Сансар дахь онгоц. Сансарт нисэх онгоцны байршил

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Хавтгай нь цэг ба шугамын проекцийг бүтээх, мөн гурван хэмжээст дүрсийн элементүүдийн хоорондох зай, хоёр өнцөгт өнцгийг тооцоолоход шинж чанарыг нь ашигладаг геометрийн объект юм. Сансар дахь хавтгайн байршлыг судлахын тулд ямар тэгшитгэл ашиглаж болохыг энэ өгүүллээр авч үзье.

Онгоцны тодорхойлолт

Хүн бүр ямар объектыг хэлэлцэхийг зөн совингоор төсөөлдөг. Геометрийн үүднээс авч үзвэл хавтгай нь ямар нэгэн вектортой перпендикуляр байх ёстой цэгүүдийн цуглуулга юм. Жишээлбэл, хэрэв орон зайд m өөр цэг байгаа бол тэдгээрээс m(m-1) / 2 өөр вектор хийж, цэгүүдийг хосоор нь холбож болно. Хэрэв бүх векторууд нэг чиглэлд перпендикуляр байвал энэ нь бүх m цэгүүд нэг хавтгайд хамаарах хангалттай нөхцөл болно.

Ерөнхий тэгшитгэл

Орон зайн геометрийн хувьд хавтгайг ерөнхийдөө x, y, z тэнхлэгт харгалзах үл мэдэгдэх гурван координат агуулсан тэгшитгэлийг ашиглан дүрсэлдэг. рууорон зай дахь хавтгай координат дахь ерөнхий тэгшитгэлийг олж, n¯(A; B; C) вектор ба M(x₀; y_{0 байна гэж бодъё.}; z_{0). Эдгээр хоёр объектыг ашиглан онгоцыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлж болно.}

Үнэхээр координат нь тодорхойгүй хоёр дахь P(x; y; z) цэг байна гэж бодъё. Дээр өгөгдсөн тодорхойлолтын дагуу MP¯ вектор нь n¯-д перпендикуляр байх ёстой, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Дараа нь бид дараах илэрхийллийг бичиж болно:

(n¯MP¯)=0 эсвэл

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Хаалтуудыг нээж, шинэ D коэффициентийг оруулснаар бид илэрхийлэлийг авна:

Ax + By + Cz + D=0 энд D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Энэ илэрхийллийг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. x, y, z-ийн урд талын коэффициентүүд нь хавтгайд перпендикуляр n¯(A; B; C) векторын координатыг үүсгэдэг гэдгийг санах нь чухал. Энэ нь ердийнхтэй давхцаж, онгоцны хөтөч юм. Ерөнхий тэгшитгэлийг тодорхойлохын тулд энэ вектор хаашаа чиглэсэн байх нь хамаагүй. Өөрөөр хэлбэл, n¯ болон -n¯ векторууд дээр баригдсан онгоцууд ижил байх болно.

Дээрх зурагт хавтгай, түүнд нормаль вектор ба хавтгайд перпендикуляр шулууныг харуулж байна.

Тэнхлэг дээрх хавтгайгаар таслагдсан сегментүүд ба харгалзах тэгшитгэл

Ерөнхий тэгшитгэл нь математикийн энгийн үйлдлүүдийг ашиглан тодорхойлох боломжийг олгодогОнгоц координатын тэнхлэгүүдийг ямар цэгээр огтлох вэ. Онгоцны орон зай дахь байрлал, зураг дээр дүрслэхдээ ямар нэгэн ойлголттой болохын тулд энэ мэдээллийг мэдэх нь чухал юм.

Нэрлэсэн огтлолцлын цэгүүдийг тодорхойлохын тулд сегмент дэх тэгшитгэлийг ашиглана. Энэ нь (0; 0; 0) цэгээс тоолох үед координатын тэнхлэгүүд дээр хавтгайгаар таслагдсан сегментүүдийн уртын утгыг тодорхой агуулдаг тул үүнийг ингэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэлийг олцгооё.

