Матриц: Гауссын арга. Гауссын матрицын тооцоо: Жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Их дээд сургуулиудад төрөл бүрийн мэргэжлээр заадаг шугаман алгебр нь олон нарийн төвөгтэй сэдвүүдийг нэгтгэдэг. Тэдгээрийн зарим нь матрицтай холбоотой, мөн шугаман тэгшитгэлийн системийг Гаусс ба Гаусс-Жорданы аргаар шийдвэрлэхтэй холбоотой байдаг. Бүх оюутнууд эдгээр сэдвүүд, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмуудыг ойлгож чаддаггүй. Гаусс ба Гаусс-Жорданы матриц, аргуудыг хамтдаа ойлгоцгооё.

Үндсэн ойлголт

Шугаман алгебр дахь матриц нь элементүүдийн тэгш өнцөгт массив (хүснэгт) юм. Доорх нь хаалтанд орсон элементүүдийн багц юм. Эдгээр нь матрицууд юм. Дээрх жишээнээс харахад тэгш өнцөгт массив дахь элементүүд нь зөвхөн тоо биш гэдгийг харж болно. Матриц нь математик функц, алгебрийн тэмдэгтүүдээс бүрдэж болно.

Зарим ойлголтыг ойлгохын тулд a_ij элементүүдээс А матрицыг хийцгээе. Индексүүд нь зөвхөн үсэг биш: i нь хүснэгтийн мөрийн дугаар, j нь тухайн элементийн огтлолцлын хэсэгт байрлах баганын дугаар юм.a_ij. Тиймээс бид a₁₁, a₂₁, a₁₂, a зэрэг элементүүдийн матрицтай болохыг харж байна. ₂₂ гэх мэт n үсэг нь баганын тоог, m үсэг нь мөрийн тоог илэрхийлнэ. m × n тэмдэг нь матрицын хэмжээсийг илэрхийлдэг. Энэ нь элементийн тэгш өнцөгт массив дахь мөр, баганын тоог тодорхойлдог ойлголт юм.

Заавал матриц нь хэд хэдэн багана, мөртэй байх ёстой. 1 × n хэмжээтэй элементийн массив нь нэг эгнээтэй, m × 1 хэмжээтэй бол нэг баганатай массив юм. Мөр ба баганын тоо тэнцүү байвал матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг. Квадрат матриц бүр тодорхойлогчтой (det A). Энэ нэр томъёо нь A матрицад оноогдсон тоог хэлнэ.

Матрицыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд хэд хэдэн чухал ойлголтуудыг санаж байх хэрэгтэй бол үндсэн ба хоёрдогч диагональууд юм. Матрицын гол диагональ нь зүүн дээд булангаас хүснэгтийн баруун буланд бууж буй диагональ юм. Хажуугийн диагональ нь доод талаас зүүн булангаас дээш баруун булан руу явна.

Алхам матриц харах

Доорх зургийг харна уу. Үүн дээр та матриц болон диаграммыг харах болно. Эхлээд матрицыг авч үзье. Шугаман алгебрийн хувьд ийм төрлийн матрицыг алхам матриц гэж нэрлэдэг. Энэ нь нэг өмчтэй: хэрэв a_ij нь i-р эгнээний эхний тэг биш элемент бол доорх болон a_{ij-ийн зүүн талд байгаа матрицын бусад бүх элементүүд.} , null байна (өөрөөр хэлбэл a_kl үсгийн тэмдэглэгээг өгч болох бүх элементүүд, энд k>i болонl<j).

Одоо диаграмыг авч үзье. Энэ нь матрицын шаталсан хэлбэрийг тусгасан болно. Уг схем нь 3 төрлийн эсийг харуулж байна. Төрөл бүр нь тодорхой элементүүдийг илэрхийлдэг:

• хоосон нүднүүд - матрицын тэг элемент;
• сүүдэрлэсэн нүднүүд нь тэг болон тэг биш аль аль нь байж болох дурын элементүүд юм;
• хар дөрвөлжин нь тэгээс ялгаатай элементүүд бөгөөд тэдгээрийг булангийн элементүүд, "алхмууд" гэж нэрлэдэг (тэдгээрийн хажууд харуулсан матрицад ийм элементүүд нь -1, 5, 3, 8 тоонууд юм).

Матрицыг шийдвэрлэх үед заримдаа алхамын "урт" 1-ээс их байх үр дүн гардаг. Үүнийг зөвшөөрнө. Зөвхөн алхамуудын "өндөр" нь чухал юм. Алхам матрицад энэ параметр үргэлж нэгтэй тэнцүү байх ёстой.

Матрицыг алхам хэлбэрт буулгах

Ямар ч тэгш өнцөгт матрицыг шаталсан хэлбэрт хөрвүүлж болно. Үүнийг энгийн өөрчлөлтөөр хийдэг. Үүнд:

• мөрүүдийг дахин засах;
• Нэг мөрөнд өөр мөр нэмж, шаардлагатай бол хэдэн тоогоор үржүүлнэ (та хасах үйлдэл хийж болно).

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд анхан шатны өөрчлөлтүүдийг авч үзье. Доорх зурагт А матрицыг харуулсан бөгөөд үүнийг шаталсан хэлбэрт оруулах шаардлагатай.

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид алгоритмыг дагах болно:

• Матриц дээр хувиргалт хийх нь тохиромжтойзүүн дээд буланд байгаа эхний элемент (өөрөөр хэлбэл "тэргүүлэх" элемент) нь 1 эсвэл -1 байна. Манай тохиолдолд дээд эгнээний эхний элемент нь 2 тул эхний болон хоёр дахь мөрийг сольж үзье.
• 2, 3, 4-р мөрөнд нөлөөлөх хасах үйлдлүүдийг хийцгээе. Бид "тэргүүлэх" элементийн доорх эхний баганад тэгийг авах ёстой. Энэ үр дүнд хүрэхийн тулд: 2-р мөрийн элементүүдээс бид 1-р мөрийн элементүүдийг 2-оор үржүүлсэн дарааллаар хасна; 3-р мөрийн элементүүдээс бид 4-р үржүүлсэн 1-р мөрийн элементүүдийг дараалан хасна; 4-р мөрийн элементүүдээс бид 1-р мөрийн элементүүдийг дараалан хасна.
• Дараа нь бид таслагдсан матрицтай ажиллах болно (1-р багана, 1-р мөргүй). Хоёрдахь багана ба хоёр дахь эгнээний уулзвар дээр байрлах шинэ "тэргүүлэх" элемент нь -1-тэй тэнцүү байна. Мөрүүдийг дахин цэгцлэх шаардлагагүй тул бид эхний багана, эхний ба хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичнэ. "Тэргүүлэх" элементийн доорх хоёр дахь баганад тэгийг авахын тулд хасах үйлдлүүдийг хийцгээе: гурав дахь мөрийн элементүүдээс бид хоёр дахь мөрийн элементүүдийг 3-аар үржүүлж дараалан хасна; Дөрөв дэх мөрийн элементүүдээс 2-оор үржүүлсэн хоёр дахь мөрийн элементүүдийг хасна.
• Сүүлийн мөрийг өөрчлөхөд л үлдлээ. Түүний элементүүдээс бид гурав дахь эгнээний элементүүдийг дараалан хасдаг. Тиймээс бид шаталсан матрицтай боллоо.

Матрицыг шатлал болгон бууруулах нь шугаман тэгшитгэлийн системийг (SLE) Гауссын аргаар шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг. Энэ аргыг үзэхийн өмнө SLN-тэй холбоотой зарим нэр томъёог ойлгоцгооё.

Матриц ба шугаман тэгшитгэлийн систем

Матрицыг янз бүрийн шинжлэх ухаанд ашигладаг. Тоон хүснэгтүүдийг ашигласнаар та жишээлбэл, Гауссын аргыг ашиглан системд нэгтгэсэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэж болно. Эхлээд хэд хэдэн нэр томъёо, тэдгээрийн тодорхойлолттой танилцаж, хэд хэдэн шугаман тэгшитгэлүүдийг нэгтгэсэн системээс матриц хэрхэн үүсдэгийг харцгаая.

SLU – хэд хэдэн хосолсон алгебрийн тэгшитгэлийн эхний хүч нь үл мэдэгдэх, бүтээгдэхүүний гишүүн байхгүй.

SLE шийдэл – үл мэдэгдэх утгуудыг олсон бөгөөд систем дэх тэгшитгэл нь таних тэмдэг болдог.

Хамтарсан SLE нь дор хаяж нэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн систем юм.

Тогтворгүй SLE нь шийдэлгүй тэгшитгэлийн систем юм.

Шугаман тэгшитгэлүүдийг нэгтгэсэн системд үндэслэн матрицыг хэрхэн бүрдүүлэх вэ? Системийн үндсэн болон өргөтгөсөн матрицууд гэх мэт ойлголтууд байдаг. Системийн үндсэн матрицыг олж авахын тулд үл мэдэгдэх бүх коэффициентийг хүснэгтэд оруулах шаардлагатай. Өргөтгөсөн матрицыг үндсэн матрицад чөлөөт нэр томъёоны баганыг нэмэх замаар олж авдаг (энэ нь систем дэх тэгшитгэл бүрийг тэнцүүлэх мэдэгдэж буй элементүүдийг агуулдаг). Та доорх зургийг судалснаар энэ үйл явцыг бүхэлд нь ойлгож болно.

Зураг дээр бидний харж байгаа хамгийн эхний зүйл бол шугаман тэгшитгэл агуулсан систем юм. Түүний элементүүд: a_ij – тоон коэффициент, x_j – үл мэдэгдэх утгууд, b_i – тогтмол нөхцөл (үүнд i=1, 2, …, m, ба j=1, 2, …, n). Зурган дээрх хоёр дахь элемент нь коэффициентүүдийн үндсэн матриц юм. Тэгшитгэл бүрээс коэффициентүүдийг дараалан бичнэ. Үүний үр дүнд систем дэх тэгшитгэлийн тоогоор матрицад олон эгнээ байна. Баганын тоо нь аливаа тэгшитгэлийн хамгийн олон тооны коэффициенттэй тэнцүү байна. Зурган дээрх гурав дахь элемент нь чөлөөт нөхцлийн багана бүхий нэмэгдүүлсэн матриц юм.

Гауссын аргын талаарх ерөнхий мэдээлэл

Шугаман алгебрийн хувьд Гауссын арга нь SLE-ийг шийдвэрлэх сонгодог арга юм. Энэ нь 18-19-р зуунд амьдарч байсан Карл Фридрих Гауссын нэрээр нэрлэгддэг. Энэ бол бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг юм. Гауссын аргын мөн чанар нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем дээр энгийн хувиргалт хийх явдал юм. Өөрчлөлтийн тусламжтайгаар SLE нь бүх хувьсагчийг олох боломжтой гурвалжин (шаталсан) хэлбэрийн эквивалент систем болж хувирдаг.

Карл Фридрих Гаусс бол шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх сонгодог аргыг нээсэн хүн биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ аргыг нэлээд эрт зохион бүтээсэн. Түүний анхны тайлбарыг эртний Хятадын математикчдын мэдлэгийн нэвтэрхий толь бичигт "Математик 9 номонд" гэж нэрлэдэг.

SLE-г Гауссын аргаар шийдвэрлэх жишээ

Тодорхой жишээн дээр системүүдийн шийдлийг Гауссын аргаар авч үзье. Бид зурагт үзүүлсэн SLU-тай ажиллах болно.

Шийдвэрлэх алгоритм:

1. Бид системийг Гауссын аргын шууд шилжилтээр шаталсан хэлбэр болгон бууруулна, гэхдээ эхлээдБид тоон коэффициент болон чөлөөт гишүүдийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлэх болно.
2. Гауссын аргыг ашиглан матрицыг шийдэхийн тулд (жишээ нь шаталсан хэлбэрт оруулах) хоёр ба гурав дахь эгнээний элементүүдээс эхний эгнээний элементүүдийг дараалан хасна. Бид "тэргүүлэх" элементийн дор эхний баганад тэг авдаг. Дараа нь бид тав тухтай байдлыг хангах үүднээс хоёр, гурав дахь мөрийг өөрчилнө. Сүүлийн эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний элементүүдийг 3-аар үржүүлсэн дарааллаар нэмнэ.
3. Матрицыг Гауссын аргаар тооцоолсны үр дүнд бид шаталсан элементийн массивыг авсан. Үүний үндсэн дээр бид шугаман тэгшитгэлийн шинэ системийг зохиох болно. Гауссын аргын урвуу замаар бид үл мэдэгдэх нэр томъёоны утгыг олдог. Сүүлийн шугаман тэгшитгэлээс x₃ нь 1-тэй тэнцүү болохыг харж болно. Бид энэ утгыг системийн хоёр дахь мөрөнд орлуулна. Та x₂ – 4=–4 тэгшитгэлийг авна. Эндээс x₂ нь 0-тэй тэнцүү байна. Системийн эхний тэгшитгэлд x₂ ба x₃-г орлуулна уу: x1 _{+ 0 +3=2. Үл мэдэгдэх нэр томъёо нь -1.}

Хариулт: матриц, Гауссын аргыг ашиглан бид үл мэдэгдэх утгыг олсон; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Гаусс-Жорданы арга

Шугаман алгебрт Гаусс-Жорданы арга гэж бас байдаг. Энэ нь Гауссын аргын өөрчлөлт гэж тооцогддог бөгөөд урвуу матрицыг олох, алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн квадрат системийн үл мэдэгдэх нөхцлүүдийг тооцоолоход ашигладаг. Гаусс-Жорданы арга нь SLE-ийг нэг алхамаар (шууд ба урвуу аргыг ашиглахгүйгээр) шийдвэрлэх боломжийг олгодог тул тохиромжтой.хөдөлдөг).

"Урвуу матриц" гэсэн нэр томъёогоор эхэлцгээе. Бидэнд А матриц байна гэж бодъё. Үүний урвуу нь A^-1 матриц байх ба нөхцөл нь заавал биелэгдэх болно: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, өөрөөр хэлбэл эдгээр матрицын үржвэр нь таних матрицтай тэнцүү байна (идентификатын матрицын үндсэн диагоналын элементүүд нь нэг, үлдсэн элементүүд нь тэг).}

Чухал нюанс: шугаман алгебрт урвуу матриц оршин тогтнох тухай теорем байдаг. A^-1 матриц оршин байх хангалттай бөгөөд зайлшгүй нөхцөл бол А матриц нь ганц тоо биш байх явдал юм.

Гаусс-Жорданы аргыг үндэслэсэн үндсэн алхамууд:

1. Тодорхой матрицын эхний мөрийг харна уу. Эхний утга нь тэгтэй тэнцүү биш бол Гаусс-Жорданы аргыг эхлүүлж болно. Хэрэв эхний байр нь 0 бол эхний элемент нь тэгээс өөр утгатай байхаар мөрүүдийг солино (тоо нэгтэй ойр байх нь зүйтэй).
2. Эхний эгнээний бүх элементүүдийг эхний тоонд хуваана. Та нэгээр эхэлсэн мөртэй болно.
3. Хоёр дахь мөрөөс эхний мөрийг хоёр дахь мөрийн эхний элементээр үржүүлсэнийг хасах, өөрөөр хэлбэл төгсгөлд та тэгээс эхэлсэн мөрийг авах болно. Үлдсэн мөрүүдтэй ижил зүйлийг хий. Диагональ 1-ийг авахын тулд мөр бүрийг эхний тэг биш элементээр нь хуваана.
4. Үүний үр дүнд та Гаусс-Жорданы аргыг ашиглан дээд гурвалжин матрицыг авах болно. Үүнд гол диагональ нь нэгжээр илэрхийлэгдэнэ. Доод булан нь тэгээр дүүрсэн, мөндээд булан - янз бүрийн утгууд.
5. Төгсгөлийн өмнөх мөрөөс шаардлагатай коэффициентоор үржүүлсэн сүүлчийн мөрийг хасна. Та тэг ба нэг мөрийг авах ёстой. Үлдсэн мөрүүдийн хувьд ижил үйлдлийг давтана. Бүх өөрчлөлтийн дараа таних матрицыг авна.

Гаусс-Жорданы аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох жишээ

Урвуу матрицыг тооцоолохын тулд A|E нэмэгдсэн матрицыг бичиж, шаардлагатай хувиргалтыг хийх хэрэгтэй. Энгийн жишээг авч үзье. Доорх зурагт A матрицыг харуулав.

Шийдэл:

1. Эхлээд Гауссын аргаар (det A) матриц тодорхойлогчийг олъё. Хэрэв энэ параметр нь тэгтэй тэнцүү биш бол матрицыг ганц бие биш гэж үзнэ. Энэ нь A-д A^-1 байгаа нь гарцаагүй гэж дүгнэх боломжийг олгоно. Тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд бид матрицыг энгийн хувиргалтаар шаталсан хэлбэрт шилжүүлдэг. K тоог эгнээний сэлгэцийн тоотой тэнцүү тоолъё. Бид зөвхөн 1 удаа мөрийг өөрчилсөн. Тодорхойлогчийг тооцоолъё. Үүний утга нь үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэрийг (–1)^K-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Тооцооллын үр дүн: det A=2.
2. Эх матрицад таних матрицыг нэмж нэмэгдүүлсэн матрицыг зохио. Гарсан элементийн массивыг Гаусс-Жорданы аргаар урвуу матрицыг олоход ашиглана.
3. Эхний эгнээний эхний элемент нь нэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь бидэнд тохирсон, учир нь мөрүүдийг дахин цэгцэлж, өгөгдсөн мөрийг хэдэн тоогоор хуваах шаардлагагүй. Ажилдаа орцгооёхоёр ба гурав дахь мөрүүдтэй. Хоёр дахь эгнээний эхний элементийг 0 болгохын тулд хоёр дахь эгнээний эхний мөрийг 3-аар үржүүлсэнийг хасна. Гурав дахь эгнээнээс эхний мөрийг хасна (үржүүлэх шаардлагагүй).
4. Үүссэн матрицад хоёр дахь эгнээний хоёр дахь элемент нь -4, гурав дахь эгнээний хоёр дахь элемент нь -1 байна. Тохиромжтой болгох үүднээс мөрүүдийг сольж үзье. Гурав дахь эгнээнээс хоёр дахь мөрийг 4-өөр үржүүлж хасна. Хоёр дахь эгнээ -1, гурав дахь эгнээ 2-оор хуваагдана. Бид дээд гурвалжин матрицыг авна.
5. Хоёр дахь мөрөөс 4-р үржүүлсэн сүүлийн мөрийг эхний мөрөөс 5-аар үржүүлсэн сүүлийн мөрийг хасъя. Дараа нь эхний мөрөөс 2-оор үржүүлсэн 2-р мөрийг хасна. Зүүн талд бид авсан. таних матриц. Баруун талд урвуу матриц байна.

SLE-г Гаусс-Жорданы аргаар шийдвэрлэх жишээ

Зурагт шугаман тэгшитгэлийн системийг харуулж байна. Гаусс-Жорданы аргыг матриц ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгыг олох шаардлагатай.

Шийдэл:

1. Өргөтгөсөн матриц үүсгэцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид коэффициент болон чөлөөт нөхцлүүдийг хүснэгтэд оруулна.
2. Матрицыг Гаусс-Жорданы аргыг ашиглан шийд. 2-р мөрөнд бид 1-р мөрийг хасна. 3-р мөрөнд өмнө нь 2-оор үржүүлсэн 1-р мөрийг хасна.
3. 2 ба 3-р мөрүүдийг солих.
4. 3-р мөрөөс 2-р мөрийг хасаад 2-оор үржүүлнэ. Гурав дахь мөрийг –1-ээр хуваана.
5. 2-р мөрөөс 3-р мөрийг хас.
6. 1-р мөрөөс 1-р мөрийг хас2 удаа -1. Хажуу талд нь бид 0, 1, -1 тоонуудаас бүрдсэн багана авсан. Эндээс бид x₁=0, x₂=1 ба x₃ =–1.

Хэрэв та хүсвэл тооцоолсон утгыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шийдлийн зөв эсэхийг шалгаж болно:

• 0 – 1=–1, системийн эхний таних тэмдэг зөв;
• 0 + 1 + (–1)=0, системийн хоёр дахь таних тэмдэг зөв;
• 0 – 1 + (–1)=–2, системийн гуравдахь таних тэмдэг зөв байна.

Дүгнэлт: Гаусс-Жорданы аргыг ашигласнаар шугаман алгебрийн тэгшитгэлүүдийг нэгтгэсэн квадрат системийн зөв шийдлийг олсон.

Онлайн тооны машин

Их дээд сургуульд суралцаж, шугаман алгебр судалж буй өнөөгийн залуучуудын амьдрал маш хялбарчлагдсан. Хэдэн жилийн өмнө бид Гаусс, Гаусс-Жорданы аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг өөрсдөө олох хэрэгтэй болсон. Зарим оюутнууд даалгавраа амжилттай даван туулж, зарим нь шийдэлд эргэлзэж, алдаа гаргаж, ангийнхнаасаа тусламж хүсчээ. Өнөөдөр та гэрийн даалгавраа хийхдээ онлайн тооны машин ашиглаж болно. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд урвуу матрицуудыг хайхын тулд зөвхөн зөв хариултыг харуулахаас гадна тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх явцыг харуулдаг программуудыг бичсэн болно.

Интернэт дээр суурилагдсан онлайн тооны машинтай олон нөөц бий. Гауссын матриц, тэгшитгэлийн системийг эдгээр программууд хэдхэн секундын дотор шийддэг. Оюутнууд зөвхөн шаардлагатай параметрүүдийг (жишээлбэл, тэгшитгэлийн тоо,хувьсагчийн тоо).