Фурье цуваа нь дур мэдэн авсан функцийг тодорхой үетэй цуваа хэлбэрээр дүрсэлдэг. Ерөнхийдөө энэ шийдлийг ортогональ үндсэн дээр элементийн задрал гэж нэрлэдэг. Фурьегийн цувралын функцүүдийн өргөтгөл нь аргумент болон хувиргалт дахь илэрхийлэлийг нэгтгэх, ялгах, шилжүүлэх үед энэхүү хувиргалтын шинж чанараас шалтгаалан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх нэлээд хүчирхэг хэрэгсэл юм.
Дээд математик, мөн Францын эрдэмтэн Фурьегийн бүтээлүүдийг сайн мэддэггүй хүн эдгээр "мөр" гэж юу болох, юунд зориулагдсан болохыг ойлгохгүй байх магадлалтай. Үүний зэрэгцээ энэхүү өөрчлөлт нь бидний амьдралд нэлээд нягт болсон. Үүнийг зөвхөн математикчид төдийгүй физикч, химич, эмч, одон орон судлаач, газар хөдлөлт судлаач, далай судлаачид болон бусад олон хүмүүс ашигладаг. Цаг хугацаанаасаа өмнө нээлт хийсэн Францын агуу эрдэмтний бүтээлүүдийг дэлгэрэнгүй харцгаая.
Хүн ба Фурье хувиргалт
Фурьегийн цуваа нь Фурье хувиргалтын аргуудын нэг (шинжилгээ болон бусад аргуудын хамт) юм. Энэ үйл явц нь хүн дуу чимээ сонсох бүрт тохиолддог. Бидний чих дууг автоматаар хувиргадагдолгион. Уян орчин дахь энгийн бөөмсийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөнүүд нь янз бүрийн өндөртэй тоннуудын эзлэхүүний түвшний дараалсан утгуудын эгнээнд (спектрийн дагуу) задардаг. Дараа нь тархи энэ өгөгдлийг бидэнд танил болсон дуу болгон хувиргадаг. Энэ бүхэн бидний хүсэл, ухамсараас гадна өөрөө тохиолддог боловч эдгээр үйл явцыг ойлгохын тулд дээд математикт суралцахад хэдэн жил шаардагдана.
Фурье хувирлын талаар дэлгэрэнгүй
Фурье хувиргалтыг аналитик, тоон болон бусад аргаар хийж болно. Фурье цуваа нь далайн түрлэг, гэрлийн долгионоос эхлээд нарны (болон бусад одон орны объектуудын) үйл ажиллагааны мөчлөг хүртэлх аливаа хэлбэлзлийн процессыг задлах тоон аргыг хэлдэг. Эдгээр математикийн аргуудыг ашиглан аливаа хэлбэлзлийн процессыг хамгийн багааас хамгийн их ба эсрэгээр дамждаг синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлдэг функцүүдэд дүн шинжилгээ хийх боломжтой. Фурье хувиргалт нь тодорхой давтамжтай харгалзах синусоидуудын фаз ба далайцыг тодорхойлдог функц юм. Энэ процессыг дулаан, гэрэл эсвэл цахилгаан энергийн нөлөөн дор явагддаг динамик процессыг дүрсэлсэн маш нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Мөн Фурье цуваа нь нарийн төвөгтэй хэлбэлзлийн дохионы тогтмол бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тусгаарлах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь анагаах ухаан, хими, одон орон судлалын олж авсан туршилтын ажиглалтыг зөв тайлбарлах боломжийг олгосон.
Түүхэн мэдээлэл
Энэ онолыг үндэслэгчЖан Батист Жозеф Фурье бол Францын математикч юм. Энэ өөрчлөлтийг дараа нь түүний нэрээр нэрлэжээ. Эрдэмтэн эхэндээ дулаан дамжуулах механизм - хатуу биет дэх дулааны тархалтыг судлах, тайлбарлахдаа өөрийн аргыг ашигласан. Фурье дулааны долгионы анхны жигд бус тархалтыг хамгийн энгийн синусоид болгон задалж болно гэж санал болгосон бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн температурын хамгийн бага ба максимум, мөн өөрийн үе шаттай байх болно. Энэ тохиолдолд ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг хамгийн багааас дээд тал руу, эсрэгээр нь хэмжинэ. Муруйн дээд ба доод оргилууд, түүнчлэн гармоник бүрийн үе шатыг тодорхойлдог математик функцийг температурын тархалтын илэрхийлэлийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Онолын зохиогч математикийн хувьд тайлбарлахад хэцүү ерөнхий тархалтын функцийг анхны тархалтад нийлдэг үечилсэн косинус болон синус функцуудын зохицуулахад маш хялбар цуврал болгон бууруулсан.
Өөрчлөх зарчим ба орчин үеийн хүмүүсийн үзэл бодол
Эрдэмтний үеийнхэн - XIX зууны эхэн үеийн тэргүүлэх математикчид энэ онолыг хүлээн зөвшөөрөөгүй. Хамгийн гол эсэргүүцэл нь шулуун эсвэл тасархай муруйг дүрсэлсэн тасархай функцийг үргэлжилсэн синусоид илэрхийллийн нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн Фурьегийн нотолгоо байв. Жишээлбэл, Heaviside-ийн "алхам" -ыг авч үзье: түүний утга нь завсарын зүүн талд тэг, баруун талд нэг байна. Энэ функц нь хэлхээг хаах үед цахилгаан гүйдлийн цаг хугацааны хувьсагчаас хамаарах хамаарлыг тодорхойлдог. Тухайн үеийн онолын орчин үеийн хүмүүс ийм зүйлтэй хэзээ ч тулгарч байгаагүйтасалдалтай илэрхийлэл нь экспоненциал, синусоид, шугаман эсвэл квадрат зэрэг тасралтгүй, энгийн функцүүдийн хослолоор дүрслэгдэх нөхцөл байдал.
Францын математикчдыг Фурьегийн онолд юу андуурсан бэ?
Эцсийн эцэст хэрэв математикч хэлсэн үгэндээ зөв байсан бол хязгааргүй тригонометрийн Фурье цувралыг нэгтгэн дүгнэвэл, ижил төстэй олон алхамтай байсан ч алхамын илэрхийллийн яг тодорхой дүрслэлийг авах боломжтой. 19-р зууны эхэн үед ийм мэдэгдэл нь утгагүй мэт санагдаж байв. Гэхдээ бүх эргэлзээтэй байсан ч олон математикчид энэ үзэгдлийг судлах хүрээг өргөжүүлж, дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг судлах хүрээнээс хэтрүүлсэн. Гэсэн хэдий ч ихэнх эрдэмтэд "Синусоид цувааны нийлбэр нь тасалдалтай функцийн яг тодорхой утгад нийлж чадах уу?" Гэсэн асуултаас болж зовж шаналж байв
Фурье цувралын нийлбэр: жишээ
Хязгааргүй тооны цувралыг нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай үед нэгдэх тухай асуулт гарч ирдэг. Энэ үзэгдлийг ойлгохын тулд сонгодог жишээг авч үзье. Хэрэв дараалсан алхам бүр өмнөх алхамынхаа хагастай тэнцүү байвал та хананд хүрч чадах уу? Зорилгодоо хоёр метрийн зайд байна гэж бодъё, эхний алхам нь таныг замын хагаст ойртуулж, дараагийн алхам нь дөрөвний гурвын тэмдэг рүү ойртуулж, тавын дараа та замын бараг 97 хувийг туулах болно. Гэсэн хэдий ч та хичнээн алхам хийсэн ч математикийн хатуу утгаараа зорьсон зорилгодоо хүрч чадахгүй. Тоон тооцоог ашиглан эцэст нь хэн дуртай нь ойртож чадна гэдгийг баталж чадна.жижиг заасан зай. Энэ нотолгоо нь хагас, дөрөвний нэг гэх мэтийн нийлбэр утга нэг болох хандлагатай болохыг нотлохтой тэнцүү юм.
Нэгдлийн тухай асуулт: Хоёр дахь ирэлт буюу Лорд Келвиний хэрэгсэл
Арван есдүгээр зууны сүүлчээр Фурьегийн цувааг урсах ба урсгалын эрчмийг урьдчилан таамаглахад ашиглахыг оролдох үед энэ асуултыг дахин дахин тавьж байсан. Энэ үед Лорд Келвин цэргийн болон худалдааны флотын далайчдад байгалийн энэ үзэгдлийг хянах боломжийг олгодог аналог тооцоолох төхөөрөмжийг зохион бүтээжээ. Энэхүү механизм нь тухайн усан боомтод жилийн турш анхааралтай хэмжсэн далайн түрлэгийн өндрийн хүснэгтээс үе шат ба далайцын багцыг тодорхойлсон. Параметр бүр нь түрлэгийн өндрийн илэрхийллийн синусоид бүрэлдэхүүн хэсэг байсан бөгөөд ердийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэг байв. Хэмжилтийн үр дүнг Лорд Келвиний тооцоолуурт оруулсан бөгөөд энэ нь ирэх жилийн усны өндрийг цаг хугацааны функцээр урьдчилан таамагласан муруйг нэгтгэв. Тун удалгүй дэлхийн бүх боомтуудад ижил төстэй муруйг зурсан.
Хэрэв процесс тасалдсан функцээр эвдэрсэн бол?
Тухайн үед олон тооны тоолох элемент бүхий далайн түрлэгийн долгионыг урьдчилан таамаглагч нь олон тооны фаз, далайцыг тооцоолж, илүү нарийвчлалтай таамаглал гаргаж чаддаг нь ойлгомжтой мэт санагдаж байв. Гэсэн хэдий ч, дараа нь түрлэгийн илэрхийлэл тохиолдлуудад энэ тогтмол байдал ажиглагддаггүй нь тогтоогдсонсинтез, хурц үсрэлт агуулсан, өөрөөр хэлбэл, энэ нь тасархай байсан. Хугацааны моментийн хүснэгтээс өгөгдлийг төхөөрөмжид оруулсан тохиолдолд хэд хэдэн Фурье коэффициентийг тооцдог. Синусоидын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн ачаар анхны функц сэргээгддэг (олдсон коэффициентүүдийн дагуу). Анхны болон сэргээгдсэн илэрхийлэл хоорондын зөрүүг ямар ч үед хэмжиж болно. Давтан тооцоолол, харьцуулалт хийх үед хамгийн том алдааны утга буурахгүй байгааг харж болно. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь тасалдсан цэгт харгалзах бүсэд нутагшсан бөгөөд өөр аль ч цэгт тэг байх хандлагатай байдаг. 1899 онд энэ үр дүнг Йелийн их сургуулийн Жошуа Виллард Гиббс онолын хувьд баталжээ.
Фурье цувралын нэгдэл ба математикийн ерөнхий хөгжил
Фурье шинжилгээ нь тодорхой интервалд хязгааргүй тооны тэсрэлт агуулсан илэрхийлэлд хамаарахгүй. Ерөнхийдөө Фурье цуврал, хэрэв анхны функц нь бодит физик хэмжилтийн үр дүн юм бол үргэлж нийлдэг. Функцийн тодорхой ангиудын хувьд энэ үйл явцыг нэгтгэх тухай асуултууд нь математикийн шинэ хэсгүүд, жишээлбэл, ерөнхий функцүүдийн онолууд гарч ирэхэд хүргэсэн. Энэ нь Л. Шварц, Ж. Микусинский, Ж. Темпл зэрэг нэртэй холбоотой. Энэхүү онолын хүрээнд Дирак дельта функц (энэ нь нэг цэгийн хязгааргүй жижиг хөршид төвлөрсөн нэг талбайн талбайг дүрсэлдэг) ба Хэвисайд зэрэг илэрхийлэлд онолын тодорхой, нарийн үндэслэлийг бий болгосон. алхам . Энэхүү ажлын ачаар Фурье цувралыг ашиглах боломжтой болсонцэгийн цэнэг, цэгийн масс, соронзон диполь, мөн цацраг дээрх төвлөрсөн ачаалал зэрэг зөн совингийн ойлголтуудыг агуулсан тэгшитгэл, асуудлыг шийдвэрлэх.