Онгоцны ерөнхий илэрхийллийг дараах байдлаар бичнэ үү:

Ax + By + Cz=-D

Зүүн ба баруун хэсгийг тэгш байдлыг зөрчихгүйгээр -D-ээр хувааж болно. Бидэнд:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 эсвэл

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Нэр томьёо бүрийн хуваагчийг шинэ тэмдгээр хийснээр бид дараахийг авна:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C дараа нь

x/p + y/q + z/r=1

Энэ бол дээр дурдсан сегментүүдийн тэгшитгэл юм. Үүнээс үзэхэд нэр томъёо бүрийн хуваагчийн утга нь онгоцны харгалзах тэнхлэгтэй огтлолцох координатыг илтгэнэ. Жишээлбэл, (0; q; 0) цэг дээр y тэнхлэгийг огтолж байна. Тэгшитгэлд тэг x ба z координатыг орлуулбал үүнийг ойлгоход хялбар болно.

Хэрэв хэрчмүүдэд тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй бол энэ нь онгоц харгалзах тэнхлэгтэй огтлолцохгүй гэсэн үг гэдгийг анхаарна уу. Жишээ нь: илэрхийлэл өгсөн.

x/p + y/q=1

Энэ нь онгоц x ба y тэнхлэг дээрх p ба q хэрчмүүдийг тус тус таслах боловч z тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг.

Онгоцны үйл ажиллагааны талаархи дүгнэлт хэзээТүүний тэгшитгэлд зарим нэг хувьсагч байхгүй байгаа нь доорх зурагт үзүүлсэн шиг ерөнхий хэлбэрийн илэрхийлэлд мөн үнэн байна.

Вектор параметрийн тэгшитгэл

Орон зай дахь хавтгайг дүрслэх боломжийг олгодог гуравдахь төрлийн тэгшитгэл байдаг. Хавтгайд байрлах хоёр вектор болон дурын бие даасан утгыг авч болох хоёр параметрээр өгөгдсөн тул үүнийг параметрт вектор гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэлийг хэрхэн олж болохыг харцгаая.

Мэдэгдэж байгаа хэд хэдэн вектор байна гэж бодъё u ¯(a₁; b₁; c₁) болон v¯(a₂; b₂; c₂). Хэрэв тэдгээр нь параллель биш бол эдгээр векторуудын аль нэгний эхлэлийг M (x₀; y_{0) цэг дээр тогтоосноор тодорхой хавтгайг тохируулахад ашиглаж болно.}; z_{0). Хэрэв дурын MP¯ векторыг u¯ ба v¯ шугаман векторуудын хослолоор дүрсэлж чадвал P(x; y; z) цэг нь u¯, v¯-тэй ижил хавтгайд хамаарна гэсэн үг юм. Тиймээс бид тэгш байдлыг бичиж болно:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Эсвэл энэ тэгш байдлыг координатаар бичвэл бид дараахыг авна:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Өгөгдсөн тэгш байдал нь хавтгайд зориулсан параметрт вектор тэгшитгэл юм. ATu¯ ба v¯ хавтгай дээрх вектор орон зайг генератор гэж нэрлэдэг.

Дараа нь асуудлыг шийдэхдээ энэ тэгшитгэлийг хавтгайд хэрхэн ерөнхий хэлбэрт оруулж болохыг харуулах болно.

Сансар дахь онгоц хоорондын өнцөг

Зөн совингоор 3D орон зайд байгаа онгоцууд огтлолцох эсвэл огтлолцохгүй байх боломжтой. Эхний тохиолдолд тэдгээрийн хоорондох өнцгийг олох нь сонирхолтой юм. Бид хоёр талт геометрийн объектын тухай ярьж байгаа тул энэ өнцгийг тооцоолох нь шугамын хоорондох өнцгөөс илүү хэцүү байдаг. Гэхдээ аль хэдийн дурдсан онгоцны чиглүүлэгч вектор аврах ажилд ирдэг.

