Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд шулууны тэгшитгэлийг тогтоох арга

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Шулуун шугам нь хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайн геометрийн гол объект юм. Шулуун шугамаас олон тооны дүрсийг бүтээдэг, жишээлбэл: параллелограмм, гурвалжин, призм, пирамид гэх мэт. Өгүүлэлд шугамын тэгшитгэлийг тохируулах янз бүрийн аргуудыг авч үзье.

Шулуун шугамын тодорхойлолт ба түүнийг дүрслэх тэгшитгэлийн төрлүүд

Оюутан бүр ямар геометрийн объектын тухай ярьж байгаагаа сайн мэддэг. Шулуун шугамыг цэгүүдийн цуглуулга хэлбэрээр дүрсэлж болох бөгөөд хэрэв бид тус бүрийг бусадтай нь ээлжлэн холбовол бид зэрэгцээ векторуудын багцыг авна. Өөрөөр хэлбэл, шугамын цэг бүрийг өөрийн тогтсон нэг цэгээс бодит тоогоор үржүүлсэн зарим нэгж вектор руу шилжүүлж авах боломжтой. Шулуун шугамын энэхүү тодорхойлолтыг хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд математикийн дүрслэлд зориулж вектор тэгш байдлыг тодорхойлоход ашигладаг.

Шулуун шугамыг математикийн хувьд дараах төрлийн тэгшитгэлээр илэрхийлж болно:

ерөнхий;
вектор;
параметр;
сегментээр;
тэгш хэмтэй (каноник).

Дараа нь бид нэрлэсэн бүх төрлүүдийг авч үзэж, асуудлыг шийдвэрлэх жишээн дээр тэдэнтэй хэрхэн ажиллахыг харуулах болно.

Шулуун шугамын вектор ба параметрийн тайлбар

Мэдэгдэж буй вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг тодорхойлж эхэлцгээе. Орон зайд M(x₀; y₀; z_{0) тогтмол цэг байна гэж бодъё. Шулуун шугам нь түүгээр дамжин өнгөрч, v¯(a; b; c) вектор сегментийн дагуу чиглэгддэг нь мэдэгдэж байна. Эдгээр өгөгдлөөс шугамын дурын цэгийг хэрхэн олох вэ? Энэ асуултын хариулт нь дараах тэгш байдлыг өгнө:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Энд λ нь дурын тоо.

Вектор ба цэгүүдийн координатыг хоёр тооны олонлогоор илэрхийлдэг хоёр хэмжээст тохиолдлын хувьд ижил төстэй илэрхийллийг бичиж болно:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Бичсэн тэгшитгэлийг вектор тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба чиглэсэн v¯ сегмент нь өөрөө шулуун шугамын чиглэлийн вектор юм.

Бичсэн илэрхийллүүдээс харгалзах параметрийн тэгшитгэлийг энгийнээр гаргаж авдаг тул тэдгээрийг тодорхой дахин бичихэд хангалттай. Жишээлбэл, орон зай дахь тохиолдлын хувьд бид дараах тэгшитгэлийг авна:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Хэрэв та зан төлөвт дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай бол параметрийн тэгшитгэлтэй ажиллахад тохиромжтойкоординат бүр. Хэдийгээр λ параметр нь дурын утгыг авч болох ч бүх гурван тэгшитгэлд ижил байх ёстой гэдгийг анхаарна уу.

Ерөнхий тэгшитгэл

Тухайн геометрийн объекттой ажиллахад ихэвчлэн хэрэглэгддэг шулуун шугамыг тодорхойлох өөр нэг арга бол ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглах явдал юм. Хоёр хэмжээст тохиолдлын хувьд:

Ax + By + C=0

Энд латин том үсэг нь тодорхой тоон утгыг илэрхийлнэ. Асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ тэгш байдлын тав тухтай байдал нь шулуун шугамд перпендикуляр векторыг тодорхой агуулж байгаад оршдог. Хэрэв бид үүнийг n¯-ээр тэмдэглэвэл:гэж бичиж болно.

n¯=[A; B]

Үүнээс гадна, шулуун шугамаас P(x₁; y_{1 цэг хүртэлх шулуун шугамаас зайг тодорхойлоход уг илэрхийллийг ашиглахад тохиромжтой.). d зайны томъёо нь:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Хэрэв бид ерөнхий тэгшитгэлээс y хувьсагчийг тодорхой илэрхийлбэл шулуун шугам бичих дараах алдартай хэлбэрийг олж авахыг харуулахад хялбар байдаг:

y=kx + b

Энд k ба b нь A, B, C тоогоор өвөрмөц тодорхойлогддог.

