хэрэгтэй. Түүний өнцөг φ:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Одоо бид өнцөг хэмжигчээр g радиустай тойрог дээр байрлуулж, дугуй секторыг хязгаарлах хоёр радиус зурав.
ТэгэхээрТиймээс бид конусын радиус, өндөр, үүсгэгчийн тодорхойлсон параметрүүдийг бүтээв.
Геометрийн бодлого бодох жишээ
Дугуй шулуун конус өгөгдсөн. Хажуугийн шүүрэлтийн өнцөг нь 120o гэдгийг мэддэг. Хэрэв конусын өндөр h нь 10 см бол энэ зургийн радиус ба генатрисийг олох шаардлагатай.
Бөөрөнхий конус нь тэгш өнцөгт гурвалжны эргэлтийн дүрс гэдгийг санаж байвал даалгавар нь тийм ч хэцүү биш юм. Энэ гурвалжингаас өндөр, радиус, генератрисийн хооронд хоёрдмол утгагүй хамаарал гарч ирдэг. Харгалзах томьёог бичье:
g2=h2+ r2.
Шийдвэр гаргахдаа ашиглах хоёр дахь илэрхийлэл бол φ өнцгийн томьёо:
φ=2pir/g.
Тиймээс бид хоёр үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (r ба g) холбогдох хоёр тэгшитгэлтэй болно.
Хоёр дахь томьёоны g-г илэрхийлж, үр дүнг эхнийх нь орлуулбал:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Өнцөг φ=120o радианаар 2pi/3 байна. Бид энэ утгыг орлуулж, r ба g-ийн эцсийн томъёог авна:
r=h /√8;
g=3ц /√8.
Өндрийн утгыг орлуулж, асуудлын асуултын хариултыг авахад үлдлээ: r ≈ 3.54 см, g ≈ 10.61 см.