Хоёр огтлолцох хавтгайн хоорондох хоёр өнцөгт өнцөг нь тэдгээрийн чиглүүлэгч векторуудын хоорондох өнцөгтэй яг тэнцүү байх нь геометрийн хувьд тогтоогдсон. Эдгээр векторуудыг n₁¯(a₁; b₁; c_{1 гэж тэмдэглэе.) болон n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Тэдний хоорондох өнцгийн косинусыг скаляр үржвэрээс тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай хоорондын зай дахь өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолж болно:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Энд хуваагч дахь модуль нь мохоо өнцгийн утгыг хасахад ашиглагддаг (огтлолцох хавтгайн хооронд энэ нь үргэлж 90o-ээс бага эсвэл тэнцүү байна).

Координатын хэлбэрээр энэ илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Перпендикуляр ба параллель хавтгайнууд

Хэрэв хавтгайнууд огтлолцож, тэдгээрийн үүсгэсэн хоёр өнцөгт өнцөг нь 90o байвал тэдгээр нь перпендикуляр болно. Ийм хавтгайн жишээ бол тэгш өнцөгт призм эсвэл шоо юм. Эдгээр тоонууд нь зургаан хавтгайгаар үүсгэгддэг. Нэрлэсэн дүрсүүдийн орой бүр дээр бие биедээ перпендикуляр гурван хавтгай байна.

Харгалзах хавтгайнууд перпендикуляр эсэхийг мэдэхийн тулд тэдгээрийн хэвийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолоход хангалттай. Хавтгайн орон зайд перпендикуляр байх хангалттай нөхцөл бол энэ бүтээгдэхүүний тэг утга юм.

Зэрэгцээг огтлолцдоггүй хавтгай гэж нэрлэдэг. Заримдаа параллель онгоцууд хязгааргүй огтлолцдог гэж хэлдэг. Хавтгайн орон зай дахь параллелизмын нөхцөл нь n₁¯ ба n_{2¯ чиглэлийн векторуудын тухайн нөхцөлтэй давхцаж байна. Та үүнийг хоёр аргаар шалгаж болно:}

Скаляр үржвэрийг ашиглан хоёр талт өнцгийн косинусыг (cos(φ)) тооцоол. Хэрэв хавтгайнууд зэрэгцээ байвал утга нь 1 болно.

Зарим тоогоор үржүүлж нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлэхийг оролдоорой, жишээлбэл n₁¯=kn_{2¯. Хэрэв үүнийг хийх боломжтой бол холбогдох онгоцууд байназэрэгцээ.}

Зурагт хоёр зэрэгцээ хавтгайг харуулж байна.

Одоо олж авсан математикийн мэдлэгээ ашиглан хоёр сонирхолтой бодлого бодох жишээг өгье.

Вектор тэгшитгэлээс ерөнхий хэлбэрийг хэрхэн авах вэ?

Энэ бол хавтгайд зориулсан параметрийн вектор илэрхийлэл юм. Үйлдлүүдийн урсгал болон ашигласан математик заль мэхийг ойлгоход хялбар болгохын тулд тодорхой жишээг авч үзье:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Энэ илэрхийллийг дэлгээд үл мэдэгдэх параметрүүдийг илэрхийлнэ үү:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Дараа нь:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Сүүлийн илэрхийлэл дэх хаалтыг нээвэл бид дараахийг авна:

z=2x-2 + 3y - 6 эсвэл

2x + 3y - z - 8=0

Бид асуудлын тайлбарт заасан хавтгайн тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг вектор хэлбэрээр авсан

Гурван цэгээр яаж онгоц бүтээх вэ?

Хэрэв эдгээр цэгүүд нь ямар нэг нэг шулуун шугаманд хамаарахгүй бол гурван цэгээр нэг хавтгай зурах боломжтой. Энэ асуудлыг шийдэх алгоритм нь дараах үйлдлийн дарааллаас бүрдэнэ: