Матрицын үржвэрийг хэрхэн олох вэ. Матрицын үржүүлэх. Матрицын скаляр үржвэр. Гурван матрицын үржвэр

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Матрицуудыг (тоон элементтэй хүснэгтүүд) янз бүрийн тооцоололд ашиглаж болно. Тэдгээрийн зарим нь тоо, вектор, өөр матриц, хэд хэдэн матрицаар үржүүлэх явдал юм. Бүтээгдэхүүн нь заримдаа буруу байдаг. Алдаатай үр дүн нь тооцооллын үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмийг үл тоомсорлосоны үр дүн юм. Үржүүлэх үйлдлийг хэрхэн хийхийг олж мэдье.

Матриц ба тоо

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе - тоо бүхий хүснэгтийг тодорхой утгаар үржүүлэх. Жишээлбэл, бидэнд a_ij элементүүд (i нь мөрийн дугаар, j нь баганын дугаар) ба e тоо бүхий А матрицтай байна. Матрицын e тооны үржвэр нь b_ij элементүүдтэй В матриц байх бөгөөд эдгээрийг:

томъёогоор олно.

b_ij=e × a_ij.

Т. e. b₁₁ элементийг авахын тулд та a₁₁ элементийг авч хүссэн тоогоор үржүүлээд b_{12-г авах хэрэгтэй.} a₁₂ элементийн үржвэр болон e тоо гэх мэтийг олох шаардлагатай.

Зурагт үзүүлсэн 1-р бодлогыг шийдье. В матрицыг авахын тулд А-аас элементүүдийг 3-аар үржүүлнэ:

1. a₁₁ × 3=18. Бид энэ утгыг B матрицад 1-р багана ба 1-р мөр огтлолцох газарт бичнэ.
2. a₂₁ × 3=15. Бид b₂₁ элемент авсан.
3. a₁₂ × 3=-6. Бид b₁₂ элементийг хүлээн авсан. Бид үүнийг №2 багана, №1 мөр огтлолцох газар B матрицад бичнэ.
4. a₂₂ × 3=9. Энэ үр дүн нь b₂₂ элемент юм.
5. a₁₃ × 3=12. Энэ тоог b₁₃ элементийн оронд матрицад оруулна уу.
6. a₂₃ × 3=-3. Сүүлийн хүлээн авсан тоо нь b₂₃ элемент юм.

Тиймээс бид тоон элементүүдтэй тэгш өнцөгт массивтай боллоо.

18	–6	12
15	9	–3

Векторууд ба матрицын үржвэр байх нөхцөл

Математикийн хичээлүүдэд "вектор" гэж байдаг. Энэ нэр томъёо нь ₁ -аас хүртэлх эрэмбэлэгдсэн багц утгыг илэрхийлдэг. Тэдгээрийг вектор орон зайн координат гэж нэрлэдэг ба багана хэлбэрээр бичдэг. Мөн "шилжүүлсэн вектор" гэсэн нэр томъёо байдаг. Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь стринг хэлбэрээр байрладаг.

Векторуудыг матриц гэж нэрлэж болно:

• баганын вектор нь нэг баганаас бүтээгдсэн матриц;
• мөр вектор нь зөвхөн нэг мөр агуулсан матриц юм.

Хийж дууссаны дарааүржүүлэх үйлдлүүдийн матрицууд дээр бүтээгдэхүүн байх нөхцөл байдгийг санах нь чухал. A × B тооцооллын үйлдлийг зөвхөн А хүснэгтийн баганын тоо нь В хүснэгтийн мөрийн тоотой тэнцүү үед л хийгдэх боломжтой. Тооцооллын үр дүнд үүссэн матриц нь үргэлж А хүснэгтийн мөрийн тоо болон баганын тоотой байна. хүснэгт B.

Үржүүлэх үед матрицуудыг (үржүүлэгч) дахин зохион байгуулахыг зөвлөдөггүй. Тэдний бүтээгдэхүүн нь ихэвчлэн үржүүлгийн шилжих (шилжүүлэх) хуультай тохирдоггүй, өөрөөр хэлбэл A × B үйлдлийн үр дүн нь B × A үйл ажиллагааны үр дүнтэй тэнцүү биш юм. Энэ шинж чанарыг бүтээгдэхүүний хувирах чадваргүй гэж нэрлэдэг. матрицууд. Зарим тохиолдолд A × B үржүүлгийн үр дүн нь B × A үржүүлгийн үр дүнтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн нь солигддог. A × B=B × A тэгш байдал хангагдсан матрицуудыг орлуулах матриц гэнэ. Ийм хүснэгтийн жишээг доороос харна уу.

Багананы вектороор үржүүлэх

Матрицыг баганын вектороор үржүүлэхдээ тухайн бүтээгдэхүүн байх нөхцөлийг харгалзан үзэх ёстой. Хүснэгт дэх баганын тоо (n) нь векторыг бүрдүүлж буй координатын тоотой тохирч байх ёстой. Тооцооллын үр дүн нь өөрчлөгдсөн вектор юм. Түүний координатын тоо нь хүснэгтийн шугамын тоотой (м) тэнцүү байна.

А матриц ба х вектор байгаа бол y векторын координатыг хэрхэн тооцох вэ? Үүсгэсэн тооцооллын хувьд:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

энд x₁, …, x нь x векторын координатууд, m нь матриц дахь мөрийн тоо ба тоо шинэ y- вектор дахь координатын тоо, n нь матриц дахь баганын тоо ба x вектор дахь координатын тоо, a₁₁, a_{12, …, a}mn– A матрицын элементүүд.

Тиймээс шинэ векторын i-р бүрэлдэхүүн хэсгийг авахын тулд скаляр үржвэрийг гүйцэтгэнэ. i-р эгнээний векторыг А матрицаас авсан бөгөөд үүнийг боломжтой х вектороор үржүүлнэ.

2-р асуудлыг шийдэцгээе. А нь 3 багана, х нь 3 координатаас тогтдог тул матриц ба векторын үржвэрийг олох боломжтой. Үүний үр дүнд бид 4 координат бүхий баганын векторыг авах ёстой. Дээрх томъёог ашиглацгаая:

1. Тооцоолох y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Эцсийн утга нь 2.
2. Тооцоолох y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Тооцоолохдоо бид 0 гарна.
3. Тооцоолох y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Заасан хүчин зүйлсийн үржвэрийн нийлбэр нь 6.
4. Тооцоолох y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координат нь -8.

Мөр вектор-матриц үржүүлэх

Та олон баганатай матрицыг мөр вектороор үржүүлэх боломжгүй. Ийм тохиолдолд ажил байгаа байх нөхцөл хангагдахгүй. Гэхдээ эгнээний векторыг матрицаар үржүүлэх боломжтой. Энэвектор дахь координатын тоо болон хүснэгтийн мөрийн тоо таарч байвал тооцооллын үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Вектор ба матрицын үржвэрийн үр дүн нь шинэ эгнээний вектор юм. Түүний координатын тоо нь матриц дахь баганын тоотой тэнцүү байх ёстой.

Шинэ векторын эхний координатыг тооцоолохдоо хүснэгтээс мөрийн вектор болон эхний баганын векторыг үржүүлнэ. Хоёр дахь координатыг ижил төстэй аргаар тооцдог боловч эхний баганын векторын оронд хоёр дахь баганын векторыг авна. Координатыг тооцоолох ерөнхий томъёо энд байна:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, энд y_k нь y-векторын координат, (k нь 1-ээс n хооронд), m нь матриц дахь мөрийн тоо ба координатын тоо юм. х векторт, n нь матриц дахь баганын тоо, у вектор дахь координатын тоо, үсэг тоон индекстэй a нь матрицын элементүүд юм.

Тэгш өнцөгт матрицын үржвэр

Энэ тооцоо төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Гэсэн хэдий ч үржүүлэх нь амархан хийгддэг. Тодорхойлолтоор эхэлье. m мөр, n баганатай А матриц, n мөр, p баганатай В матрицын үржвэр нь m мөр, p баганатай С матриц бөгөөд c_ij элемент нь А хүснэгтийн i-р эгнээ болон В хүснэгтийн j-р баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр. Энгийнээр хэлбэл c_ij элемент нь i-р эгнээний скаляр үржвэр юм. А хүснэгтийн вектор ба Б хүснэгтийн j-р баганын вектор.

Одоо тэгш өнцөгт матрицын үржвэрийг хэрхэн олохыг практик дээр бодож үзье. Үүний тулд 3-р асуудлыг шийдье. Бүтээгдэхүүн байх нөхцөл хангагдсан. Элементүүдийг тооцоолж эхэлцгээе c_ij:

1. Матриц С нь 2 мөр, 3 баганатай байна.
2. Элементийг тооцоолох c₁₁. Үүнийг хийхийн тулд бид А матрицаас 1-р эгнээний скаляр үржвэрийг, В матрицаас 1-р баганын үржвэрийг гүйцэтгэнэ. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Дараа нь бид ижил төстэй аргаар зөвхөн мөр, баганыг өөрчилнө (элементийн индексээс хамаарч).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Элементүүдийг тооцоолсон. Одоо зөвхөн хүлээн авсан тоонуудын тэгш өнцөгт блок хийх л үлдлээ.