Фурье арга
Фурье цуврал нь интерференцийн зарчмуудын дагуу нарийн төвөгтэй хэлбэрийг илүү энгийн хэлбэрт задалж эхэлдэг. Жишээлбэл, дулааны урсгалын өөрчлөлтийг жигд бус хэлбэртэй дулаан тусгаарлагч материалаар хийсэн янз бүрийн саад тотгороор дамжин өнгөрөх эсвэл дэлхийн гадаргуугийн өөрчлөлт - газар хөдлөлт, селестиел биетийн тойрог замд өөрчлөлт орох - нөлөөллөөр тайлбарлагддаг. гаригууд. Дүрмээр бол энгийн сонгодог системийг дүрсэлсэн ижил төстэй тэгшитгэлийг долгион бүрийн хувьд энгийн байдлаар шийддэг. Фурье энгийн шийдлүүдийг нэгтгэж, илүү төвөгтэй асуудлын шийдлийг гаргаж болно гэдгийг харуулсан. Математикийн хэлээр Фурье цуврал нь илэрхийлэлийг гармоник буюу косинус ба синусоидуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэх арга юм. Тиймээс энэ шинжилгээг "гармоник анализ" гэж бас нэрлэдэг.
Фурье цуврал - "компьютерийн эрин"-ээс өмнөх хамгийн тохиромжтой техник
Компьютерийн технологи үүсэхээс өмнө Фурье техник нь манай дэлхийн долгионы шинж чанартай ажиллахад эрдэмтдийн зэвсэглэлд байсан хамгийн шилдэг зэвсэг байсан. Фурьегийн цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэрээр Ньютоны механикийн хуулиудад шууд хэрэглэгдэх энгийн бодлогуудыг төдийгүй үндсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. 19-р зуунд Ньютоны шинжлэх ухааны ихэнх нээлтүүд зөвхөн Фурьегийн техникээр л боломжтой болсон.
Фурье цуврал өнөөдөр
Фурье хувиргах компьютерийг хөгжүүлснээрцоо шинэ түвшинд гаргасан. Энэхүү техник нь шинжлэх ухаан, технологийн бараг бүх салбарт бат бөх нэвтэрсэн. Жишээ нь дижитал аудио болон видео дохио юм. Үүнийг хэрэгжүүлэх нь 19-р зууны эхээр Францын математикчийн боловсруулсан онолын ачаар л боломжтой болсон. Ийнхүү Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэрээр сансар огторгуйн судалгаанд нээлт хийх боломжтой болсон. Үүнээс гадна хагас дамжуулагч материал ба плазмын физик, богино долгионы акустик, далай судлал, радар, газар хөдлөлт судлалын судалгаанд нөлөөлсөн.
Тригонометрийн Фурье цуврал
Математикийн хувьд Фурьегийн цуваа нь дурын нийлмэл функцийг энгийн функцүүдийн нийлбэрээр илэрхийлэх арга юм. Ерөнхийдөө ийм илэрхийллийн тоо хязгааргүй байж болно. Түүгээр ч зогсохгүй тэдний тоог тооцоололд тусгах тусам эцсийн үр дүн нь үнэн зөв байх болно. Ихэнхдээ косинус эсвэл синусын тригонометрийн функцийг хамгийн энгийн байдлаар ашигладаг. Энэ тохиолдолд Фурье цувааг тригонометр гэж нэрлэдэг ба ийм илэрхийллийн шийдлийг гармоникийн тэлэлт гэж нэрлэдэг. Энэ арга нь математикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Юуны өмнө тригонометрийн цуваа нь дүрсийг дүрслэх, түүнчлэн функцийг судлах хэрэгсэл болдог бөгөөд энэ нь онолын үндсэн аппарат юм. Нэмж дурдахад энэ нь математикийн физикийн хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Эцэст нь энэ онол нь математик анализын хөгжилд хувь нэмрээ оруулж, математикийн шинжлэх ухааны хэд хэдэн маш чухал хэсгийг (интегралын онол, үечилсэн функцын онол) бий болгосон. Нэмж дурдахад энэ нь олонлог, функц гэсэн онолыг хөгжүүлэх эхлэл болсонбодит хувьсагч, функциональ шинжилгээ, мөн гармоник шинжилгээний үндэс суурийг тавьсан.
