Тэнхлэг ба хавтгай дээрх хүчний проекц. Физик

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Хүч бол физикийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Энэ нь аливаа объектын төлөв байдлыг өөрчлөхөд хүргэдэг. Энэ нийтлэлд бид энэ утга гэж юу болох, ямар хүч байдаг талаар авч үзэхээс гадна тэнхлэг ба хавтгай дээрх хүчний проекцийг хэрхэн олохыг харуулах болно.

Хүч чадал ба түүний физикийн утга учир

Физикийн хувьд хүч гэдэг нь биеийн импульсийн нэгж хугацааны өөрчлөлтийг харуулдаг вектор хэмжигдэхүүн юм. Энэ тодорхойлолт нь хүчийг динамик шинж чанар гэж үздэг. Статикийн үүднээс авч үзвэл физикийн хүч нь биеийн уян харимхай эсвэл хуванцар хэв гажилтын хэмжүүр юм.

Олон улсын SI систем нь хүчийг Ньютоноор (N) илэрхийлдэг. 1 Ньютон гэж юу вэ, сонгодог механикийн хоёр дахь хуулийн жишээг ойлгох хамгийн хялбар арга. Түүний математик тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна:

F¯=ma¯

Энд F¯ нь m масстай биед үйлчилж a¯ хурдатгал үүсгэдэг гадны хүч юм. Нэг Ньютоны тоон тодорхойлолт нь дараах томъёоноос гарна: 1 Н нь 1 кг масстай биеийн хурдыг секунд тутамд 1 м/с өөрчлөхөд хүргэдэг тийм хүч юм.

Динамикийн жишээХүчний илрэл нь дэлхийн таталцлын талбарт машин эсвэл чөлөөтэй унаж буй биеийн хурдатгал юм.

Хүчний статик илрэл нь хэв гажилтын үзэгдэлтэй холбоотой байдаг. Дараах томьёог энд өгөх ёстой:

F=PS

F=-kx

Эхний илэрхийлэл нь F хүчийг зарим S хэсэгт үзүүлж буй P даралттай холбодог. Энэ томьёогоор 1 N-ийг 1 м талбайд 1 паскалийн даралт гэж тодорхойлж болно 2^{. Жишээлбэл, далайн түвшний атмосферийн агаарын багана 1 м}2 ^{талбай дээр 10}5^{N!-ийн хүчээр дарагддаг.}

Хоёр дахь илэрхийлэл нь Хукийн хуулийн сонгодог хэлбэр юм. Жишээлбэл, пүршийг х шугаман утгаараа сунгах буюу шахах нь эсрэг талын F хүч үүсэхэд хүргэдэг (илэрхийлэл k нь пропорциональ хүчин зүйл юм).

Ямар хүчнүүд байна

Хүч нь статик болон динамик байж болохыг дээр дурдсан. Энд бид энэ онцлогоос гадна холбоо барих эсвэл алсын зайн хүч байж болно гэж хэлж байна. Жишээлбэл, үрэлтийн хүч, дэмжлэг үзүүлэх урвал нь холбоо барих хүч юм. Тэдний харагдах шалтгаан нь Паули зарчмын хүчин төгөлдөр байдал юм. Сүүлийнх нь хоёр электрон нэг төлөвийг эзэлж чадахгүй гэж заасан. Ийм учраас хоёр атомыг шүргэх нь тэднийг түлхэхэд хүргэдэг.

Урт тусгалын хүч нь тодорхой зөөгч талбараар дамжин биетүүдийн харилцан үйлчлэлийн үр дүнд үүсдэг. Жишээлбэл, эдгээр нь таталцлын хүч эсвэл цахилгаан соронзон харилцан үйлчлэл юм. Хоёр хүч нь хязгааргүй хүрээтэй,гэхдээ тэдгээрийн эрчим нь зайны квадратын хэмжээгээр буурдаг (Куломын хууль ба таталцал).

Хүч бол вектор хэмжигдэхүүн

Болж буй физик хэмжигдэхүүний утгыг авч үзсэний дараа бид тэнхлэг дээрх хүчний проекцын асуудлыг судлах ажлыг үргэлжлүүлж болно. Юуны өмнө энэ хэмжигдэхүүн нь вектор, өөрөөр хэлбэл модуль, чиглэлээр тодорхойлогддог гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Бид хүчний модуль болон түүний чиглэлийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно.

Аливаа векторыг эхлэл ба төгсгөлийн координатын утгууд нь мэдэгдэж байгаа бол тухайн координатын системд өвөрмөц байдлаар тодорхойлж болдог нь мэдэгдэж байна. MN¯ чиглэлтэй сегмент байна гэж бодъё. Дараа нь түүний чиглэл, модулийг дараах илэрхийлэл ашиглан тодорхойлж болно:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Энд 2 индекстэй координатууд N цэгтэй, 1 индекстэй координатууд нь M цэгтэй тохирч байна. MN¯ вектор нь M-ээс N руу чиглэсэн байна.