16	12	9
31	18	36

Гурван матрицыг үржүүлэх: онолын хэсэг

Та гурван матрицын үржвэрийг олж чадах уу? Энэхүү тооцооллын үйл ажиллагаа нь хэрэгжих боломжтой. Үр дүнг хэд хэдэн аргаар авах боломжтой. Жишээлбэл, 3 квадрат хүснэгт (ижил дарааллаар) - A, B, C. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолохын тулд та:

1. Эхлээд А ба В-г үржүүлнэ. Дараа нь үр дүнг C-ээр үржүүлнэ.
2. Эхлээд В ба С-ийн үржвэрийг ол. Дараа нь А матрицыг үр дүнгээр үржүүлнэ.

Тэгш өнцөгт матрицыг үржүүлэх шаардлагатай бол эхлээд энэ тооцооллын үйлдлийг хийх боломжтой эсэхийг шалгах хэрэгтэй. байх ёстойA × B ба B × C бүтээгдэхүүнүүд байдаг.

Өсөлттэй үржүүлэх нь алдаа биш юм. "Матрицын үржүүлгийн ассоциатив" гэж байдаг. Энэ нэр томъёо нь тэгш байдлыг илэрхийлдэг (A × B) × C=A × (B × C).

Гурван матрицын үржүүлэх дадлага

Квадрат матриц

Жижиг квадрат матрицуудыг үржүүлж эхэл. Доорх зурагт бидний шийдэх ёстой 4-р асуудлыг харуулж байна.

Бид нийгэмлэгийн өмчийг ашиглах болно. Эхлээд бид A ба B, эсвэл B ба C-ийн аль нэгийг нь үржүүлнэ. Бид зөвхөн нэг зүйлийг санаж байна: та хүчин зүйлүүдийг сольж болохгүй, өөрөөр хэлбэл та B × A эсвэл C × B-ийг үржүүлж чадахгүй. Энэ үржүүлгийн тусламжтайгаар бид үржүүлгийн үржвэрийг олж авна. алдаатай үр дүн.

Шийдвэрийн явц.

Нэгдүгээр алхам. Нийтлэг үржвэрийг олохын тулд бид эхлээд А-г В-ээр үржүүлнэ. Хоёр матрицыг үржүүлэхдээ дээр дурдсан дүрмүүдийг баримтална. Тиймээс, A ба B-ийг үржүүлсний үр дүнд 2 мөр, 2 багана бүхий D матриц гарч ирнэ, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт массив нь 4 элементийг агуулна. Тооцооллыг хийснээр тэдгээрийг олцгооё:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Завсрын үр дүн бэлэн.

30	10
15	16

Хоёрдугаар алхам. Одоо D матрицыг С матрицаар үржүүлье. Үр дүн нь 2 мөр, 2 багана бүхий дөрвөлжин G матриц байх ёстой. Элементүүдийг тооцоолох:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Тиймээс квадрат матрицуудын үржвэрийн үр дүн нь тооцоолсон элементүүдтэй G хүснэгт болно.

250	180
136	123

Тэгш өнцөгт матрицууд

Доорх зурагт бодлогын дугаар 5-ыг харуулж байна. Тэгш өнцөгт матрицуудыг үржүүлж, шийдлийг олох шаардлагатай.

A × B ба B × C бүтээгдэхүүн байх нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая. Заасан матрицуудын дараалал нь үржүүлэх үйлдлийг хийх боломжийг олгодог. Асуудлыг шийдэж эхэлцгээе.

Шийдвэрийн явц.

Нэгдүгээр алхам. B-г C-ээр үржүүлбэл D. Б матриц нь 3 мөр, 4 багана, С матриц нь 4 мөр, 2 баганатай. Энэ нь бид 3 мөр, 2 багана бүхий D матрицыг авна гэсэн үг юм. Элементүүдийг тооцоолъё. Энд тооцооллын 2 жишээ байна:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Бид асуудлыг шийдсээр байна. Цаашдын тооцооллын үр дүнд бид d₂₁, d₂ утгуудыг оллоо. 2, d₃₁ болон d₃₂. Эдгээр элементүүд нь тус тус 0, 19, 1, 11 байна. Олдсон утгуудаа тэгш өнцөгт массив болгон бичье.

0	7
0	19
1	11

Хоёрдугаар алхам. Эцсийн F матрицыг авахын тулд A-г D-ээр үржүүл. Энэ нь 2 мөр, 2 баганатай болно. Элементүүдийг тооцоолох:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Гурван матрицыг үржүүлсний эцсийн үр дүн болох тэгш өнцөгт массив зохио.

1	139
3	52

Шууд ажлын танилцуулга

Матрицын Кронекерийн үржвэрийн материалыг ойлгоход маш хэцүү. Энэ нь бас нэмэлт нэртэй байдаг - шууд бүтээл. Энэ нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ? Бидэнд m × n зэрэглэлийн А хүснэгт, p × q зэрэглэлийн B хүснэгт байна гэж бодъё. А матриц ба В матрицын шууд үржвэр нь mp × nq эрэмбийн матриц юм.

Бидэнд A, B гэсэн 2 квадрат матриц байгаа бөгөөд тэдгээрийг зурагт үзүүлэв. Эхнийх нь 2 багана, 2 мөр, хоёр дахь нь 3 багана, 3 мөртэй. Шууд үржвэрээс үүссэн матриц нь 6 мөр, яг ижил тооны баганаас бүрдэхийг бид харж байна.

Шууд бүтээгдэхүүнд шинэ матрицын элементүүдийг хэрхэн тооцдог вэ? Хэрэв та зураг дээр дүн шинжилгээ хийвэл энэ асуултын хариултыг олоход маш хялбар болно. Эхлээд эхний мөрийг бөглөнө үү. А хүснэгтийн дээд эгнээний эхний элементийг авч, эхний эгнээний элементүүдээр дараалан үржүүлнэ. Б хүснэгтээс. Дараа нь А хүснэгтийн эхний эгнээний хоёр дахь элементийг авч, В хүснэгтийн эхний эгнээний элементүүдээр дараалан үржүүлнэ. Хоёр дахь мөрийг дүүргэхийн тулд А хүснэгтийн эхний эгнээний эхний элементийг дахин авч, Үүнийг B хүснэгтийн хоёр дахь эгнээний элементүүдээр үржүүлнэ.

Шууд үржвэрээр олж авсан эцсийн матрицыг блок матриц гэнэ. Хэрэв бид зургийг дахин шинжилбэл бидний үр дүн 4 блокоос бүрдэж байгааг харж болно. Эдгээр нь бүгд B матрицын элементүүдийг агуулна. Нэмж хэлэхэд, блок бүрийн элементийг А матрицын тодорхой элементээр үржүүлнэ. Эхний блокт бүх элементүүдийг a₁₁-аар үржүүлнэ. хоёрдугаарт - a_{12, гуравт - a}21_{, дөрөвт - a}22.

Бүтээгдэхүүний тодорхойлогч

Матрицын үржвэрийн сэдвийг авч үзэхдээ “матрицын үржвэрийг тодорхойлогч” гэх нэр томъёог авч үзэх нь зүйтэй. Тодорхойлогч гэж юу вэ? Энэ нь квадрат матрицын чухал шинж чанар бөгөөд энэ матрицад оноогдсон тодорхой утга юм. Тодорхойлогчийн шууд утга нь det.

Хоёр багана, хоёр мөрөөс бүрдэх А матрицын хувьд тодорхойлогчийг олоход хялбар байдаг. Тодорхой элементүүдийн бүтээгдэхүүний хоорондох ялгаа болох жижиг томьёо байдаг:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Хоёрдугаар эрэмбийн хүснэгтийн тодорхойлогчийг тооцоолох жишээг авч үзье. a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 ба a гэсэн матриц А байна.22_{=1. Тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд:} томъёог ашиглана.

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

3 × 3 матрицын хувьд тодорхойлогчийг илүү төвөгтэй томъёогоор тооцоолно. Үүнийг A матрицын хувьд доор үзүүлэв:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Томьёог санахын тулд бид гурвалжны дүрмийг санаачилсан бөгөөд үүнийг зурган дээр харуулсан болно. Нэгдүгээрт, үндсэн диагональ элементүүдийг үржүүлнэ. Улаан талтай гурвалжны өнцгөөр заасан эдгээр элементүүдийн бүтээгдэхүүнийг олж авсан утгад нэмнэ. Дараа нь хоёрдогч диагональын элементүүдийн үржвэрийг хасаж, цэнхэр талтай гурвалжны булангаар заасан элементүүдийн үржвэрийг хасна.

Одоо матрицуудын үржвэрийн тодорхойлогчийн тухай ярья. Энэ үзүүлэлт нь үржүүлэгчийн хүснэгтүүдийн тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү гэсэн теорем байдаг. Үүнийг жишээгээр баталгаажуулъя. Бидэнд a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 ба aоролттой А матриц байна. 22_{=1 ба оролттой B матриц b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 ба b}22_{=2. A ба B матрицын тодорхойлогч, A × B үржвэр болон энэ үржвэрийн тодорхойлогчийг ол.}

Шийдвэрийн явц.

Нэгдүгээр алхам. А-ийн тодорхойлогчийг тооцоол: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Дараа нь B-ийн тодорхойлогчийг тооцоол: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Хоёрдугаар алхам. Олъёбүтээгдэхүүн A × B. Шинэ матрицыг C үсгээр тэмдэглэ. Түүний элементүүдийг тооцоол:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Гуравдугаар алхам. С-ийн тодорхойлогчийг тооцоол: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Анхны матрицуудын тодорхойлогчдыг үржүүлж олж болох утгатай харьцуул. Тоонууд нь адилхан. Дээрх теорем үнэн.

Бүтээгдэхүүний зэрэглэл

Матрицын зэрэглэл нь шугаман бие даасан мөр, баганын хамгийн их тоог тусгасан шинж чанар юм. Зэрэглэлийг тооцоолохын тулд матрицын энгийн хувиргалтуудыг гүйцэтгэнэ:

• хоёр зэрэгцээ эгнээний дахин зохион байгуулалт;
• хүснэгтийн тодорхой мөрийн бүх элементүүдийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;
• нэг эгнээний элементүүдэд нөгөө эгнээний элементүүдийг нэмж, тодорхой тоогоор үржүүлнэ.

Эхний хувиргалт хийсний дараа тэгээс бусад мөрүүдийн тоог харна уу. Тэдний тоо нь матрицын зэрэг юм. Өмнөх жишээг авч үзье. Энэ нь 2 матрицыг үзүүлсэн: a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 элементүүдтэй A ба a₂₂ =1 ба B элементтэй b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 ба b}22_{=2. Үржүүлгийн үр дүнд олж авсан С матрицыг мөн ашиглана. Хэрэв бид энгийн хувиргалт хийвэл хялбаршуулсан матрицуудад тэг мөр байхгүй болно. Энэ нь хүснэгтийн А зэрэглэл, В хүснэгтийн зэрэглэл, зэрэглэл хоёулаа гэсэн үг юмC хүснэгт нь 2.}

Одоо матрицуудын үржвэрийн зэрэглэлд онцгой анхаарал хандуулцгаая. Тоон элемент агуулсан хүснэгтийн үржвэрийн зэрэглэл нь аль нэг хүчин зүйлийн зэрэглэлээс хэтрэхгүй гэсэн теорем байдаг. Үүнийг нотлох боломжтой. А нь k × s матриц, В нь s × m матриц байг. A ба B-ийн үржвэр нь C-тэй тэнцүү.

Дээрх зургийг судалж үзье. Энэ нь С матрицын эхний багана ба түүний хялбаршуулсан тэмдэглэгээг харуулж байна. Энэ багана нь А матрицад багтсан багануудын шугаман хослол юм. Үүний нэгэн адил тэгш өнцөгт C массиваас бусад баганын талаар хэлж болно. Иймд C хүснэгтийн баганын векторуудын үүсгэсэн дэд орон зай нь дараах дэд орон зайд байна. А хүснэгтийн баганын векторууд. Иймээс 1-р дэд орон зайн хэмжээ нь 2-р дэд орон зайны хэмжээнээс хэтрэхгүй байна. Энэ нь хүснэгтийн С-ийн баганын зэрэглэл нь А хүснэгтийн баганын зэрэглэлээс хэтрэхгүй гэсэн үг юм. өөрөөр хэлбэл, r(C) ≦ r(A). Хэрэв бид үүнтэй адил мэтгэлцэх юм бол С матрицын мөрүүд нь В матрицын мөрүүдийн шугаман хослолууд гэдгийг баталж чадна. Энэ нь r(C) ≦ r(B) тэгш бус байдлыг илэрхийлнэ.

Матрицын үржвэрийг хэрхэн олох вэ гэдэг бол нэлээд төвөгтэй сэдэв юм. Үүнийг амархан эзэмшиж болох ч ийм үр дүнд хүрэхийн тулд та одоо байгаа бүх дүрэм, теоремуудыг цээжлэхэд маш их цаг зарцуулах шаардлагатай болно.