Матриц ба тодорхойлогчдыг XVIII-XIX зуунд нээжээ. Эхэндээ тэдний хөгжил нь геометрийн объектуудыг хувиргах, шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхтэй холбоотой байв. Түүхээс харахад эрт дээр үеэс тодорхойлогч хүчин зүйлийг онцолж байв. Орчин үеийн шугаман алгебр боловсруулах аргуудад хамгийн түрүүнд матрицуудыг авч үздэг. Энэ асуултын талаар хэсэг хугацаанд тунгаан бодох нь зүйтэй болов уу.
Энэ талын мэдлэгийн хариулт
Матрицууд нь:
гэх мэт олон асуудлыг шийдвэрлэх онолын болон практикийн ашигтай аргыг өгдөг.
- шугаман тэгшитгэлийн систем;
- хатуу бодисын тэнцвэрт байдал (физик дээр);
- графын онол;
- Leontief-ийн эдийн засгийн загвар;
- ойн аж ахуй;
- компьютер график ба томограф;
- генетик;
- криптограф;
- цахилгаан сүлжээ;
- фрактал.
Үнэндээ "дамми"-ын матриц алгебр нь хялбаршуулсан тодорхойлолттой. Үүнийг дараах байдлаар илэрхийлнэ: энэ бол шинжлэх ухааны мэдлэгийн салбар юмтухайн үнэт зүйлсийг судалж, шинжилж, бүрэн судалдаг. Алгебрийн энэ хэсэгт судалж буй матрицууд дээрх янз бүрийн үйлдлүүдийг судалдаг.
Матрицтай хэрхэн ажиллах вэ
Эдгээр утгууд нь ижил хэмжээстэй бөгөөд аль нэгийнх нь элемент бүр нөгөөгийн харгалзах элементтэй тэнцүү байвал тэнцүү гэж үзнэ. Матрицыг ямар ч тогтмолоор үржүүлэх боломжтой. Үүнийг скаляр үржүүлэх гэж нэрлэдэг. Жишээ: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Ижил хэмжээтэй матрицуудыг оролтоор нэмж хасах боломжтой ба тохирох хэмжээтэй утгыг үржүүлж болно. Жишээ нь: А ба В хоёрыг нэмнэ: A=[21−10]B=[1423]. Энэ нь боломжтой, учир нь A ба B нь хоёулаа хоёр мөр, ижил тооны баганатай матрицууд юм. А дахь элемент бүрийг B дахь харгалзах элемент дээр нэмэх шаардлагатай: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Матрицуудыг алгебрт ижил аргаар хасдаг.
Матрицын үржүүлэх нь арай өөрөөр ажилладаг. Түүнээс гадна олон тохиолдол, сонголтууд, түүнчлэн шийдэл байж болно. Хэрэв бид Apq ба Bmn матрицыг үржүүлбэл Ap×q+Bm×n=[AB]p×n үржвэр болно. AB-ийн gth мөр ба h-р баганын бичилт нь g A ба h B-ийн харгалзах бичилтүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм. Хэрэв эхний багана, хоёр дахь мөрийн тоо байвал зөвхөн хоёр матрицыг үржүүлэх боломжтой. тэнцүү байна. Жишээ нь: авч үзсэн А ба В нөхцөлийг биелүүл: A=[1−130]B=[2−11214]. Эхний матриц нь 2 багана, хоёр дахь нь 2 мөр агуулсан тул энэ нь боломжтой юм. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Матрицын талаархи үндсэн мэдээлэл
Холбоотой утгууд нь хувьсагч, тогтмол гэх мэт мэдээллийг цэгцэлж, тэдгээрийг мөр, баганад хадгалдаг ба үүнийг ихэвчлэн C гэж нэрлэдэг. Матрицын байрлал бүрийг элемент гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: C=[1234]. Хоёр мөр, хоёр баганаас бүрдэнэ. Элемент 4 нь 2-р мөр ба 2-р баганад байна. Та ихэвчлэн матрицыг хэмжээсийнх нь дагуу нэрлэж болно, Cmk нэртэй нь m мөр, k баганатай байна.
Өргөтгөсөн матрицууд
Анхаарал нь хэрэглээний олон талбарт гарч ирдэг гайхалтай хэрэгтэй зүйлс юм. Матрицууд нь анх шугаман тэгшитгэлийн системд суурилсан байв. Дараах тэгш бус байдлын бүтцийг харгалзан дараах нэмэлт матрицыг харгалзан үзэх шаардлагатай:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Итгэлцүүрүүдийг бичиж, бүх хасах тэмдгийг оруулан утгыг хариулна уу. Хэрэв сөрөг тоотой элемент байвал "1"-тэй тэнцүү байх болно. Өөрөөр хэлбэл, (шугаман) тэгшитгэлийн системийг өгөгдсөн бол үүнтэй матрицыг (хаалтанд байгаа тоонуудын сүлжээ) холбож болно. Энэ нь зөвхөн шугаман системийн коэффициентүүдийг агуулсан нэг юм. Үүнийг "өргөтгөсөн матриц" гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл бүрийн зүүн талын коэффициентүүдийг агуулсан торыг тэгшитгэл бүрийн баруун талын хариултуудын хамт "дүршүүлсэн" байна.
Records, өөрөөр хэлбэлматрицын B утгууд нь анхны систем дэх x-, y-, z утгуудтай тохирч байна. Хэрэв энэ нь зөв зохион байгуулагдсан бол юуны өмнө үүнийг шалгана уу. Заримдаа та судалж байгаа эсвэл судалж буй матрицын орлуулагч болгон нэр томъёог өөрчлөх эсвэл тэг оруулах шаардлагатай болдог.
Дараах тэгшитгэлийн системийг өгвөл бид холбогдох нэмэгдүүлсэн матрицыг шууд бичиж болно:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Эхлээд системийг дараах байдлаар дахин зохион байгуулахаа мартуузай:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Тэгвэл холбогдох матрицыг дараах байдлаар бичиж болно: [11000113-1012]. Өргөтгөсөн нэгийг бүрдүүлэхдээ шугаман тэгшитгэлийн систем дэх харгалзах цэг хоосон байгаа бичлэгийн хувьд тэгийг ашиглах нь зүйтэй.
Матриц алгебр: Үйлдлийн шинж чанарууд
Хэрэв зөвхөн коэффициентийн утгуудаас элемент үүсгэх шаардлагатай бол авч үзсэн утга нь дараах байдалтай байна: [110011-101]. Үүнийг "коэффициент матриц" гэж нэрлэдэг.
Дараах өргөтгөсөн матриц алгебрийг харгалзан үзээд түүнийг сайжруулж холбогдох шугаман системийг нэмэх шаардлагатай. Үүнийг хэлэхэд тэд хувьсагчдыг сайтар зохион байгуулж, цэгцтэй байхыг шаарддаг гэдгийг санах нь чухал юм. Мөн ихэвчлэн гурван хувьсагчтай үед x, y, z-ийг дарааллаар нь ашиглана. Тиймээс холбогдох шугаман систем нь:
байх ёстой.
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Матрицын хэмжээ
Холбоотой зүйлсийг гүйцэтгэлээр нь ихэвчлэн нэрлэдэг. Алгебр дахь матрицын хэмжээг дараах байдлаар өгөвхэмжилт, учир нь өрөөг өөрөөр нэрлэж болно. Хэмжиж буй утгууд нь өргөн, урт биш мөр, багана юм. Жишээ нь, матриц A:
[1234]
[2345]
[3456].
А нь гурван мөр, дөрвөн баганатай тул A-н хэмжээ 3 × 4 байна.
→
↓
Шугамууд хажуу тийшээ явдаг. Баганууд дээш доошоо явдаг. "Мөр" ба "багана" нь техникийн үзүүлэлт бөгөөд сольж болохгүй. Матрицын хэмжээг үргэлж мөрийн тоо, дараа нь баганын тоогоор зааж өгдөг. Энэхүү конвенцийн дагуу дараах B:
[123]
[234] нь 2 × 3. Хэрэв матриц нь баганатай ижил тооны мөртэй бол түүнийг "дөрвөлжин" гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, дээрх коэффициентийн утгууд:
[110]
[011]
[-101] нь 3×3 квадрат матриц.
Матрицын тэмдэглэгээ ба формат
Форматлах тэмдэглэл: Жишээлбэл, та матриц бичих шаардлагатай үед хаалт ашиглах нь чухал. Үнэмлэхүй утгын мөр || нь энэ нөхцөлд өөр чиглэлтэй тул ашиглагдахгүй. Хаалт эсвэл буржгар хаалт {} хэзээ ч ашиглагддаггүй. Эсвэл бусад бүлэглэлийн тэмдэг, эсвэл огт байхгүй, учир нь эдгээр танилцуулга нь ямар ч утгагүй юм. Алгебрийн хувьд матриц үргэлж дөрвөлжин хаалтанд байдаг. Зөвхөн зөв тэмдэглэгээг ашиглах ёстой, эс тэгвээс хариултыг алдаатай гэж үзэж болно.
Өмнө дурьдсанчлан матрицад агуулагдах утгыг бичлэг гэж нэрлэдэг. Ямар ч шалтгааны улмаас тухайн элементүүдийг ихэвчлэн бичдэгA эсвэл B гэх мэт том үсгүүд ба оруулгуудыг харгалзах жижиг үсгээр зааж өгсөн боловч доод үсэгтэй. А матрицын утгуудыг ихэвчлэн "ai, j" гэж нэрлэдэг бөгөөд i нь A-ийн мөр, j нь А-ийн багана юм. Жишээ нь, a3, 2=8. a1, 3-ын оруулга нь 3 байна.
Арваас цөөн мөр, баганатай жижиг матрицуудын хувьд таслалыг заримдаа орхигдуулдаг. Жишээлбэл, "a1, 3=3" -ийг "a13=3" гэж бичиж болно. Энэ нь том матрицуудад ажиллахгүй нь ойлгомжтой, учир нь a213 нь бүрхэг байх болно.
Матрицын төрлүүд
Заримдаа бичлэгийн тохиргооныхоо дагуу ангилдаг. Жишээлбэл, диагональ дээр зүүн дээд-доод-баруун "диагональ"-ын доор бүх тэг оруулгатай ийм матрицыг дээд гурвалжин гэж нэрлэдэг. Бусад зүйлсийн дотор өөр төрөл, төрлүүд байж болох ч тэдгээр нь тийм ч ашигтай биш юм. Ерөнхийдөө, ихэвчлэн дээд гурвалжин гэж ойлгогддог. Зөвхөн хэвтээ чиглэлд тэгээс ялгаатай үзүүлэлттэй утгуудыг диагональ утгууд гэж нэрлэдэг. Ижил төрлийн төрлүүд нь бүгд 1 гэсэн тэгээс өөр оруулгатай байдаг тул ийм хариултыг ижил гэж нэрлэдэг (шалтгаануудын улмаас тухайн утгыг хэрхэн үржүүлэхийг сурч, ойлгох үед тодорхой болно). Үүнтэй төстэй судалгааны олон үзүүлэлт байдаг. 3 × 3 ижил төстэй байдлыг I3 гэж тэмдэглэнэ. Үүнтэй адилаар, 4 × 4 таних тэмдэг нь I4.
Матрицын алгебр ба шугаман орон зай
Гурвалжин матрицууд квадрат гэдгийг анхаарна уу. Гэхдээ диагональууд нь гурвалжин хэлбэртэй байдаг. Үүнийг харгалзан үзвэл тэд ийм байнадөрвөлжин. Мөн таних тэмдэг нь диагональ гэж тооцогддог тул гурвалжин, дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Матрицыг тайлбарлах шаардлагатай үед бусад бүх ангиллыг багтаасан тул ихэвчлэн өөрийнхөө хамгийн тодорхой ангиллыг зааж өгдөг. Дараах судалгааны хувилбаруудыг ангил:3 × 4. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь дөрвөлжин биш юм. Тиймээс үнэ цэнэ нь өөр зүйл байж болохгүй. Дараах ангилал нь:3 × 3 байж болно. Гэхдээ энэ нь дөрвөлжин гэж тооцогддог бөгөөд үүнд онцгой зүйл байхгүй. Дараах өгөгдлийн ангилал:дээд гурвалжин 3 × 3, гэхдээ энэ нь диагональ биш юм. Үнэн бол авч үзэж буй утгуудад байрлах болон заасан зайн дээр эсвэл түүнээс дээш нэмэлт тэг байж болно. Судалж буй ангилал нь цаашлаад: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], энд диагональ хэлбэрээр дүрслэгдсэн бөгөөд үүнээс гадна оруулгууд бүгд 1 байна. Дараа нь энэ нь 3 × 3 ижил төстэй байдал юм., I3.
Адил матрицууд нь квадрат хэлбэртэй байдаг тул тэдгээрийн хэмжээсийг олохын тулд та зөвхөн нэг индекс ашиглахад хангалттай. Хоёр матриц тэнцүү байхын тулд тэдгээр нь ижил параметртэй байх ёстой бөгөөд ижил газруудад ижил оруулгууд байх ёстой. Жишээ нь: А=[1 3 0] [-2 0 0] ба B=[1 3] [-2 0] гэсэн хоёр элемент байна гэж бодъё. Хэмжээ нь ялгаатай тул эдгээр утгууд нь ижил байж болохгүй.
А ба В нь: A=[3 6] [2 5] [1 4] ба B=[1 2 3] [4 5 6] байсан ч - тэдгээр нь ижил биш хэвээр байна. ижил зүйл. А ба В тус бүр нь байназургаан оруулгатай, мөн ижил тоотой боловч матрицын хувьд энэ нь хангалтгүй. A нь 3×2. Мөн B нь 2×3 матриц. 3×2-ийн хувьд A нь 2×3 биш. А ба В нь ижил хэмжээний өгөгдөл эсвэл бүр бичлэгтэй ижил тоотой байх нь хамаагүй. Хэрэв A ба B нь ижил хэмжээ, хэлбэр биш боловч ижил төстэй газруудад ижил утгатай байвал тэдгээр нь тэнцүү биш байна.