Сегмент дэх тэгшитгэл ба каноник

Шулуун шугамын координатын тэнхлэгүүдийн огтлолцол

Сегмент дэх тэгшитгэлийг ерөнхий дүр төрхөөс харахад хамгийн хялбар байдаг. Бид танд үүнийг хэрхэн хийхийг харуулах болно.

Бидэнд дараах мөр байна гэж бодъё:

Ax + By + C=0

Чөлөөт нэр томьёог тэгш байдлын баруун тал руу шилжүүлж, тэгшитгэлийг бүхэлд нь хуваавал:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, энд q=-C / A, p=-C / B

Бид сегмент дэх тэгшитгэлийг олж авлаа. Хувьсагч бүрийг хуваах хуваагч нь харгалзах тэнхлэгтэй шугамын огтлолцлын координатын утгыг харуулдаг тул энэ нэрийг авсан. Энэ баримтыг координатын систем дэх шулуун шугамыг дүрслэх, түүнчлэн бусад геометрийн объектуудтай (шулуун шугам, цэг) харьцангуй байрлалыг шинжлэхэд ашиглах нь тохиромжтой.

Одоо каноник тэгшитгэл рүү шилжье. Хэрэв бид параметрийн сонголтыг авч үзвэл үүнийг хийхэд илүү хялбар болно. Онгоцны хэргийн тухайд:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Бид тэгш байдал бүрт λ параметрийг илэрхийлээд дараа нь тэнцүүлээд:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Энэ бол тэгш хэмтэй хэлбэрээр бичигдсэн хүссэн тэгшитгэл юм. Яг л векторын илэрхийлэл шиг энэ нь чиглэлийн векторын координат болон шулуунд хамаарах аль нэг цэгийн координатыг тодорхой агуулна.

Энэ догол мөрөнд бид хоёр хэмжээст тохиолдлын тэгшитгэл өгсөн болохыг харж болно. Үүний нэгэн адил та орон зайд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичиж болно. Хэрэв каноник хэлбэр байвал энд тэмдэглэх нь зүйтэйсегмент дэх бичлэг болон илэрхийлэл нь ижил хэлбэртэй байх ба дараа нь шулуун шугамын огторгуй дахь ерөнхий тэгшитгэлийг огтлолцох хавтгайд зориулсан хоёр тэгшитгэлийн системээр илэрхийлнэ.

Шулуун шугамын тэгшитгэл байгуулах бодлого

Геометрийн хичээлээс сурагч бүр хоёр цэгээр дамжуулан нэг шулуун зурж болно гэдгийг мэддэг. Дараах цэгүүдийг координатын хавтгайд өгсөн гэж үзье:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Хоёр цэг нь хамаарах шулууны тэгшитгэлийг сегментээр, вектор, каноник болон ерөнхий хэлбэрээр олох шаардлагатай.

Эхлээд вектор тэгшитгэлээ авъя. Үүнийг хийхийн тулд M₁M_{2¯: шууд чиглэлийн векторыг тодорхойлно.}

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Одоо та асуудлын тайлбарт заасан хоёр цэгийн аль нэгийг авч вектор тэгшитгэл үүсгэж болно, жишээлбэл, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Каноник тэгшитгэлийг авахын тулд олсон тэгшитгэлийг параметрт хэлбэрт шилжүүлж, λ параметрийг хасахад хангалттай. Бидэнд:

x=-1 - 2λ, тиймээс λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, тэгвэл бид λ=y - 3 болно;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Үлдсэн хоёр тэгшитгэлийг (ерөнхий ба сегмент дэх) дараах байдлаар хувиргаснаар каноник тэгшитгэлээс олж болно:

x + 1=-2y + 6;

ерөнхий тэгшитгэл: x + 2y - 5=0;

сегмент дэх тэгшитгэл: x / 5 + y / 2, 5=1

Үүссэн тэгшитгэлүүд нь вектор (1; 2) шулуунтай перпендикуляр байх ёстойг харуулж байна. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та түүний чиглэлийн вектор бүхий скаляр үржвэрийг олвол энэ нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Шугамын сегментийн тэгшитгэл нь шугам нь x тэнхлэгийг (5; 0), у тэнхлэгийг (2, 5; 0) огтлолцдог гэж хэлдэг.

Шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох асуудал

Хоёр шулуун шугамыг хавтгай дээр дараах тэгшитгэлээр өгөв:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Эдгээр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Асуудлыг шийдэх хоёр арга бий:

Вектор тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт шилжүүлж, дараа нь хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.
Ямар ч хувиргалт хийж болохгүй, зүгээр л эхний тэгшитгэлд λ параметрээр илэрхийлсэн огтлолцлын цэгийн координатыг орлуулна. Дараа нь параметрийн утгыг олоорой.

Хоёр дахь аргыг нь хийцгээе. Бидэнд: