Матриц бол математикийн тусгай объект юм. Энэ нь тодорхой тооны мөр, баганаас бүрдсэн тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хүснэгт хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг. Математикийн хувьд хэмжээ, агуулгын хувьд ялгаатай олон төрлийн матрицууд байдаг. Түүний мөр, баганын тоог захиалга гэж нэрлэдэг. Эдгээр объектуудыг математикт шугаман тэгшитгэлийн системийг бичих ажлыг зохион байгуулах, тэдгээрийн үр дүнг хялбар хайхад ашигладаг. Матриц ашиглан тэгшитгэлийг Карл Гаусс, Габриэль Крамер, бага ба алгебрийн нэмэлтүүд болон бусад олон аргыг ашиглан шийддэг. Матрицтай ажиллах үндсэн ур чадвар нь тэдгээрийг стандарт хэлбэрт оруулах явдал юм. Гэхдээ эхлээд математикчид ямар төрлийн матрицуудыг ялгадаг болохыг олж мэдье.
Тэгсэн төрөл
Ийм төрлийн матрицын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэг байна. Үүний зэрэгцээ түүний мөр, баганын тоо огт өөр байна.
Дөрвөлжин төрөл
Энэ төрлийн матрицын багана, мөрийн тоо ижил байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь "дөрвөлжин" хэлбэрийн хүснэгт юм. Түүний баганын (эсвэл мөр) тоог захиалга гэж нэрлэдэг. Онцгой тохиолдлууд нь хоёр дахь эрэмбийн матриц (2х2 матриц), дөрөв дэх (4х4), арав дахь (10х10), арван долоо дахь (17х17) гэх мэт матрицууд байдаг.
Баганын вектор
Энэ нь гурван тоон утгыг агуулсан зөвхөн нэг багана агуулсан хамгийн энгийн матрицуудын нэг юм. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн систем дэх чөлөөт нөхцлийн цувралыг (хувьсагчаас хамааралгүй тоо) илэрхийлдэг.
Мөр вектор
Өмнөхтэй төстэй харах. Гурван тоон элементээс бүрдэх ба нэг мөрөнд зохион байгуулагдсан.
Диагональ төрөл
Зөвхөн үндсэн диагоналын бүрэлдэхүүн хэсгүүд (ногооноор тодруулсан) матрицын диагональ хэлбэрээр тоон утгыг авна. Үндсэн диагональ нь зүүн дээд буланд байгаа элементээс эхэлж баруун доод буланд байгаа элементээр төгсдөг. Үлдсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэг байна. Диагональ төрөл нь зөвхөн тодорхой дарааллын квадрат матриц юм. Диагональ хэлбэрийн матрицуудын дотроос скалярыг ялгаж болно. Бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь ижил утгыг авдаг.
Identity матриц
Диагональ матрицын дэд зүйл. Түүний бүх тоон утгууд нь нэгж юм. Нэг төрлийн матрицын хүснэгтийг ашиглан үндсэн хувиргалтыг хийх эсвэл анхныхаас урвуу матрицыг олоорой.
Каноник төрөл
Матрицын каноник хэлбэрийг гол хэлбэрүүдийн нэг гэж үздэг; үүн дээр цутгах нь ихэвчлэн ажиллах шаардлагатай байдаг. Каноник матриц дахь мөр, баганын тоо өөр бөгөөд энэ нь дөрвөлжин хэлбэртэй байх албагүй. Энэ нь таних матрицтай зарим талаараа төстэй боловч түүний тохиолдолд үндсэн диагоналын бүх бүрэлдэхүүн хэсэг нь нэгтэй тэнцүү утгыг авдаггүй. Хоёр буюу дөрвөн үндсэн диагональ нэгж байж болно (энэ нь бүгд матрицын урт, өргөнөөс хамаарна). Эсвэл огт нэгж байхгүй байж болно (тэгвэл үүнийг тэг гэж үзнэ). Каноник хэлбэрийн үлдсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд, диагональ болон таних тэмдэгийн элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.
Гурвалжны төрөл
Матрицын хамгийн чухал төрлүүдийн нэг бөгөөд тодорхойлогчийг хайх болон энгийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэхэд ашигладаг. Гурвалжин хэлбэр нь диагональ төрлөөс гаралтай тул матриц нь мөн дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Матрицын гурвалжин дүрсийг дээд гурвалжин ба доод гурвалжин гэж хуваана.
Дээд гурвалжин матрицад (Зураг 1) зөвхөн үндсэн диагональаас дээш байгаа элементүүд тэгтэй тэнцүү утгыг авна. Диагоналын бүрэлдэхүүн хэсэг болон түүний доорх матрицын хэсэг нь тоон утгыг агуулна.
Доод гурвалжин матрицад (Зураг 2) эсрэгээр матрицын доод хэсэгт байрлах элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.
Алхам матриц
Харагдах байдал нь матрицын зэрэглэлийг олох, түүнчлэн тэдгээрт хамаарах энгийн үйлдлүүдэд (гурвалжин хэлбэрийн хамт) шаардлагатай. Алхам матриц нь тэгийн шинж чанартай "алхмууд" (зурагт үзүүлсэн шиг) агуулсан учраас ийм нэртэй болсон. Шаталсан төрөлд тэгийн диагональ үүсдэг (үндсэн байх албагүй) бөгөөд энэ диагональ доорх бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү утгатай байна. Урьдчилсан нөхцөл нь дараах байдалтай байна: хэрэв алхамын матрицад тэг мөр байгаа бол түүний доорх үлдсэн мөрүүд тоон утгыг агуулаагүй болно.
Тиймээс бид тэдгээртэй ажиллахад шаардлагатай матрицын хамгийн чухал төрлүүдийг авч үзсэн. Одоо матрицыг шаардлагатай хэлбэрт хөрвүүлэх ажлыг авч үзье.
Гурвалжин хэлбэрт оруулах
Матрицыг хэрхэн гурвалжин хэлбэрт оруулах вэ? Ихэнх тохиолдолд даалгаврын хувьд тодорхойлогчийг олохын тулд матрицыг гурвалжин хэлбэрт хувиргах шаардлагатай болдог, өөрөөр хэлбэл тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Энэ процедурыг гүйцэтгэхдээ матрицын гол диагональыг "хадгалах" нь маш чухал бөгөөд учир нь гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь түүний үндсэн диагональын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үржвэр юм. Тодорхойлогчийг олох өөр аргуудыг танд сануулъя. Квадрат хэлбэрийн тодорхойлогчийг тусгай томьёо ашиглан олно. Жишээлбэл, та гурвалжингийн аргыг ашиглаж болно. Бусад матрицуудын хувьд мөр, багана эсвэл тэдгээрийн элементүүдээр задлах аргыг ашигладаг. Та мөн матрицын минор болон алгебрийн нэмэлтүүдийн аргыг хэрэглэж болно.
ДэлгэрэнгүйЗарим даалгаврын жишээн дээр матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулах үйл явцад дүн шинжилгээ хийцгээе.
Даалгавар 1
Танилцуулсан матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулах аргыг ашиглан тодорхойлогчийг олох шаардлагатай.
Бидэнд өгөгдсөн матриц нь 3-р эрэмбийн квадрат матриц юм. Тиймээс гурвалжин хэлбэрт шилжүүлэхийн тулд эхний баганын хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг, хоёр дахь баганын нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг хүчингүй болгох шаардлагатай.
Үүнийг гурвалжин хэлбэрт оруулахын тулд матрицын зүүн доод булан буюу 6-ын тооноос эхлэн хувиргалтыг эхлүүлнэ. Үүнийг тэг болгохын тулд эхний мөрийг гурваар үржүүлж, сүүлчийн эгнээнээс хасах хэрэгтэй.
Чухал! Дээд мөр нь өөрчлөгдөхгүй, гэхдээ анхны матрицтай ижил хэвээр байна. Анхны мөрийг дөрөв дахин дахин бичих шаардлагагүй. Гэхдээ бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нь хүчингүй болгох шаардлагатай мөрүүдийн утгууд байнга өөрчлөгдөж байдаг.
Дараа нь дараагийн утгыг авч үзье - эхний баганын хоёр дахь эгнээний элемент, дугаар 8. Эхний мөрийг дөрөвөөр үржүүлж, хоёр дахь эгнээнээс хас. Бид тэг авдаг.
Зөвхөн сүүлчийн утга үлдэнэ - хоёр дахь баганын гурав дахь эгнээний элемент. Энэ бол тоо (-1). Үүнийг тэг болгохын тулд эхний мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасна уу.
Шалгацгаая:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Тиймээс даалгаврын хариулт -22.
Даалгавар 2
Бид матрицын тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах замаар олох хэрэгтэй.
Төлөөлсөн матрицквадрат төрөлд хамаарах ба дөрөв дэх эрэмбийн матриц юм. Энэ нь эхний баганын гурван бүрэлдэхүүн хэсэг, хоёр дахь баганын хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг, гурав дахь баганын нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг тэглэх ёстой гэсэн үг.
Үүний бууралтыг зүүн доод буланд байрлах 4-р тооноос эхлүүлцгээе. Бид энэ тоог тэг болгох хэрэгтэй. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол дээд мөрийг дөрөвөөр үржүүлж, дараа нь дөрөв дэх эгнээнээс хасах явдал юм. Өөрчлөлтийн эхний шатны үр дүнг бичье.
Тиймээс дөрөв дэх мөрийн бүрэлдэхүүнийг тэг болгож тохируулсан. Гурав дахь мөрийн эхний элемент рүү шилжинэ 3. Бид ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Эхний мөрийг гурваар үржүүлж, гурав дахь мөрөөс нь хасаад үр дүнг бичнэ үү.
Дараа нь бид хоёр дахь мөрөнд 2-ын тоог харж байна. Бид үйлдлийг давтан хийнэ: дээд мөрийг хоёроор үржүүлж, хоёр дахь эгнээнээс хасна.
Бид энэ дөрвөлжин матрицын эхний баганын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэг болгож чадсан, үндсэн диагональын хувиргалт шаарддаггүй 1-р тооноос бусад элемент. Одоо гарсан тэгүүдийг хадгалах нь чухал тул бид багана биш мөрүүдээр хувиргах болно. Танилцуулсан матрицын хоёр дахь багана руу шилжье.
Сүүлийн мөрийн хоёр дахь баганын элементээс дахин доороос эхэлцгээе. Энэ бол тоо (-7). Гэхдээ энэ тохиолдолд гурав дахь эгнээний хоёр дахь баганын элемент болох (-1) тоогоор эхлэх нь илүү тохиромжтой. Үүнийг тэг болгохын тулд гурав дахь эгнээнээс хоёр дахь эгнээ хасах хэрэгтэй. Дараа нь бид хоёр дахь эгнээ долоогоор үржүүлж, дөрөв дэхээс нь хасна. Хоёрдахь баганын дөрөв дэх эгнээнд байрлах элементийн оронд бид тэг авсан. Одоо гурав дахь руугаа шилжьебагана.
Энэ баганад бид зөвхөн нэг тоо - 4-ийг тэг рүү эргүүлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхэд хялбар: сүүлийн мөрөнд гурав дахь тоог нэмээд бидэнд хэрэгтэй тэгийг хараарай.
Бүх өөрчлөлтийн дараа бид санал болгож буй матрицыг гурвалжин хэлбэртэй болгосон. Одоо түүний тодорхойлогчийг олохын тулд үндсэн диагональын үр дүнд үүссэн элементүүдийг үржүүлэхэд л хангалттай. Бид дараахийг олж авна: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Тиймээс шийдэл нь 160 тоо юм.
Тиймээс одоо матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулах асуулт танд хэцүү болгохгүй.
Үе шаттай хэлбэр рүү бууруулсан
Матриц дээрх анхан шатны үйлдлүүдэд шаталсан хэлбэр нь гурвалжин хэлбэрээс бага "шаардлагатай" байдаг. Энэ нь ихэвчлэн матрицын зэрэглэлийг (өөрөөр хэлбэл, тэг биш мөрүүдийн тоо) олох эсвэл шугаман хамааралтай ба бие даасан мөрүүдийг тодорхойлоход хэрэглэгддэг. Гэхдээ шаталсан матрицын харагдац нь зөвхөн дөрвөлжин хэлбэрт төдийгүй бусад бүх хэлбэрт тохиромжтой тул илүү уян хатан байдаг.
Матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулахын тулд эхлээд тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй. Үүний тулд дээрх аргууд тохиромжтой. Тодорхойлогчийг олох зорилго нь түүнийг алхам матриц руу хөрвүүлэх боломжтой эсэхийг олж мэдэх явдал юм. Хэрэв тодорхойлогч нь тэгээс их эсвэл бага байвал та даалгавраа аюулгүй үргэлжлүүлж болно. Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү бол матрицыг шаталсан хэлбэр болгон багасгахад ажиллахгүй. Энэ тохиолдолд та бичлэг эсвэл матрицын хувиргалтанд алдаа байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Хэрэв тийм алдаа байхгүй бол даалгаврыг шийдвэрлэх боломжгүй.
Хэрхэн болохыг харцгааяХэд хэдэн даалгаврын жишээг ашиглан матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулаарай.
Даалгавар 1. Өгөгдсөн матриц хүснэгтийн зэрэглэлийг ол.
Бидний өмнө гурав дахь эрэмбийн квадрат матриц (3x3) байна. Зэрэглэл олохын тулд шаталсан хэлбэрт оруулах шаардлагатай гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс бид эхлээд матрицын тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй. Гурвалжингийн аргыг ашиглан: detA=(1 х 5 х 0) + (2 х 1 х 2) + (6 х 3 х 4) - (1 х 1 х 4) - (2 х 3 х 0) - (6 х) 5 x 2)=12.
Тодорхойлогч=12. Энэ нь тэгээс их, энэ нь матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг. Түүний өөрчлөлтийг эхлүүлцгээе.
Гурав дахь эгнээний зүүн баганын элемент болох 2-оор эхэлцгээе. Дээд мөрийг хоёроор үржүүлж, гурав дахь эгнээнээс хасна. Энэ үйлдлийн ачаар бидэнд хэрэгтэй элемент болон 4-р тоо - гурав дахь эгнээний хоёр дахь баганын элемент - тэг болж хувирав.
Дараа нь эхний баганын хоёр дахь эгнээний 3-ын элементийг тэг болгож эргүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд дээд мөрийг гурваар үржүүлж, хоёр дахь эгнээнээс хасна.
Багасгаснаар гурвалжин матриц үүссэнийг бид харж байна. Манай тохиолдолд үлдсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэг болгох боломжгүй тул хувиргалтыг үргэлжлүүлэх боломжгүй.
Тиймээс бид энэ матрицад (эсвэл түүний зэрэглэл) тоон утгыг агуулсан мөрүүдийн тоо 3 байна гэж дүгнэж байна. Даалгаврын хариулт: 3.
Даалгавар 2. Энэ матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн тоог тодорхойл.
Бид ямар ч өөрчлөлтөөр буцаагдах боломжгүй мөрүүдийг олох хэрэгтэйтэг хүртэл. Үнэн хэрэгтээ бид тэг биш мөрүүдийн тоог эсвэл төлөөлүүлсэн матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд энгийн болгоё.
Бид квадрат төрөлд хамаарахгүй матрицыг харж байна. Энэ нь 3х4 хэмжээтэй. Мөн зүүн доод булангийн (-1) тооноос цутгалтыг эхлүүлье.
Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмнэ үү. Дараа нь түүнээс хоёр дахь тоог хасаад 5-ын тоог тэг болгоно.
Цаашид өөрчлөлт хийх боломжгүй. Тиймээс бид үүн дэх шугаман бие даасан мөрүүдийн тоо ба даалгаврын хариулт нь 3 байна гэж дүгнэж байна.
Одоо матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах нь таны хувьд боломжгүй ажил биш.
Эдгээр даалгаврын жишээн дээр бид матрицыг гурвалжин болон шаталсан хэлбэр болгон бууруулахад дүн шинжилгээ хийсэн. Матриц хүснэгтийн хүссэн утгыг хүчингүй болгохын тулд зарим тохиолдолд төсөөллийг харуулах, тэдгээрийн багана эсвэл мөрийг зөв хувиргах шаардлагатай байдаг. Математик болон матрицтай ажиллахад амжилт хүсье!
