Энэ өгүүлэлд уг аргыг шугаман тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх арга гэж үзсэн. Энэ арга нь аналитик, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийн алгоритмыг бичиж, дараа нь тодорхой жишээнүүдийн утгыг орлуулах боломжийг олгодог. Матрицын арга эсвэл Крамерын томъёоноос ялгаатай нь Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ хязгааргүй олон шийдтэй ажиллах боломжтой. Эсвэл огт байхгүй.
Гауссын аргаар шийдэх нь юу гэсэн үг вэ?
Эхлээд бид тэгшитгэлийн системээ матриц хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна. Системийг авсан:
Итгэлцүүрийг хүснэгт хэлбэрээр бичсэн бөгөөд баруун талд тусдаа баганад - чөлөөт гишүүд. Чөлөөт гишүүдтэй баганыг тав тухтай байлгах үүднээс босоо баараар тусгаарласан. Энэ баганыг агуулсан матрицыг өргөтгөсөн гэж нэрлэдэг.
Дараа нь коэффициент бүхий үндсэн матрицыг дээд гурвалжин хэлбэрт оруулах ёстой. Энэ бол системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх гол цэг юм. Энгийнээр хэлэхэд, тодорхой зохицуулалт хийсний дараа матриц нь иймэрхүү харагдах ёстой бөгөөд зүүн доод хэсэгт зөвхөн тэг байх ёстой:
Тэгвэл та шинэ матрицыг дахин тэгшитгэлийн систем болгон бичвэл сүүлийн мөрөнд аль нэг язгуурын утгыг агуулж, дээрх тэгшитгэлд орлуулснаар өөр язгуур олдгийг анзаарах болно., гэх мэт.
Энэ бол Гауссын шийдлийн хамгийн ерөнхий нэр томъёоны тайлбар юм. Гэнэт системд шийдэл байхгүй бол яах вэ? Эсвэл тэд хязгааргүй олон байдаг уу? Эдгээр болон бусад олон асуултад хариулахын тулд Гауссын аргаар шийдэлд ашигласан бүх элементүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.
Матрицууд, тэдгээрийн шинж чанарууд
Матрицад далд утга байхгүй. Энэ нь дараагийн үйлдлүүдэд зориулж өгөгдлийг бүртгэх тохиромжтой арга юм. Сургуулийн хүүхдүүд ч гэсэн тэднээс айх хэрэггүй.
Матриц нь илүү тохиромжтой тул үргэлж тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Гурвалжин матрицыг бүтээхэд бүх зүйл унтдаг Гауссын аргын хувьд ч гэсэн оруулгад тэгш өнцөгт харагдах ба зөвхөн тоо байхгүй газарт тэг л байдаг. Тэгийг орхиж болно, гэхдээ тэдгээр нь далд утгатай.
Матриц хэмжээтэй байна. Түүний "өргөн" нь мөрийн тоо (м), "урт" нь баганын тоо (n) юм. Дараа нь А матрицын хэмжээг (том латин үсгийг ихэвчлэн тэмдэглэгээнд ашигладаг) Am×n гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв m=n бол энэ матриц нь квадрат, баm=n - түүний дараалал. Үүний дагуу А матрицын аль ч элементийг түүний мөр, баганын дугаараар тэмдэглэж болно: axy; x - мөрийн дугаар, өөрчлөлт [1, м], y - баганын дугаар, өөрчлөлт [1, n].
Гауссын аргын хувьд матрицууд нь шийдлийн гол цэг биш юм. Зарчмын хувьд бүх үйлдлийг тэгшитгэлийн тусламжтайгаар шууд хийж болох боловч тэмдэглэгээ нь илүү төвөгтэй байх бөгөөд үүн дээр төөрөлдөх нь илүү хялбар байх болно.
Шалгагч
Матриц мөн тодорхойлогчтой. Энэ бол маш чухал шинж чанар юм. Үүний утгыг одоо олж мэдэх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш бөгөөд та үүнийг хэрхэн тооцоолж байгааг харуулж, дараа нь матрицын ямар шинж чанарыг тодорхойлж байгааг хэлж болно. Тодорхойлогчийг олох хамгийн хялбар арга бол диагональууд юм. Матрицад төсөөллийн диагональ зурсан; тус бүр дээр байрлах элементүүдийг үржүүлж, дараа нь үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ: баруун тийш налуутай диагональ - "нэмэх" тэмдэгтэй, зүүн тийш налуу - "хасах" тэмдгээр.
Тодорхойлогчийг зөвхөн квадрат матрицад л тооцож болно гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм. Тэгш өнцөгт матрицын хувьд та дараах зүйлийг хийж болно: мөр болон баганын тооноос хамгийн багаг нь сонгоод (энэ нь k байх ёстой), дараа нь матриц дахь k багана, k мөрийг санамсаргүй байдлаар тэмдэглэнэ. Сонгосон багана, мөрүүдийн огтлолцол дээр байрлах элементүүд нь шинэ квадрат матриц үүсгэнэ. Хэрэв ийм матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр тоо байвал түүнийг анхны тэгш өнцөгт матрицын үндсэн минор гэж нэрлэнэ.
ӨмнөГауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэж эхлэх вэ, тодорхойлогчийг тооцоолох нь гэмтээхгүй. Хэрэв энэ нь тэг болж хувирвал матриц нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй эсвэл огт байхгүй гэж шууд хэлж болно. Ийм гунигтай тохиолдолд та цаашаа явж, матрицын зэрэглэлийг олж мэдэх хэрэгтэй.
Системийн ангилал
Матрицын зэрэглэл гэж байдаг. Энэ нь түүний тэг биш тодорхойлогчийн хамгийн дээд дараалал юм (үндсэн минорыг санаж, матрицын зэрэглэл нь үндсэн минорын дараалал гэж хэлж болно).
Зэрэглэлээс хамааран УДАМ-ыг дараах байдлаар хувааж болно:
- Хамтарсан. Хамтарсан системийн хувьд үндсэн матрицын зэрэглэл (зөвхөн коэффициентүүдээс бүрддэг) нь өргөтгөсөн (чөлөөт нэр томъёоны баганатай) зэрэгтэй давхцдаг. Ийм системүүд нь шийдэлтэй байдаг, гэхдээ нэг байх албагүй тул хамтарсан системийг дараахь байдлаар хуваана:
- - тодорхой - өвөрмөц шийдэлтэй. Зарим системд матрицын зэрэглэл болон үл мэдэгдэх тоо тэнцүү байна (эсвэл баганын тоо нь ижил зүйл);
- - тодорхойгүй - хязгааргүй тооны шийдэлтэй. Ийм систем дэх матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байна.
- Тохиромжгүй. Ийм системүүдийн хувьд үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэлүүд таарахгүй байна. Тохиромжгүй системд шийдэл байхгүй.
Гауссын арга нь системийн нийцэхгүй байдлын хоёрдмол утгагүй нотолгоог (том матрицын тодорхойлогчийг тооцохгүйгээр) эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй системийн ерөнхий шийдлийг олж авах боломжийг олгодог учраас сайн.
Анхан шатны өөрчлөлтүүд
ӨмнөСистемийн шийдэлд хэрхэн шууд шилжих талаар та үүнийг илүү төвөгтэй болгож, тооцоолол хийхэд илүү хялбар болгож чадна. Үүнийг анхан шатны өөрчлөлтөөр дамжуулан хийдэг - ингэснээр тэдгээрийн хэрэгжилт нь эцсийн хариултыг ямар ч байдлаар өөрчлөхгүй. Дээрх энгийн хувиргалтуудын зарим нь зөвхөн SLAE-ийн эх үүсвэр байсан матрицуудад хүчинтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Эдгээр өөрчлөлтүүдийн жагсаалт энд байна:
- Мөрүүдийг өөрчлөх. Хэрэв бид системийн бүртгэл дэх тэгшитгэлийн дарааллыг өөрчлөх юм бол энэ нь шийдэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй нь ойлгомжтой. Тиймээс энэ системийн матриц дахь мөрүүдийг солих боломжтой бөгөөд мэдээжийн хэрэг чөлөөт гишүүдийн баганын тухай мартаж болохгүй.
- Мөрийн бүх элементүүдийг зарим хүчин зүйлээр үржүүлэх. Маш хэрэгтэй! Үүний тусламжтайгаар та матриц дахь том тоог багасгах эсвэл тэгийг арилгах боломжтой. Шийдлийн багц нь ердийнх шиг өөрчлөгдөхгүй бөгөөд цаашдын үйл ажиллагааг гүйцэтгэхэд илүү тохиромжтой байх болно. Хамгийн гол нь коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй.
- Пропорциональ коэффициент бүхий мөрүүдийг устгах. Энэ нь өмнөх догол мөрөөс зарим талаараа хамаарна. Хэрэв матриц дахь хоёр ба түүнээс дээш мөр нь пропорциональ коэффициенттэй бол нэг мөрийг пропорциональ коэффициентоор үржүүлэх / хуваах үед хоёр (эсвэл дахин, түүнээс дээш) туйлын ижил мөр гарч ирэх бөгөөд та зөвхөн үлдсэн хэсгийг нь хасаж болно. нэг.
- Тоос мөрийг устгана уу. Хэрэв хувиргалтын явцад бүх элементүүд, түүний дотор чөлөөт гишүүн нь тэг байх тэмдэгт мөрийг олж авсан бол ийм мөрийг тэг гэж нэрлээд матрицаас хасаж болно.
- Нэг эгнээний элементүүдэд нөгөө эгнээний элементүүдийг нэмэх (доорхаргалзах багана) зарим коэффициентоор үржүүлсэн. Хамгийн ойлгомжгүй бөгөөд хамгийн чухал өөрчлөлт. Энэ талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих нь зүйтэй юм.
Үйлчлэгчээр үржүүлсэн мөр нэмэх
Ойлгоход хялбар болгохын тулд энэ үйл явцыг алхам алхмаар задлах нь зүйтэй. Матрицаас хоёр мөрийг авсан:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Та эхнийхийг "-2" коэффициентээр үржүүлсэнийг хоёр дахь дээр нэмэх шаардлагатай гэж бодъё.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Дараа нь матрицын хоёр дахь мөрийг шинээр сольж, эхнийх нь өөрчлөгдөөгүй.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Үржүүлэх хүчин зүйлийг хоёр мөр нэмсний үр дүнд шинэ мөрийн аль нэг элемент нь тэгтэй тэнцүү байхаар сонгож болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс системд үл мэдэгдэх нэг нь бага байх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Хэрэв та ийм хоёр тэгшитгэл авбал үйлдлийг дахин хийж, хоёр бага үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг авах боломжтой. Хэрэв бид анхныхаасаа доогуур байгаа бүх эгнээний хувьд нэг коэффициентийг тэг рүү эргүүлэх бүртээ алхамууд шиг матрицын хамгийн доод хэсэгт очиж, нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Үүнийг гэж нэрлэдэгсистемийг Гауссын аргыг ашиглан шийд.
Ерөнхийдөө
Системтэй байцгаая. Энэ нь m тэгшитгэл, n үл мэдэгдэх үндэстэй. Та ингэж бичиж болно:
Үндсэн матрицыг системийн коэффициентуудаас бүрдүүлсэн. Өргөтгөсөн матрицад чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмж, хялбар болгох үүднээс баараар тусгаарласан.
Дараа нь:
- матрицын эхний мөрийг k=коэффициентээр үржүүлнэ (-a21/a11);
- матрицын эхний өөрчилсөн мөр болон хоёр дахь мөрийг нэмсэн;
- хоёр дахь эгнээний оронд өмнөх догол мөрийн нэмэгдлийн үр дүнг матрицад оруулна;
- одоо шинэ хоёр дахь мөрийн эхний коэффициент нь a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Одоо ижил цуврал хувиргалтыг хийж байгаа бөгөөд зөвхөн эхний болон гурав дахь мөрийг оролцуулж байна. Үүний дагуу алгоритмын алхам бүрт a21 элементийг a31-аар солино. Дараа нь бүх зүйл 41, … am1 давтагдана. Үр дүн нь [2, m] мөрүүдийн эхний элемент нь тэгтэй тэнцүү байх матриц юм. Одоо та нэгдүгээр мөрийг мартаж, хоёр дахь мөрөөс эхлэн ижил алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй:
- k коэффициент=(-a32/a22);
- хоёр дахь өөрчилсөн мөрийг "одоогийн" мөрөнд нэмсэн;
- нэмэлтийн үр дүнг гурав, дөрөв гэх мэт мөрөнд орлуулж, эхний болон хоёр дахь нь өөрчлөгдөхгүй;
- матрицын [3, m] мөрөнд эхний хоёр элемент аль хэдийн тэгтэй тэнцүү байна.
Алгоритмыг k=коэффициент (-am, m-1/amm гарч ирэх хүртэл давтах ёстой). Энэ нь алгоритмыг хамгийн сүүлд зөвхөн доод тэгшитгэлд зориулж ажиллуулсан гэсэн үг. Одоо матриц нь гурвалжин шиг эсвэл шаталсан хэлбэртэй байна. Хамгийн гол нь amn × x =bm тэгшитгэлийг агуулна. Коэффициент ба чөлөөт нэр томъёо нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд язгуур нь эдгээрээр илэрхийлэгдэнэ: x =bm/amn. Үүссэн үндэсийг дээд эгнээнд орлуулж xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Гэх мэт зүйрлэлээр: дараагийн мөр бүрт шинэ үндэс байгаа бөгөөд системийн "дээд" хэсэгт хүрсэний дараа та олон шийдлийг олох боломжтой [x1, … x ]. Энэ нь цорын ганц байх болно.
Шийдэл байхгүй үед
Хэрэв матрицын нэг эгнээнд чөлөөт гишүүнээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал энэ мөрөнд харгалзах тэгшитгэл 0=b шиг харагдана. Үүнд ямар ч шийдэл байхгүй. Ийм тэгшитгэл нь системд орсон тул бүхэл системийн шийдлийн багц хоосон, өөрөөр хэлбэл доройтсон байна.
Хязгааргүй олон шийдэл байгаа үед
Багассан гурвалжин матрицад нэг элементтэй - тэгшитгэлийн коэффициент, нэг - чөлөөт гишүүнтэй мөр байхгүй болж магадгүй юм. Дахин бичихэд хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэл шиг харагдах мөрүүд л байдаг. Энэ нь системд хязгааргүй олон тооны шийдэл байдаг гэсэн үг. Энэ тохиолдолд хариултыг ерөнхий шийдэл хэлбэрээр өгч болно. Үүнийг яаж хийх вэ?
Бүгдматриц дахь хувьсагчдыг үндсэн ба чөлөөт гэж хуваадаг. Үндсэн - эдгээр нь шаталсан матриц дахь эгнээний "ирмэг дээр" байрладаг хүмүүс юм. Үлдсэн нь үнэгүй. Ерөнхий шийдэлд үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар бичнэ.
Тохиромжтой болгох үүднээс эхлээд матрицыг тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичдэг. Дараа нь зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч үлдсэн сүүлчийнх нь нэг талдаа үлдэж, бусад бүх зүйл нөгөө рүү шилждэг. Энэ нь нэг үндсэн хувьсагчтай тэгшитгэл бүрийн хувьд хийгддэг. Дараа нь бусад тэгшитгэлд боломжтой бол үндсэн хувьсагчийн оронд түүний хувьд олж авсан илэрхийлэлийг орлуулна. Үр дүн нь дахин зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч агуулсан илэрхийлэл байвал үндсэн хувьсагч бүрийг чөлөөт хувьсагчтай илэрхийлэл болгон бичих хүртэл тэндээс дахин илэрхийлнэ. Энэ бол SLAE-ийн ерөнхий шийдэл юм.
Та мөн системийн үндсэн шийдлийг олох боломжтой - чөлөөт хувьсагчдад дурын утгыг өгч, дараа нь энэ тохиолдолд үндсэн хувьсагчийн утгыг тооцоол. Хязгааргүй олон тодорхой шийдэл байдаг.
Тодорхой жишээнүүдийн шийдэл
Энд тэгшитгэлийн систем байна.
Тохиромжтой болгохын тулд матрицыг нь шууд хийсэн нь дээр
Гауссын аргаар шийдвэрлэх үед эхний эгнээнд тохирох тэгшитгэл нь хувиргалтын төгсгөлд өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэх нь мэдэгдэж байна. Тиймээс, матрицын зүүн дээд элемент нь хамгийн бага буюу эхний элементүүд байвал илүү ашигтай байх болно.үйлдлүүдийн дараа үлдсэн мөрүүд тэг болж хувирна. Энэ нь эмхэтгэсэн матрицад эхний эгнээний оронд хоёр дахь мөрийг тавих нь ашигтай байх болно гэсэн үг юм.
Дараа нь та хоёр, гурав дахь мөрийг өөрчлөх шаардлагатай бөгөөд ингэснээр эхний элементүүд тэг болно. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг эхнийх нь коэффициентээр үржүүлж нэмнэ:
хоёр дахь мөр: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
гурав дахь мөр: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Одоо эндүүрэхгүйн тулд хувиргалтын завсрын үр дүнтэй матриц бичих хэрэгтэй.
Мэдээж ийм матрицыг зарим үйлдлүүдийн тусламжтайгаар илүү унших боломжтой болгож болно. Жишээлбэл, та элемент бүрийг "-1"-ээр үржүүлснээр хоёр дахь мөрийн бүх "хасах"-ыг арилгаж болно.
Гурав дахь мөрөнд бүх элементүүд гурвын үржвэр гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгвэл та чаднаэлемент бүрийг "-1/3"-аар үржүүлж (хасах - сөрөг утгыг арилгахын тулд нэгэн зэрэг).
Илүү сайхан харагдаж байна. Одоо бид эхний мөрийг ганцааранг нь үлдээж, хоёр, гурав дахь эгнээтэй ажиллах хэрэгтэй. Даалгавар бол a32 элементийг тэг болгох коэффициентоор үржүүлж гурав дахь эгнээнд хоёр дахь эгнээ нэмэх явдал юм.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (зарим өөрчлөлтийн үед бол) Хариулт нь бүхэл тоо биш болсон тул түүнийг энгийн бутархай хэлбэрээр "байгаагаар нь" үлдээхийг зөвлөж байна, зөвхөн дараа нь хариултыг хүлээн авсны дараа дугуйлж, өөр хэлбэр рүү хөрвүүлэх эсэхээ шийднэ үү. тэмдэглэгээ)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Матрицыг шинэ утгуудаар дахин бичсэн.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Таны харж байгаагаар үүссэн матриц шаталсан хэлбэртэй байна. Тиймээс Гауссын аргаар системийг цаашид өөрчлөх шаардлагагүй. Энд юу хийж болох вэ гэвэл "-1/7" гэсэн ерөнхий коэффициентийг гурав дахь мөрөөс хасах явдал юм.
Одоо бүгдээрээсайхан. Гол нь жижиг - матрицыг дахин тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичээд үндсийг нь тооцоолно
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Үндэсүүдийг олох алгоритмыг Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (3) нь z:
утгыг агуулна
z=61/9
Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэл рүү буцна уу:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Мөн эхний тэгшитгэл нь x-г олох боломжийг олгоно:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Бид ийм системийг хамтарсан, бүр тодорхой, өөрөөр хэлбэл өвөрмөц шийдэлтэй гэж нэрлэх эрхтэй. Хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Тодорхойгүй системийн жишээ
Тодорхой системийг Гауссын аргаар шийдэх хувилбарт дүн шинжилгээ хийсэн тул одоо систем тодорхойгүй, өөрөөр хэлбэл түүнд хязгааргүй олон шийдэл олдох боломжтой тохиолдолд авч үзэх шаардлагатай байна.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Системийн хэлбэр нь аль хэдийн түгшүүр төрүүлж байна, учир нь үл мэдэгдэх тоо n=5, системийн матрицын зэрэглэл нь энэ тооноос яг бага байна, учир нь мөрийн тоо m=4, өөрөөр хэлбэл квадрат тодорхойлогчийн хамгийн том дараалал нь 4. Тэгэхээр,Хязгааргүй олон тооны шийдлүүд байдаг бөгөөд бид түүний ерөнхий хэлбэрийг хайх ёстой. Шугаман тэгшитгэлийн Гауссын арга нь үүнийг хийх боломжийг танд олгоно.
Эхлээд ердийнхөөрөө нэмэгдүүлсэн матрицыг эмхэтгэсэн.
Хоёр дахь мөр: коэффициент k=(-a21/a11)=-3. Гурав дахь мөрөнд эхний элемент нь хувиргалтын өмнө байгаа тул та ямар нэгэн зүйлд хүрэх шаардлагагүй, үүнийг байгаагаар нь үлдээх хэрэгтэй. Дөрөв дэх мөр: k=(-a41/a11)=-5
Эхний эгнээний элементүүдийг коэффициент тус бүрээр нь үржүүлж, шаардлагатай мөрүүдэд нэмбэл бид дараах хэлбэрийн матрицыг авна:
Таны харж байгаагаар хоёр, гурав, дөрөв дэх эгнээ нь хоорондоо пропорциональ элементүүдээс бүрдэнэ. Хоёр дахь болон дөрөв дэх нь ерөнхийдөө адилхан тул тэдгээрийн аль нэгийг нь нэн даруй арилгаж, үлдсэнийг нь "-1" коэффициентээр үржүүлж, 3-р мөрийг авна. Дахин хэлэхэд хоёр ижил мөрийн аль нэгийг нь үлдээгээрэй.
Үр дүн нь ийм матриц юм. Систем хараахан бичигдээгүй байгаа тул энд үндсэн хувьсагчдыг тодорхойлох шаардлагатай - a11=1 ба a22=1 коэффициент дээр зогсож байна., мөн үнэгүй - бусад бүх зүйл.
Хоёр дахь тэгшитгэлд зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч байна - x2. Эндээс x3, x4, x5 хувьсагчаар бичиж, илэрхийлж болно. үнэгүй.
Үрсэн илэрхийллийг эхний тэгшитгэлд орлуулна.
Энэ нь тэгшитгэл болж хувиравцорын ганц үндсэн хувьсагч нь x1. Үүнийг x2-тэй адил хийцгээе.
Бүх үндсэн хувьсагч, үүнээс хоёр нь гурван чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэгдсэн тул одоо та хариултыг ерөнхий хэлбэрээр бичих боломжтой.
Та мөн системийн тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг зааж өгч болно. Ийм тохиолдлын хувьд, дүрмээр бол тэгийг чөлөөт хувьсагчийн утгууд болгон сонгодог. Дараа нь хариулт нь:
байх болно.
-16, 23, 0, 0, 0.
Тогтворгүй системийн жишээ
Тогтворгүй тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх нь хамгийн хурдан юм. Үе шатуудын аль нэгэнд шийдэлгүй тэгшитгэл гармагц дуусна. Энэ нь нэлээд урт, уйтгартай, үндсийг тооцоолох үе шат алга болно. Дараах системийг авч үзэж байна:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Ердийнх шиг матрицыг эмхэтгэсэн:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Мөн шаталсан хэлбэр болгон бууруулсан:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Эхний хувиргасны дараа гурав дахь мөрөнд
хэлбэрийн тэгшитгэл байна
0=7, шийдэл алга. Тиймээс системнийцэхгүй байгаа бөгөөд хариулт нь хоосон багц юм.
Аргын давуу болон сул талууд
Хэрэв та SLAE-ийг цаасан дээр үзэг ашиглан шийдвэрлэх аргыг сонговол энэ нийтлэлд авч үзсэн арга нь хамгийн сэтгэл татам харагдаж байна. Анхан шатны хувиргалтуудад тодорхойлогч эсвэл зарим нэг төвөгтэй урвуу матрицыг гараар хайхаас илүү төөрөлдөх нь илүү хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ийм төрлийн өгөгдөлтэй, жишээлбэл, хүснэгттэй ажиллах програм ашигладаг бол ийм програмууд нь матрицын үндсэн параметрүүдийг тооцоолох алгоритмуудыг аль хэдийн агуулдаг болох нь тодорхойлогч, жижиг, урвуу ба шилжүүлсэн матрицууд гэх мэт.. Хэрэв та машин эдгээр утгыг өөрөө тооцоолж, алдаа гаргахгүй гэдэгт итгэлтэй байгаа бол матрицын арга эсвэл Крамерын томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой, учир нь тэдгээрийн хэрэглээ нь тодорхойлогч ба урвуу матрицыг тооцоолохоос эхэлж, дуусдаг.
Програм
Гауссын шийдэл нь алгоритм бөгөөд матриц нь үнэндээ хоёр хэмжээст массив учраас програмчлалд ашиглаж болно. Гэхдээ энэ нийтлэл нь "дамми"-д зориулсан гарын авлага болж байгаа тул энэ аргыг оруулахад хамгийн хялбар газар бол хүснэгт, жишээлбэл Excel юм. Дахин хэлэхэд, хүснэгтэд матриц хэлбэрээр оруулсан аливаа SLAE-г Excel хоёр хэмжээст массив гэж үзэх болно. Тэдэнтэй ажиллахын тулд олон сайхан командууд байдаг: нэмэх (та зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицуудыг нэмж болно!), Тооноор үржүүлэх, матрицыг үржүүлэх (мөнтодорхой хязгаарлалтууд), урвуу болон шилжүүлсэн матрицуудыг олох, хамгийн чухал нь тодорхойлогчийг тооцоолох. Хэрэв энэ цаг хугацаа шаардсан ажлыг нэг тушаалаар соливол матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох нь хамаагүй хурдан бөгөөд ингэснээр түүний нийцтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа эсэхийг тогтооно.
