Хүн төрөлхтний хөгжил дэвшил нь суут хүмүүсийн хийсэн нээлтүүдтэй ихээхэн холбоотой. Тэдний нэг бол Блэйз Паскаль юм. Арслан Фейхтвангерын “Авьяаслаг хүн, бүх зүйлд авьяастай” гэсэн үг үнэн болохыг түүний бүтээлч намтар дахин баталж байна. Энэ агуу эрдэмтний бүх шинжлэх ухааны ололтыг тоолж баршгүй. Тэдний дунд математикийн ертөнцийн хамгийн гоёмсог бүтээлүүдийн нэг болох Паскалийн гурвалжин бий.
Суут ухаантны тухай хэдэн үг
Блэйз Паскал орчин үеийн жишгээр эрт буюу 39 насандаа нас баржээ. Гэсэн хэдий ч тэрээр богинохон насандаа гарамгай физикч, математикч, философич, зохиолч гэдгээрээ ялгарчээ. Талархалтай үр удам нь даралтын нэгж болон алдартай програмчлалын хэлийг Паскаль гэж нэрлэжээ. Энэ нь янз бүрийн код бичихийг заахад бараг 60 жил ашиглагдаж байна. Жишээлбэл, түүний тусламжтайгаар оюутан бүр Паскаль хэл дээр гурвалжны талбайг тооцоолох програм бичихээс гадна хэлхээний шинж чанарыг судлах боломжтой. Үүнийг доор хэлэлцэх болно.
Ер бусын сэтгэлгээтэй энэ эрдэмтний үйл ажиллагаа нь шинжлэх ухааны олон салбарыг хамардаг. Ялангуяа Блез Паскаль бол гидростатик, математик анализ, геометрийн зарим чиглэл, магадлалын онолын үндэслэгчдийн нэг юм. Мөн тэрээр:
- Паскалын дугуй гэгддэг механик тооны машиныг бүтээсэн;
- агаар уян хатан, жинтэй болохыг туршилтаар нотолсон;
- барометр ашиглан цаг агаарыг урьдчилан таамаглах боломжтойг тогтоосон;
- түрдэг тэрэг зохион бүтээсэн;
- omnibus буюу тогтмол чиглэлтэй морин тэрэг зохион бүтээж, хожим нь нийтийн тээврийн анхны төрөл болсон гэх мэт.
Паскалийн арифметик гурвалжин
Урьд дурьдсанчлан Францын энэ агуу эрдэмтэн математикийн шинжлэх ухаанд асар их хувь нэмэр оруулсан. Түүний шинжлэх ухааны үнэмлэхүй гайхамшигт бүтээлүүдийн нэг нь тодорхой дарааллаар байрлуулсан бином коэффициентүүдээс бүрдсэн "Арифметик гурвалжны тухай тууж" юм. Энэхүү схемийн шинж чанарууд нь олон янз байдалаараа гайхалтай бөгөөд "Ухаантай бүх зүйл энгийн!" гэсэн зүйр үгийг баталж байна.
Бага түүх
Шударга байхын тулд Паскалийн гурвалжинг Европт 16-р зууны эхэн үеэс мэддэг байсан гэж хэлэх ёстой. Ялангуяа түүний дүр төрхийг Инголштадтын их сургуулийн нэрт одон орон судлаач Питер Апианы арифметикийн сурах бичгийн нүүрнээс харж болно. Үүнтэй төстэй гурвалжинг мөн жишээ болгон үзүүлэв. Хятадын математикч Ян Хуйгийн 1303 онд хэвлэгдсэн номонд. Персийн гайхамшигт яруу найрагч, гүн ухаантан Омар Хайям 12-р зууны эхээр түүний шинж чанарыг мэддэг байжээ. Түүгээр ч барахгүй Араб, Энэтхэгийн эрдэмтдийн өмнө нь бичсэн зохиолуудаас түүнтэй уулзсан гэж үздэг.
Тодорхойлолт
Төгс төгөлдөр, энгийн байдлаараа үзэсгэлэнтэй Паскалийн гурвалжны хамгийн сонирхолтой шинж чанаруудыг судлахын өмнө энэ нь юу болохыг мэдэх нь зүйтэй.
Шинжлэх ухааны үүднээс авч үзвэл энэхүү тоон схем нь тодорхой дарааллаар байрласан хоёр гишүүний коэффициентүүдээс бүрдсэн төгсгөлгүй гурвалжин хүснэгт юм. Дээд талд болон хажуу талд нь тоонууд байна 1. Үлдсэн байрлалууд нь бие биенийхээ хажууд байрлах хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү тоогоор байрлана. Түүнчлэн Паскалийн гурвалжны бүх шугамууд нь түүний босоо тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.
Үндсэн онцлог
Паскалын гурвалжин төгс төгөлдөр байдлаараа гайхалтай харагдаж байна. Дурын n дугаартай мөрийн хувьд (n=0, 1, 2…) үнэн:
- эхний болон сүүлчийн тоо нь 1;
- хоёр дахь болон эцсийн өмнөх - n;
- гурав дахь тоо нь гурвалжин тоотой тэнцүү (тэнцүү талт гурвалжинд байрлуулж болох тойргийн тоо, жишээлбэл 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Дөрөв дэх тоо нь тетраэдр, өөрөөр хэлбэл суурь нь гурвалжинтай пирамид юм.
Үүнээс гадна харьцангуй саяхан буюу 1972 онд Паскалийн гурвалжны өөр нэг өмч бий болсон. Түүний төлөөҮүнийг мэдэхийн тулд та энэ схемийн элементүүдийг 2 байрлалаар эгнээ шилжүүлэх хүснэгт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Дараа нь мөрийн дугаарт хуваагдах тоонуудыг тэмдэглэ. Бүх тоог тодруулсан баганын дугаар нь анхны тоо болох нь харагдаж байна.
Ижил мэхийг өөр аргаар хийж болно. Үүнийг хийхийн тулд Паскалийн гурвалжинд тоонуудыг хүснэгтийн мөрийн дугаарт хуваах үлдэгдэлээр солино. Дараа нь үүссэн гурвалжинд шугамуудыг байрлуулснаар дараагийнх нь өмнөх эхний элементээс баруун тийш 2 баганыг эхлүүлнэ. Дараа нь анхны тоо бүхий баганууд нь зөвхөн тэгээс бүрдэх ба нийлмэл тоонууд нь дор хаяж нэг тэг агуулсан байх болно.
Ньютоны биномтой холболт
Таны мэдэж байгаагаар энэ нь хоёр хувьсагчийн нийлбэрийг сөрөг бус бүхэл тоонд шилжүүлэх томьёоны нэр бөгөөд энэ нь:
Тэдгээрт байгаа коэффициентүүд нь C m =n-тэй тэнцүү байна! / (m! (n - m)!), энд m нь Паскалийн гурвалжны n эгнээний дарааллын тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ хүснэгтийг гартаа авснаар та аль ч тоог өмнө нь хоёр томьёо болгон задалсан тохиолдолд амархан өсгөж чадна.
Тиймээс Паскалийн гурвалжин болон Ньютоны бином хоорондоо нягт холбоотой.
Математикийн гайхамшиг
Паскалийн гурвалжинг сайтар судалж үзэхэд:
- мөр дэх бүх тооны нийлбэрсерийн дугаар n (0-ээс тоолох) нь 2;
- хэрэв мөрүүдийг зүүн зэрэгцүүлсэн бол Паскалийн гурвалжны диагональ дагуу доороос дээш, зүүнээс баруун тийш байрлах тоонуудын нийлбэр Фибоначчийн тоотой тэнцүү байна;
- эхний "диагональ" нь натурал тоонуудын дарааллаар тогтоно;
- Паскалийн гурвалжны нэгээр буурсан аль ч элемент нь параллелограммын дотор байрлах бүх тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд энэ тоон дээр огтлолцох зүүн ба баруун диагональуудаар хязгаарлагддаг;
- диаграммын мөр бүрт тэгш газар байгаа тоонуудын нийлбэр нь сондгой газар байгаа элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Сиерпинскийн гурвалжин
Иймэрхүү сонирхолтой математик схемийг нарийн төвөгтэй бодлого шийдвэрлэх тал дээр нэлээд ирээдүйтэй бөгөөд Паскаль зургийн тэгш тоог нэг өнгөөр, сондгой тоог өөр өнгөөр будаж гаргаж авдаг.
Сиерпинскийн гурвалжинг өөр аргаар барьж болно:
- Сүүдэрлэсэн Паскалийн схемд дунд гурвалжинг өөр өнгөөр будсан бөгөөд энэ нь эх талын талуудын дунд цэгүүдийг холбосноор үүсдэг;
- буланд байрлах гурван будаагүй будгаар яг адилхан хийнэ;
- хэрэв процедурыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлбэл үр дүн нь хоёр өнгийн зураг байх ёстой.
Сиерпинскийн гурвалжны хамгийн сонирхолтой шинж чанар нь 2 дахин багассан 3 хуулбараас бүрддэг тул өөртэйгөө төстэй байдал юм. Энэ нь бидэнд энэ схемийг фрактал муруйд хамааруулах боломжийг олгодог бөгөөд тэдгээр нь хамгийн сүүлийн үеийнхээс харагдаж байнаСудалгаа нь үүл, ургамал, голын бэлчир болон орчлон ертөнцийн математик загварчлалд хамгийн тохиромжтой.
Хэд хэдэн сонирхолтой даалгавар
Паскалын гурвалжинг хаана ашигладаг вэ? Түүний тусламжтайгаар шийдэж болох ажлуудын жишээ нь нэлээд олон янз бөгөөд шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт хамаардаг. Илүү сонирхолтой заримыг нь харцгаая.
Асуудал 1. Цайз хэрмээр хүрээлэгдсэн зарим том хот зөвхөн нэг хаалгатай. Эхний уулзвар дээр төв зам хоёр хуваагдана. Үүнтэй ижил зүйл бусад зүйлд тохиолддог. 210 хүн хотод орж ирдэг. Уулзсан уулзвар бүр дээр тэд хагасаар хуваагддаг. Хуваалцах боломжгүй болсон үед уулзвар бүрт хичнээн хүн олдох бол. Түүний хариулт бол Паскалийн гурвалжны 10-р мөрөнд (коэффицентийн томьёог дээр үзүүлэв) 210 тоо нь босоо тэнхлэгийн хоёр талд байрлана.
Даалгавар 2. 7 өнгөний нэр байна. Та 3 цэцгийн баглаа хийх хэрэгтэй. Үүнийг хэдэн янзын аргаар хийж болохыг олж мэдэх шаардлагатай. Энэ асуудал нь комбинаторикийн салбараас гаралтай. Үүнийг шийдэхийн тулд бид дахин Паскалийн гурвалжинг ашиглаад 7-р мөрөнд гурав дахь байрлалд (хоёр тохиолдолд 0-ээс дугаарлах) 35 гэсэн тоог авна.
Францын агуу гүн ухаантан, эрдэмтэн Блез Паскал юу зохион бүтээснийг та одоо мэдэж байна. Түүний алдартай гурвалжин нь зөв ашиглавал олон асуудлыг, ялангуяа талбайн асуудлыг шийдвэрлэхэд жинхэнэ аврагч болж чадна.комбинаторик. Үүнээс гадна үүнийг фракталтай холбоотой олон нууцыг тайлахад ашиглаж болно.