Хэлэлцэж буй бүс дэх ижил төстэй үйл ажиллагаа
Матрицын тэгш байдлын энэ шинж чанарыг бие даасан судалгааны даалгавар болгон хувиргаж болно. Жишээлбэл, хоёр матриц өгөгдсөн бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү байна гэж заасан. Энэ тохиолдолд та хувьсагчийн утгыг судалж, хариулт авахын тулд энэхүү тэгш байдлыг ашиглах шаардлагатай болно.
Алгебр дахь матрицын жишээ, шийдлүүд янз бүр байж болно, ялангуяа тэгш байдлын тухайд. Дараах матрицуудыг авч үзсэн тул x ба y утгыг олох шаардлагатай. А ба В тэнцүү байхын тулд тэдгээр нь ижил хэмжээтэй, хэлбэртэй байх ёстой. Үнэн хэрэгтээ тэдгээр нь ийм байдаг, учир нь тус бүр нь 2 × 2 матрицтай байдаг. Мөн тэдгээр нь ижил газруудад ижил утгатай байх ёстой. Дараа нь a1, 1 нь b1, 1, a1, 2 нь b1, 2, гэх мэт тэнцүү байх ёстой. Гэхдээ a1, 1=1 нь b1, 1=x-тэй тэнцүү биш нь ойлгомжтой. А нь В-тэй ижил байхын тулд оруулга нь a1, 1=b1, 1 байх ёстой, тиймээс энэ нь 1=x байх чадвартай. Үүний нэгэн адил индексүүд a2, 2=b2, 2, тэгэхээр 4=у байна. Дараа нь шийдэл нь: x=1, y=4. Дараах нь өгөгдсөнматрицууд тэнцүү бол та x, y, z-ийн утгыг олох хэрэгтэй. A=B байхын тулд коэффициентүүд нь бүх оруулгууд тэнцүү байх ёстой. Энэ нь a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 гэх мэт. Ялангуяа:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Сонгосон матрицуудаас харж байгаачлан: 1, 1-, 2, 2- болон 3, 1-элементүүдтэй. Эдгээр гурван тэгшитгэлийг шийдэж бид дараах хариултыг авна: x=4, y=-6 ба z=9. Матрицын алгебр болон матрицын үйлдлүүд нь хүн бүрийн дассан үйлдлээс ялгаатай боловч дахин давтагдах боломжгүй.
Энэ хэсгийн нэмэлт мэдээлэл
Шугаман матрицын алгебр нь ижил төрлийн тэгшитгэлийн багц ба тэдгээрийн хувирах шинж чанарыг судалдаг. Энэхүү мэдлэгийн талбар нь сансар огторгуй дахь эргэлтийг шинжлэх, хамгийн бага квадратуудыг тооцоолох, холбогдох дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх тойрог тодорхойлох, математик, физик, технологийн бусад олон асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Матрицын шугаман алгебр нь үнэндээ ашигласан үгийн техникийн утга биш, өөрөөр хэлбэл f талбар дээрх v вектор орон зай гэх мэт.
Матриц болон тодорхойлогч нь маш хэрэгтэй шугаман алгебрийн хэрэгсэл юм. Гол ажлуудын нэг нь x-ийн хувьд Ax=b матриц тэгшитгэлийн шийдэл юм. Хэдийгээр үүнийг онолын хувьд урвуу х=A-1 b ашиглан шийдэж болно. Гауссын арилгах гэх мэт бусад аргууд нь тоон хувьд илүү найдвартай байдаг.
Шугаман багц тэгшитгэлийн судалгааг тодорхойлоход ашиглахаас гадна заасанДээрх нэр томъёог тодорхой төрлийн алгебрийг тодорхойлоход ашигладаг. Ялангуяа F талбар дээрх L нь тархалтын хуулиудын хамт дотоод нэмэх ба үржүүлэхэд зориулагдсан бүх ердийн аксиомуудтай цагираг бүтэцтэй. Тиймээс энэ нь бөгжөөс илүү бүтцийг өгдөг. Шугаман матрицын алгебр нь үндсэн F талбарын элементүүд болох скаляраар үржүүлэх гаднах үйлдлийг мөн хүлээн зөвшөөрдөг. Жишээлбэл, V вектор орон зайгаас F талбар дээр өөр рүү чиглэсэн бүх хувиргалтуудын багц F талбайн дээр үүсдэг. Шугаман матрицын өөр нэг жишээ алгебр бол R бодит тоон дээрх бүх бодит квадрат матрицуудын багц юм.
