Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн. Томьёо ба даалгаврын жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Ямар ч орон зайн дүрсийг судлахдаа түүний эзлэхүүнийг хэрхэн тооцоолохыг мэдэх нь чухал юм. Энэ нийтлэлд ердийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүний томъёог өгөхөөс гадна асуудлыг шийдвэрлэх жишээн дээр энэ томъёог хэрхэн ашиглахыг харуулсан болно.

Бид ямар пирамидын тухай ярьж байна вэ?

Пирамид бол гурвалжин, олон өнцөгтөөс бүрдсэн олон өнцөгт гэдгийг ахлах сургуулийн сурагч бүр мэддэг. Сүүлийнх нь зургийн суурь юм. Гурвалжингууд нь суурьтай нэг нийтлэг талтай бөгөөд пирамидын дээд хэсэг болох нэг цэг дээр огтлолцдог.

Пирамид бүр нь суурийн хажуугийн урт, хажуугийн ирмэгийн урт, өндрөөр тодорхойлогддог. Сүүлийнх нь перпендикуляр сегмент бөгөөд зургийн дээд хэсгээс суурь руу доошлоно.

Ердийн дөрвөлжин пирамид нь дөрвөлжин суурьтай дүрс бөгөөд түүний өндөр нь энэ квадратыг төв хэсэгт нь огтолж байгаа юм. Магадгүй энэ төрлийн пирамидын хамгийн алдартай жишээ бол эртний Египетийн чулуун байгууламжууд юм. Доорх зураг байнаХеопс пирамидууд.

Судалгаанд хамрагдаж буй зураг нь таван нүүртэй бөгөөд дөрөв нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Энэ нь мөн таван оройгоор тодорхойлогддог бөгөөд тэдгээрийн дөрөв нь сууринд хамаарах бөгөөд найман ирмэг (суурийн 4 ирмэг, хажуугийн нүүрний 4 ирмэг)

Дөрвөн өнцөгт пирамидын эзэлхүүний томьёо зөв

Тухайн зургийн эзлэхүүн нь таван талаас хязгаарлагдсан орон зайн нэг хэсэг юм. Энэ эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд бид пирамидын S_z пирамидын суурьтай параллель зүсмэлийн талбайн z босоо координатаас дараах хамаарлыг ашиглана:

S_z=S_o (ц - z/ц)²

Энд S_o нь дөрвөлжин суурийн талбай юм. Бичсэн илэрхийлэлд z=h гэж орлуулбал S_z-д тэг утга гарна. Энэ z утга нь пирамидын зөвхөн дээд хэсгийг агуулсан зүсмэлтэй тохирч байна. Хэрэв z=0 бол суурь талбайн утгыг авна S_o.

Хэрэв та S_z(z) функцийг мэддэг бол пирамидын эзэлхүүнийг олоход хялбар бөгөөд үүний тулд дүрсийг хязгааргүй тоо болгон таслахад хангалттай. давхаргууд нь суурьтай параллель байх ба дараа нь нэгтгэх ажиллагааг гүйцэтгэнэ. Би энэ техникийг дагаж мөрдвөл бид:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀ц.

Учир нь S₀дөрвөлжин суурийн талбай, дараа нь дөрвөлжингийн талыг a үсгээр тэмдэглэж, бид ердийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүний томъёог олж авна:

V=1/3a²ц.

Одоо энэ илэрхийлэл хэрхэн хэрэглэгдэх ёстойг асуудал шийдвэрлэх жишээнүүдийг ашиглая.

Пирамидын эзэлхүүнийг үгийн тэмдэг, хажуугийн ирмэгээр нь тодорхойлох асуудал

Пирамидын нэр томъёо нь түүний хажуугийн гурвалжны өндөр бөгөөд түүнийг суурийн хажуу тал руу буулгасан байна. Энгийн пирамид дахь бүх гурвалжин тэнцүү байдаг тул тэдгээрийн нэр томъёо нь ижил байх болно. Түүний уртыг h_b тэмдгээр тэмдэглэе. Хажуугийн ирмэгийг b гэж тэмдэглэнэ.

Пирамидын апотем нь 12 см, хажуугийн ирмэг нь 15 см гэдгийг мэдээд жирийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүнийг ол.

Өмнөх догол мөрөнд бичсэн зургийн эзлэхүүний томьёо нь хажуугийн урт a ба өндөр h гэсэн хоёр параметрийг агуулна. Одоогоор бид тэдгээрийн алийг нь ч мэдэхгүй байгаа тул тооцооллыг нь харцгаая.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд Пифагорын теоремыг ашиглавал гипотенуз нь ирмэг b, хөл нь h _{квадратын хажуугийн уртыг тооцоолоход хялбар болно. b} ба суурийн хажуугийн хагас a/2. Бид дараахыг авна:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Нөхцөлөөс мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулахад бид a=18 см утгыг авна.

Пирамидын h өндрийг тооцоолохын тулд та хоёр зүйлийг хийж болно: тэгш өнцөгтийг анхаарч үзээрэй.гипотенуз-хажуугийн ирмэг эсвэл гипотенуз-апотем бүхий гурвалжин. Хоёр арга хоёулаа тэнцүү бөгөөд ижил тооны математикийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг. Гипотенуз нь h_b гэсэн үг болох гурвалжны асуудлыг авч үзье. Түүний доторх хөл нь h ба a / 2 байх болно. Дараа нь бид дараахыг авна:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12) ²- 18²/4)=7, 937 см.

Одоо та V боть томьёог ашиглаж болно:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 см ³.

Тиймээс энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн ойролцоогоор 0.86 литр байна.

Хеопс пирамидын эзэлхүүн

Одоо нэгэн сонирхолтой бөгөөд практик чухал асуудлыг шийдье: Гиза дахь хамгийн том пирамидын эзэлхүүнийг ол. Барилгын анхны өндөр нь 146.5 метр, суурийнх нь урт нь 230.363 метр байсан нь ном зохиолоос мэдэгдэж байна. Эдгээр тоонууд нь V-ийг тооцоолох томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгоно. Бид дараахыг авна:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 м ³.

Үр дүнд нь бараг 2.6 сая м³ байна. Энэ хэмжээ нь тал нь 137.4 метр кубын эзэлхүүнтэй тохирч байна.