Өнөөгийн ертөнцөд бид төрөл бүрийн машин, хэрэгсэл ашиглах нь ихсэж байна. Зөвхөн хүнлэг бус хүч хэрэглэх шаардлагатай үед зогсохгүй: ачаагаа зөөж, өндөрт өргөх, урт, гүн суваг ухах гэх мэт. Өнөөдөр машинуудыг робот угсарч, хоолыг олон тогооч бэлтгэдэг, энгийн арифметик тооцооллыг хийдэг. тооны машинуудаар гүйцэтгэдэг. Бид "Боолийн алгебр" гэсэн хэллэгийг илүү олон удаа сонсдог. Магадгүй робот бүтээхэд хүний гүйцэтгэх үүрэг, машин зөвхөн математик төдийгүй логик асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг ойлгох цаг болсон байх.
Логик
Грек хэлнээс орчуулбал логик нь өгөгдсөн нөхцлүүдийн хоорондын харилцааг бий болгож, байр суурь, таамаглал дээр үндэслэн дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог эмх цэгцтэй сэтгэлгээний систем юм. Бид бие биенээсээ "Энэ логиктой юу?" гэж байнга асуудаг. Хүлээн авсан хариулт нь бидний таамаглалыг баталж, эсвэл бодлын галт тэргийг шүүмжилдэг. Гэхдээ үйл явц зогсохгүй: бид үргэлжлүүлэн бодож байна.
Заримдаа нөхцөлүүдийн тоо (танилцуулга) маш их, тэдгээрийн хоорондын харилцаа маш нарийн төвөгтэй бөгөөд хүний тархи бүгдийг нэг дор "шингээх" боломжгүй байдаг. Юу болж байгааг ойлгоход нэг сараас илүү хугацаа (долоо хоног, жил) шаардлагатай. ГэхдээОрчин үеийн амьдрал бидэнд шийдвэр гаргах цаг хугацааны интервалыг өгдөггүй. Мөн бид компьютерийн тусламжид ханддаг. Энд л өөрийн гэсэн хууль, шинж чанартай логикийн алгебр гарч ирдэг. Бүх анхны өгөгдлийг татаж авснаар бид компьютерт бүх харилцааг таньж, зөрчилдөөнийг арилгах, сэтгэл ханамжтай шийдлийг олох боломжийг олгодог.
Математик ба логик
Алдарт Готфрид Вильгельм Лейбниц "математик логик" хэмээх ойлголтыг томъёолсон бөгөөд түүний асуудлууд нь зөвхөн нарийн хүрээний эрдэмтдэд ойлгомжтой байв. Энэ чиглэл нь онцгой сонирхол төрүүлээгүй бөгөөд 19-р зууны дунд үе хүртэл цөөхөн хүн математик логикийн талаар мэддэг байсан.
Шинжлэх ухааны нийгэмлэгийн асар их сонирхлын улмаас англи хүн Жорж Буль практикт огт хэрэглэгдэхгүй математикийн салбарыг бий болгох бодолтой байгаагаа зарлаж, маргаан үүсгэжээ. Түүхээс бидний санаж байгаагаар тухайн үед аж үйлдвэрийн үйлдвэрлэл идэвхтэй хөгжиж, бүх төрлийн туслах машин, машин механизмууд бүтээгдэж байсан, өөрөөр хэлбэл шинжлэх ухааны бүх нээлтүүд практик ач холбогдолтой байв.
Урагшаа харахад Булийн алгебр бол орчин үеийн ертөнцөд математикийн хамгийн их хэрэглэгддэг хэсэг юм гэж бодъё. Тиймээс Булл маргаанаа алдсан.
Жорж Бюль
Зохиогчийн зан чанар онцгой анхаарал хандуулах ёстой. Өмнө нь хүмүүс биднээс өмнө өсч торниж байсныг бодоход ч Ж. Бюль 16 настайдаа тосгоны сургуульд багшилж, 20 настайдаа Линкольн хотод өөрийн гэсэн сургуулиа нээсэн гэдгийг санахгүй байхын аргагүй. Математикч таван гадаад хэлээр чөлөөтэй ярьдаг байсан бөгөөд чөлөөт цагаараа бүтээл уншдаг байжээНьютон ба Лагранж. Мөн энэ бүхэн энгийн ажилчин хүүгийн тухай юм!
1839 онд Буль анх Кембрижийн математикийн сэтгүүлд эрдэм шинжилгээний өгүүлэлээ илгээжээ. Эрдэмтэн 24 настай. Булийн бүтээл Хатан хааны нийгэмлэгийн гишүүдийг маш их сонирхож байсан тул 1844 онд математикийн анализыг хөгжүүлэхэд оруулсан хувь нэмрийг нь үнэлж медаль хүртжээ. Математик логикийн элементүүдийг тодорхойлсон хэд хэдэн хэвлэгдсэн бүтээл нь залуу математикчийг Корк Каунти коллежид профессороор ажиллах боломжийг олгосон. Бухл өөрөө боловсролгүй байсныг санаарай.
Санаа
Зарчмын хувьд Булийн алгебр маш энгийн. Математикийн үүднээс "үнэн" эсвэл "худал" гэсэн хоёр үгээр л тодорхойлж болох мэдэгдлүүд (логик илэрхийллүүд) байдаг. Жишээлбэл, хавар мод цэцэглэдэг - үнэн, зун цас ордог - худал. Энэ математикийн гоо үзэсгэлэн нь зөвхөн тоо хэрэглэх шаардлагагүй юм. Хоёрдмол утгатай аливаа хэллэг нь шүүлтийн алгебрт тохиромжтой.
Тиймээс логикийн алгебрыг хаа сайгүй шууд утгаараа ашиглаж болно: зааварчилгааг төлөвлөх, бичих, үйл явдлын талаарх зөрчилтэй мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлох. Хамгийн гол нь бид мэдэгдлийн үнэн, худлыг хэрхэн тодорхойлох нь огт чухал биш гэдгийг ойлгох явдал юм. Эдгээр "яаж", "яагаад" -ыг хийсвэрээр арилгах хэрэгтэй. Зөвхөн бодит байдлын мэдэгдэл чухал: үнэн худал.
Мэдээж програмчлалын хувьд логикийн алгебрын функцууд чухал бөгөөд тэдгээрийг харгалзахтэмдэг, тэмдэг. Тэднийг сурна гэдэг шинэ гадаад хэлийг эзэмшинэ гэсэн үг. Боломжгүй зүйл гэж үгүй.
Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт
Нэр томьёог гүнзгийрүүлэхгүйгээр нэр томьёоны талаар ярилцъя. Тэгэхээр Булийн алгебр:
гэж үздэг.
- мэдэгдэл;
- логик үйлдлүүд;
- функц ба хууль.
Мэдэгдэл гэдэг нь хоёрдмол утгатай тайлбарлах боломжгүй аливаа эерэг илэрхийлэл юм. Тэдгээрийг тоогоор бичсэн (5 > 3) эсвэл танил үгсээр томъёолсон (заан бол хамгийн том хөхтөн амьтан). Үүний зэрэгцээ "анааш хүзүүгүй" гэсэн хэллэг ч оршин тогтнох эрхтэй, зөвхөн Булийн алгебр үүнийг "худал" гэж тодорхойлох болно.
Бүх мэдэгдэл хоёрдмол утгагүй байх ёстой, гэхдээ тэдгээр нь энгийн болон нийлмэл байж болно. Сүүлийнх нь логик холболтыг ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, шүүлтийн алгебрт нийлмэл өгүүлбэрүүд нь логик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар энгийн хэллэгүүдийг нэмснээр үүсдэг.
Булийн алгебрийн үйлдлүүд
Шүүлтийн алгебр дахь үйлдлүүд логик гэдгийг бид аль хэдийн санаж байна. Тооны алгебр нь тоог нэмэх, хасах, харьцуулахдаа арифметик ашигладагтай адил математик логикийн элементүүд нь танд нарийн төвөгтэй мэдэгдэл хийх, үгүйсгэх, эцсийн үр дүнг тооцоолох боломжийг олгодог.
Албан ёсны болгох, хялбар болгох логик үйлдлүүдийг арифметикийн бидэнд мэддэг томьёогоор бичдэг. Булийн алгебрын шинж чанарууд нь тэгшитгэл бичих, үл мэдэгдэх зүйлийг тооцоолох боломжийг олгодог. Логик үйлдлүүдийг ихэвчлэн үнэний хүснэгт ашиглан бичдэг. Түүний багануудТооцооллын элементүүд болон тэдгээрт хийгдэх үйлдлийг тодорхойлох ба шугамууд нь тооцооллын үр дүнг харуулна.
Үндсэн логик үйлдлүүд
Булийн алгебр дахь хамгийн түгээмэл үйлдлүүд бол үгүйсгэх (БИШ) ба логик AND ба OR. Шүүлтийн алгебр дахь бараг бүх үйлдлийг ингэж дүрсэлж болно. Гурван үйлдэл тус бүрийг илүү нарийвчлан судалцгаая.
Үгүйсгэх (үгүй) зөвхөн нэг элементэд (операнд) хамаарна. Тиймээс үгүйсгэх үйлдлийг унар гэж нэрлэдэг. "А биш" гэсэн ойлголтыг бичихийн тулд дараах тэмдэглэгээг ашиглана: ¬A, A¯¯¯ эсвэл !A. Хүснэгт хэлбэрээр дараах байдлаар харагдана:
Үгүйсгэх функц нь дараах хэллэгээр тодорхойлогддог: хэрэв А үнэн бол B нь худал байна. Жишээлбэл, Сар дэлхийг тойрон эргэдэг - үнэн; Дэлхий сарыг тойрон эргэдэг - худал.
Логик үржүүлэх, нэмэх
Логик AND-г холболтын үйлдэл гэнэ. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Нэгдүгээрт, энэ нь хоёр операнд дээр хэрэглэгдэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл хоёртын үйлдэл юм. Хоёрдугаарт, хоёр операнд (А ба В хоёулаа) үнэн байх тохиолдолд л илэрхийлэл өөрөө үнэн болно. "Тэвчээр, хөдөлмөр бүхнийг няцлах болно" гэдэг зүйр үг нь хүнд хэцүү бэрхшээлийг даван туулахад хоёр хүчин зүйл л тусалдаг гэдгийг харуулж байна.
Бичихэд хэрэглэгддэг тэмдэгтүүд: A∧B, A⋅B эсвэл A&&B.
Холбоо нь арифметикт үржүүлэхтэй төстэй. Заримдаа тэд үүнийг хэлдэг - логик үржүүлэх. Хэрэв бид хүснэгтийн элементүүдийг мөр болгон үржүүлбэл логик үндэслэлтэй төстэй үр дүн гарна.
Disjunction нь логик OR үйл ажиллагаа юм. Энэ нь үнэний үнэ цэнийг авдагмэдэгдлүүдийн дор хаяж нэг нь үнэн байх үед (А эсвэл В). Энэ нь дараах байдлаар бичигдсэн: A∨B, A+B эсвэл A||B. Эдгээр үйлдлийн үнэний хүснэгт нь:
Таслах нь арифметик нэмэхтэй адил юм. Логик нэмэх үйлдэл нь зөвхөн нэг хязгаарлалттай: 1+1=1. Гэхдээ дижитал форматаар математик логик нь 0 ба 1-ээр хязгаарлагддаг (1 нь үнэн, 0 нь худал) гэдгийг бид санаж байна. Жишээлбэл, "Музейд та урлагийн бүтээл үзэх эсвэл сонирхолтой ярилцагчтай уулзах боломжтой" гэсэн үг нь урлагийн бүтээлүүдийг үзэж болно, эсвэл сонирхолтой хүнтэй уулзаж болно гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдохыг үгүйсгэхгүй.
Функц ба хууль тогтоомж
Тиймээс бид Булийн алгебр ямар логик үйлдлүүдийг ашигладаг болохыг аль хэдийн мэддэг болсон. Функцууд нь математик логикийн элементүүдийн бүх шинж чанарыг тодорхойлдог бөгөөд асуудлын нийлмэл нөхцлийг хялбарчлах боломжийг олгодог. Хамгийн ойлгомжтой, энгийн шинж чанар нь үүсмэл үйлдлээс татгалзах явдал юм. Дериватив нь онцгой OR, implication and equivalence юм. Бид зөвхөн үндсэн үйлдлүүдийг судалсан тул зөвхөн тэдгээрийн шинж чанарыг авч үзэх болно.
Холбоо гэдэг нь "ба А, ба В, С" гэх мэт хэллэгүүдэд операндуудын дараалал хамаагүй гэсэн үг. Томьёог ингэж бичсэн байна:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Таны харж байгаачлан энэ нь холболтын шинж чанараас гадна дизьюнкцийн шинж чанар юм.
Оролцох чадвар нь үр дүн гэж заасанХолболт эсвэл салалт нь аль элементийг хамгийн түрүүнд авч үзсэнээс хамаарахгүй:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Тархалт нь нарийн төвөгтэй логик илэрхийлэлд хаалтуудыг өргөтгөх боломжийг олгодог. Дүрэм нь алгебрийн үржүүлэх болон нэмэхэд хаалт нээхтэй төстэй:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Операндуудын аль нэг байж болох нэг ба тэгийн шинж чанарууд нь мөн алгебрийн аргаар тэг эсвэл нэгээр үржүүлэх, нэгээр нэмэхтэй төстэй:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Идемпотенци нь хэрэв хоёр тэнцүү операндын хувьд үйлдлийн үр дүн ижил төстэй бол бид дүгнэлт хийхэд хүндрэл учруулдаг нэмэлт операндуудыг "хаяж" чадна гэдгийг хэлдэг. Холболт ба салгах нь хоёулаа үл хамаарах үйлдэл юм.
B∧B=B; B∨B=B.
Шингээлт нь тэгшитгэлийг хялбарчлах боломжийг бидэнд олгодог. Шингээлт гэдэг нь нэг операнд бүхий илэрхийлэлд ижил элементтэй өөр үйлдлийг хэрэглэх үед үр дүн нь шингээх үйлдлээс гарсан операнд болно.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Үйл ажиллагааны дараалал
Үйлдлүүдийн дараалал нь тийм ч чухал биш юм. Үнэн хэрэгтээ алгебрийн хувьд Булийн алгебр ашигладаг функцүүдийн тэргүүлэх чиглэл байдаг. Зөвхөн үйлдлүүдийн ач холбогдлыг ажигласан тохиолдолд томъёог хялбарчилж болно. Хамгийн чухалаас хамгийн бага хүртэл эрэмбэлэхдээ бид дараах дарааллыг авна:
1. Татгалзах.
2. Холболт.
3. Салалт, онцгойЭСВЭЛ.
4. Далд утга, дүйцэх байдал.
Таны харж байгаачлан зөвхөн үгүйсгэх болон холбоо үг ижил давуу эрхтэй байдаггүй. Дизюнкц ба XOR-ын тэргүүлэх ач холбогдол, мөн нөлөөлөл ба эквивалентийн тэргүүлэх ач холбогдол нь тэнцүү байна.
Үйлдэл ба эквивалент функцууд
Бид аль хэдийн хэлсэнчлэн үндсэн логик үйлдлүүдээс гадна математик логик болон алгоритмын онолд дериватив ашигладаг. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг нь далд утга, эквивалент юм.
Дуу санаа, логик үр дагавар гэдэг нь нэг үйлдэл нь нөхцөл, нөгөө нь хэрэгжсэний үр дагавар гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь "хэрэв … тэгвэл" гэсэн угтвар үгтэй өгүүлбэр юм. "Хэрэв чи унах дуртай бол чарга үүрэх дуртай." Өөрөөр хэлбэл, цанаар гулгахдаа та толгод руу чаргаа чангалах хэрэгтэй. Уулнаас буух хүсэл байхгүй бол чарга авч явах шаардлагагүй. Энэ нь дараах байдлаар бичигдсэн: A→B эсвэл A⇒B.
Эквивалент нь хоёр операнд үнэн байх үед л үр дүнгийн үйлдэл явагдана гэж үздэг. Жишээлбэл, нар тэнгэрийн хаяанд мандах үед (мөн зөвхөн тэр үед) шөнө өдөр болж хувирдаг. Математик логикийн хэлээр энэ мэдэгдлийг дараах байдлаар бичнэ: A≡B, A⇔B, A==B.
Булийн алгебрын бусад хуулиуд
Шүүлтийн алгебр хөгжиж байгаа бөгөөд сонирхсон олон эрдэмтэд шинэ хуулиудыг боловсруулсан. Шотландын математикч О.де Морганы постулатуудыг хамгийн алдартай гэж үздэг. Тэрээр ойрын үгүйсгэх, нэмэлт, давхар үгүйсгэх зэрэг шинж чанаруудыг анзаарч тодорхойлсон.
Хаах үгүйсгэх гэдэг нь хаалтны өмнө үгүйсгэл байхгүй гэсэн үг:биш (A эсвэл B)=А биш эсвэл БИШ биш.
Операндыг үнэ цэнээс нь үл хамааран үгүйсгэх үед нөхөж байгаа үг:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Эцэст нь давхар үгүйсгэл нь өөрийгөө нөхдөг. Тэдгээр. эсвэл үгүйсгэл нь операндын өмнө алга болно, эсвэл зөвхөн нэг л үлдэнэ.
Тестийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ
Математик логик нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хялбарчлахыг хэлнэ. Яг алгебрийн нэгэн адил та эхлээд нөхцөлийг аль болох хялбар болгох хэрэгтэй (тэдгээрийн нарийн төвөгтэй оролт, үйлдлээс ангижрах), дараа нь зөв хариултыг хайж эхлэх хэрэгтэй.
Хялбаршуулахын тулд юу хийж болох вэ? Бүх үүссэн үйлдлүүдийг энгийн үйлдэл болгон хөрвүүлэх. Дараа нь бүх хаалтыг нээнэ үү (эсвэл эсрэгээр, энэ элементийг богиносгохын тулд хаалтнаас гаргаж ав). Дараагийн алхам бол Булийн алгебрийн шинж чанаруудыг практикт (шингээлт, тэг ба нэгийн шинж чанар гэх мэт) ашиглах явдал байх ёстой.
Эцэст нь тэгшитгэл нь энгийн үйлдлээр нэгтгэсэн үл мэдэгдэх хамгийн бага тооноос бүрдэх ёстой. Шийдлийг олох хамгийн хялбар арга бол олон тооны ойролцоо сөрөг үр дүнд хүрэх явдал юм. Дараа нь хариулт өөрөө гарч ирэх болно.