Ерөнхий болгох үүднээс гурван хэмжээст орон зайд векторын модуль ба координатыг (чиглэл) хэрхэн олохыг харуулсан. Гурав дахь координатгүй ижил төстэй томьёо нь хавтгай дээрх тохиолдолд хүчинтэй.

Тиймээс хүчний модуль нь түүний үнэмлэхүй утга бөгөөд Ньютоноор илэрхийлэгдэнэ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл модуль нь чиглэсэн сегментийн урт юм.

Хүчний төсөөлөл юу вэ?тэнхлэг?

Хэрэв та эхлээд харгалзах векторыг эх, өөрөөр хэлбэл (0; 0; 0) цэг дээр байрлуулбал координатын тэнхлэг ба хавтгайд чиглэсэн сегментүүдийн проекцын талаар ярих нь хамгийн тохиромжтой. Бидэнд F¯ хүчний вектор байна гэж бодъё. Түүний эхлэлийг (0; 0; 0) цэг дээр байрлуулбал векторын координатыг дараах байдлаар бичиж болно:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Вектор F¯ нь өгөгдсөн координатын систем дэх орон зай дахь хүчний чиглэлийг харуулж байна. Одоо F¯-ийн төгсгөлөөс тэнхлэг бүр рүү перпендикуляр хэрчмүүдийг зуръя. Перпендикулярын харгалзах тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээс эх цэг хүртэлх зайг тэнхлэг дээрх хүчний проекц гэнэ. F¯ хүчний хувьд түүний x, y, z тэнхлэг дээрх проекцууд нь x₁, y_{1байх болно гэдгийг таахад хэцүү биш. болон z 1} тус тус. Эдгээр координатууд нь хүчний төсөөллийн модулиудыг (сегментүүдийн урт) харуулж байгааг анхаарна уу.

Хүч ба түүний координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын хоорондох өнцөг

Эдгээр өнцгийг тооцоолоход хэцүү биш. Үүнийг шийдэхийн тулд тригонометрийн функцүүдийн шинж чанаруудын мэдлэг, Пифагорын теоремыг хэрэгжүүлэх чадвар л шаардлагатай.

Жишээ нь, хүчний чиглэл ба түүний х тэнхлэг дээрх проекцын хоорондох өнцгийг тодорхойлъё. Харгалзах тэгш өнцөгт гурвалжинг гипотенуз (F¯ вектор) ба хөл (x₁ сегмент) үүсгэнэ. Хоёрдахь хөл нь F¯ векторын төгсгөлөөс x тэнхлэг хүртэлх зай юм. F¯ ба x тэнхлэгийн хоорондох α өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолно:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Таны харж байгаагаар тэнхлэг ба векторын хоорондох өнцгийг тодорхойлохын тулд чиглэсэн сегментийн төгсгөлийн координатыг мэдэх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Бусад тэнхлэгтэй (y ба z) өнцгийн хувьд та ижил төстэй илэрхийлэл бичиж болно:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Бүх томьёоны тоологчд модуль байдаг бөгөөд энэ нь мохоо булангуудыг арилгадаг гэдгийг анхаарна уу. Хүч болон түүний тэнхлэгийн проекцуудын хоорондох өнцөг нь үргэлж 90^o-ээс бага буюу тэнцүү байна.

Хүч ба түүний координатын хавтгай дээрх проекц

Хавтгай дээрх хүчний проекцын тодорхойлолт нь тэнхлэгийнхтэй адил бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд перпендикулярыг тэнхлэг рүү биш, харин хавтгайд буулгах ёстой.

Орон зайн тэгш өнцөгт координатын системийн хувьд бид xy (хэвтээ), yz (урд талын босоо), xz (хажуугийн босоо) гэсэн гурван харилцан перпендикуляр хавтгайтай байна. Векторын төгсгөлөөс нэрлэсэн хавтгайд унасан перпендикуляруудын огтлолцлын цэгүүд нь:

(x₁; y₁; 0) xy-д;

(x₁; 0; z₁) xz;

zy-д зориулсан

(0; y₁; z₁).

Хэрэв тэмдэглэсэн цэг бүр эх үүсвэртэй холбогдсон бол харгалзах хавтгай дээрх F¯ хүчний проекцийг авна. Хүчний модуль гэж юу вэ, бид мэднэ. Проекц бүрийн модулийг олохын тулд Пифагорын теоремыг ашиглах хэрэгтэй. Хавтгай дээрх проекцуудыг F_xy, F_xz, F_zy гэж тэмдэглэе. Дараа нь тэгш байдал нь тэдгээрийн модулиудад хүчинтэй байх болно:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Хавтгай дээрх проекц ба хүчний вектор хоорондын өнцөг

Дээрх догол мөрөнд авч үзсэн F¯ векторын хавтгайд проекцын модулиудын томъёог өгсөн болно. Эдгээр проекцууд нь F¯ сегмент ба түүний төгсгөлөөс хавтгай хүртэлх зайтай хамт тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэдэг. Тиймээс, тэнхлэг дээрх проекцуудын нэгэн адил та тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг ашиглаж буй өнцгийг тооцоолж болно. Та дараах тэгшитгэлүүдийг бичиж болно:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

F¯ хүчний чиглэл ба түүний хавтгайд харгалзах проекцын хоорондох өнцөг нь F¯ ба энэ хавтгайн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү гэдгийг ойлгох нь чухал. Хэрэв бид энэ асуудлыг геометрийн үүднээс авч үзвэл чиглэсэн F¯ сегмент xy, xz, zy хавтгайтай харьцуулахад налуу байна гэж хэлж болно.

Хүчний төсөөллийг хаана ашигладаг вэ?

Координатын тэнхлэг ба хавтгай дээрх хүчний проекцын дээрх томьёо нь зөвхөн онолын сонирхол биш юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн бие махбодийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Төсөөллийг олох үйл явцыг хүчийг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах гэж нэрлэдэг. Сүүлийнх нь векторууд бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь анхны хүчний векторыг өгөх ёстой. Ерөнхий тохиолдолд хүчийг дурын бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах боломжтой боловч асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд перпендикуляр тэнхлэгүүд болон хавтгай дээрх проекцуудыг ашиглах нь тохиромжтой.

Хүчний төсөөллийн тухай ойлголтыг хэрэглэх асуудлууд нь маш өөр байж болно. Жишээлбэл, ижил Ньютоны хоёр дахь хууль нь биед үйлчилж буй F¯ гадаад хүчийг v¯ хурдны вектортой адил чиглүүлэх ёстой гэж үздэг. Хэрэв тэдгээрийн чиглэл тодорхой өнцгөөр ялгаатай байвал тэгш байдал хүчинтэй байхын тулд түүнд F¯ хүчийг бус харин түүний v¯ чиглэл рүү чиглэсэн проекцийг орлуулах хэрэгтэй.

Дараа нь бид хэд хэдэн жишээ өгөх бөгөөд энд бичигдсэн файлуудыг хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.томьёо.

Хавтгай ба координатын тэнхлэг дээрх хүчний проекцийг тодорхойлох даалгавар

Зарим F¯ хүч байгаа гэж бодъё, үүнийг дараах төгсгөл ба эхлэл координаттай вектороор дүрсэлсэн:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Хүчний модуль, түүнчлэн координатын тэнхлэг ба хавтгай дээрх түүний бүх проекц, F¯ ба түүний проекц бүрийн хоорондох өнцгийг тодорхойлох шаардлагатай.

F¯ векторын координатыг тооцоолж асуудлыг шийдэж эхэлцгээе. Бидэнд:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Тэгвэл хүчний модуль:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд нь F¯ векторын харгалзах координатуудтай тэнцүү байна. Тэдгээрийн хоорондох өнцөг ба F¯ чиглэлийг тооцоолъё. Бидэнд:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

F¯ векторын координатууд мэдэгдэж байгаа тул координатын хавтгай дээрх хүчний проекцын модулиудыг тооцоолох боломжтой. Дээрх томьёог ашигласнаар бид дараахийг авна:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Эцэст нь хавтгай дээрх олсон проекц ба хүчний вектор хоорондын өнцгийг тооцоолоход л үлдлээ. Бидэнд:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Тиймээс F¯ вектор xy координатын хавтгайд хамгийн ойр байна.

Налуу хавтгай дээрх гулсах баарны асуудал

Одоо хүчний проекцын тухай ойлголтыг хэрэгжүүлэх шаардлагатай физик асуудлыг шийдье. Модон налуу онгоц өгье. Түүний тэнгэрийн хаяанд хазайх өнцөг нь 45^o байна. Онгоцонд 3 кг жинтэй модон блок байна. Хэрэв гулсалтын үрэлтийн коэффициент 0.7 байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол энэ баар ямар хурдатгалтайгаар онгоцоор доошлохыг тодорхойлох шаардлагатай.

Эхлээд биеийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хийцгээе. Түүнд зөвхөн хоёр хүч (хавтгай дээрх таталцлын проекц ба үрэлтийн хүч) үйлчлэх тул тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/м.

Энд F_g, F_f нь таталцлын болон үрэлтийн проекц юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдний утгыг тооцоолох ажил багасна.

Онгоцыг тэнгэрийн хаяанд налсан өнцөг нь 45^o тул таталцлын проекц F_g гэдгийг харуулахад хялбар.онгоцны гадаргуугийн дагуу:

тэнцүү байна.

F_g=mgsin(45^o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 Н.

Энэ хүчний төсөөлөл нь тогтворгүй байхыг зорьж байнамодон блок ба хурдатгал өгнө.

Тодорхойлолтын дагуу гулсалтын үрэлтийн хүч нь:

F_f=ΜN

Энд Μ=0, 7 (бодлогын нөхцөлийг харна уу). Тулгуурын урвалын хүч N нь таталцлын хүчний налуу хавтгайд перпендикуляр тэнхлэг дээрх проекцтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл: