Алгебрийн тэгш бус байдал эсвэл тэдгээрийн шийдлийг интеграл эсвэл бүхэл тоогоор хайдаг рационал коэффициент бүхий системүүд. Дүрмээр бол Диофантийн тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх тоо илүү их байдаг. Тиймээс тэдгээрийг мөн тодорхойгүй тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Орчин үеийн математикт дээрх ойлголтыг Q-рациональ хувьсагчдын талбар, p-адик хувьсагчдын талбар гэх мэт алгебрийн бүхэл тоогоор шийддэг алгебрийн тэгшитгэлд ашигладаг.
Эдгээр тэгш бус байдлын гарал үүсэл
Диофантын тэгшитгэлийн судалгаа нь тооны онол ба алгебрийн геометрийн зааг дээр байдаг. Бүхэл тоон хувьсагчдаас шийдлийг олох нь математикийн хамгийн эртний асуудлуудын нэг юм. МЭӨ 2-р мянганы эхээр аль хэдийн. Эртний Вавилончууд хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадсан. Математикийн энэ салбар эртний Грект хамгийн их хөгжсөн. Диофантын арифметик (МЭ 3-р зуун) нь янз бүрийн төрөл, тэгшитгэлийн системийг агуулсан чухал бөгөөд гол эх сурвалж юм.
Энэ номондоо Диофант хоёр ба гурав дахь тэгш бус байдлыг судлах хэд хэдэн аргыг зөгнөсөн байдаг.19-р зуунд бүрэн хөгжсөн зэрэг. Эртний Грекийн энэ судлаач рационал тооны онолыг бий болгосноор тодорхойгүй системүүдийн логик шийдлүүдийг шинжлэхэд хүргэсэн бөгөөд үүнийг номондоо системтэйгээр мөрддөг. Хэдийгээр түүний ажил нь тодорхой Диофантийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг агуулсан боловч түүнийг хэд хэдэн ерөнхий аргуудыг мэддэг байсан гэж үзэх үндэслэл бий.
Эдгээр тэгш бус байдлыг судлах нь ихэвчлэн ноцтой бэрхшээлтэй холбоотой байдаг. Бүхэл тооны коэффициент F (x, y1, …, y) бүхий олон гишүүнтүүдийг агуулж байгаа тул. Үүний үндсэн дээр F (x, y1, …., y тэгшитгэл нь өгөгдсөн x-ийн хувьд тодорхойлоход ашиглаж болох ганц алгоритм байхгүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.). Нөхцөл байдлыг y1, …, y шийдвэрлэх боломжтой. Ийм олон гишүүнтийн жишээг бичиж болно.
Хамгийн энгийн тэгш бус байдал
ax + by=1, энд a ба b нь харьцангуй бүхэл ба анхны тоонууд бол маш олон гүйцэтгэлтэй (х0, y0 бол үр дүн үүсч, дараа нь x=x0 + b ба y=y0 хос хувьсагч бий болно. -an, энд n нь дурын бөгөөд тэгш бус байдал гэж тооцогдоно). Диофантийн тэгшитгэлийн өөр нэг жишээ бол x2 + y2 =z2 юм. Энэхүү тэгш бус байдлын эерэг интеграл шийдүүд нь жижиг талуудын уртууд юм x, y ба тэгш өнцөгт гурвалжнууд, түүнчлэн бүхэл талын хэмжээс бүхий гипотенуз z. Эдгээр тоонуудыг Пифагорын тоо гэж нэрлэдэг. Анхны тоогоор гурван ихрийг заасанДээрх хувьсагчдыг x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, энд m ба n нь бүхэл тоо ба анхны тоо (m>n>0).
Диофант "Арифметик"-дээ өөрийн тэгш бус байдлын тусгай төрлүүдийн оновчтой (заавал интеграл биш) шийдлийг эрэлхийлдэг. Нэгдүгээр зэргийн диофант тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий онолыг 17-р зуунд C. G. Baschet боловсруулсан. 19-р зууны эхэн үеийн бусад эрдэмтэд ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, гэх мэт ижил төстэй тэгш бус байдлыг голчлон судалсан. Үүнд: a, b, c, d, e, f нь ерөнхий, нэг төрлийн бус, хоёр дахь зэрэглэлийн хоёр үл мэдэгдэх. Лагранж судалгаандаа үргэлжилсэн бутархайг ашигласан. Квадрат хэлбэрийн хувьд Гаусс зарим төрлийн шийдлийн үндэс суурь болсон ерөнхий онолыг боловсруулсан.
Эдгээр 2-р зэргийн тэгш бус байдлыг судлахад зөвхөн 20-р зуунд мэдэгдэхүйц ахиц дэвшил гарсан. A. Thue Диофантийн тэгшитгэл нь a0x + a1xn- 1 болохыг олж мэдэв. y +…+a y =c, энд n≧3, a0, …, a , c бүхэл тоо, a0tn + …+ a нь хязгааргүй тооны бүхэл тооны шийдтэй байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч Thue-ийн аргыг зохих ёсоор хөгжүүлээгүй. А. Бейкер ийм төрлийн зарим тэгшитгэлийн гүйцэтгэлийн тооцоог өгдөг үр дүнтэй теоремуудыг бүтээжээ. BN Delaunay эдгээр тэгш бус байдлын нарийвчилсан ангилалд хамаарах судалгааны өөр аргыг санал болгосон. Ялангуяа ax3 + y3 =1 маягтыг ийм байдлаар бүрэн шийдвэрлэх боломжтой.
Диофантины тэгшитгэл: шийдвэрлэх аргууд
Диофантын онол олон чиглэлтэй. Иймээс энэ системийн нэгэн алдартай асуудал бол диофантийн тэгшитгэлийн өчүүхэн бус шийдэл байхгүй гэсэн таамаглал юм xn + y =z n хэрэв n ≧ 3 (Фермагийн асуулт). Тэгш бус байдлын бүхэл биелэлтийг судлах нь Пифагорын гурвалсан асуудлын жам ёсны ерөнхий дүгнэлт юм. Эйлер n=4-ийн хувьд Фермагийн бодлогын эерэг шийдлийг олж авсан. Энэ үр дүнгийн ачаар n нь сондгой анхны тоо бол тэгшитгэлийн 0-ээс өөр судалгаа, алга болсон бүхэл тооны нотолгоонд хамаарна.
Шийдвэртэй холбоотой судалгаа дуусаагүй байна. Үүнийг хэрэгжүүлэхэд тулгарч буй бэрхшээл нь алгебрийн бүхэл тоон цагираг дахь энгийн хүчин зүйлчлэл нь өвөрмөц биштэй холбоотой юм. Энэ систем дэх n анхны илтгэгчийн олон ангиллын хуваагчийн онол нь Фермагийн теоремын үнэн зөвийг батлах боломжтой болгодог. Ийнхүү хоёр үл мэдэгдэх диофантийн шугаман тэгшитгэл нь одоо байгаа арга, арга замаар биелдэг.
Тодорхойлсон ажлуудын төрөл, төрөл
Алгебрийн бүхэл тоонуудын цагирагийн арифметикийг бусад олон бодлого, диофант тэгшитгэлийн шийдлүүдэд мөн ашигладаг. Жишээлбэл, N(a1 x1 +…+ a хэлбэрийн тэгш бус байдлыг хангахад ийм аргыг ашигласан. x)=m, энд N(a) нь a-ийн норм ба x1, …, xn интеграл рационал хувьсагч олдлоо. Энэ ангид Pell тэгшитгэл багтана x2–dy2=1.
А1, …, a гэсэн утгууд нь эдгээр тэгшитгэлийг хоёр төрөлд хуваадаг. Эхний төрөл буюу бүрэн хэлбэр гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлүүд нь Q рационал хувьсагчдын талбарт m шугаман бие даасан тоо байх бөгөөд энд m=[Q(a1, …, a):Q], Q дээр алгебрийн илтгэгчийн зэрэгтэй Q (a1, …, a ). Бүрэн бус зүйлүүд нь хамгийн их тоо ньi м-ээс бага.
Бүрэн маягт нь илүү энгийн, судалгаа нь бүрэн хийгдсэн, бүх шийдлийг тайлбарлах боломжтой. Хоёр дахь төрөл болох бүрэн бус төрөл зүйл нь илүү төвөгтэй бөгөөд ийм онолыг боловсруулах ажил хараахан дуусаагүй байна. Ийм тэгшитгэлийг F(x, y)=C тэгш бус байдлыг багтаасан диофантийн ойролцоо тооцооллыг ашиглан судалдаг ба F (x, y) нь n≧3 зэрэглэлийн бууруулж болохгүй, нэгэн төрлийн олон гишүүнт юм. Тиймээс бид yi→∞ гэж таамаглаж болно. Үүний дагуу хэрэв yi хангалттай том бол тэгш бус байдал нь Тью, Сигель, Ротын теоремтой зөрчилдөх бөгөөд үүнээс F(x, y)=C, F нь энд байна. Гурав дахь зэрэг буюу түүнээс дээш хэлбэр, бууруулж болохгүй нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй байж болохгүй.
Диофантын тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Энэ жишээ бол бүх хүмүүсийн дунд нэлээд явцуу анги юм. Жишээ нь, энгийн хэдий ч x3 + y3 + z3=N, болон x2 +y 2 +z2 +u2 =N энэ ангид ороогүй болно. Шийдлийн судалгаа нь Диофант тэгшитгэлийн нэлээд нухацтай судлагдсан салбар бөгөөд үндэс нь тоон квадрат хэлбэрээр дүрслэх явдал юм. ЛагранжБүх натурал N-д биелэх нь бий гэсэн теоремыг үүсгэсэн. Аливаа натурал тоог гурван квадратын нийлбэрээр (Гаусын теорем) төлөөлж болох боловч 4a хэлбэртэй байж болохгүй. (8K- 1), энд a ба k нь сөрөг бус бүхэл тоон үзүүлэлт.
F төрлийн диофант тэгшитгэлийн системийн рационал буюу интеграл шийд (x1, …, x)=a, энд F (x 1, …, x) нь бүхэл тооны коэффициент бүхий квадрат хэлбэр юм. Ийнхүү Минковски-Хассе теоремын дагуу ∑aijxixj=b ijтэгш бус байдал. бол b нь рациональ, зөвхөн энэ бүтцээр шийдэгдэх боломжтой p анхны тоо бүрийн хувьд бодит ба p-адик тоонуудын интеграл шийдтэй байна.
Угаас хүндрэлтэй байдлаас шалтгаалан 3-р зэрэг болон түүнээс дээш дурын хэлбэртэй тоонуудыг судлах нь бага хэмжээгээр судлагдсан. Гүйцэтгэлийн гол арга бол тригонометрийн нийлбэрийн арга юм. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдүүдийн тоог Фурье интегралаар тодорхой бичнэ. Үүний дараа хүрээлэн буй орчны аргыг харгалзах нийцлийн тэгш бус байдлын биелэлтийн тоог илэрхийлэхэд ашигладаг. Тригонометрийн нийлбэрийн арга нь тэгш бус байдлын алгебрийн шинж чанараас хамаарна. Шугаман диофант тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон тооны энгийн аргууд байдаг.
Диофантин шинжилгээ
Алгебрын тэгшитгэлийн системийн интеграл ба рационал шийдлүүдийг геометрийн аргаар судалдаг математикийн тэнхим.бөмбөрцөг. 19-р зууны хоёрдугаар хагаст энэхүү тооны онол гарч ирснээр коэффициент бүхий дурын талбараас диофантийн тэгшитгэлийг судлахад хүргэсэн бөгөөд шийдлүүдийг түүний дотор эсвэл цагирагт нь авч үзсэн. Алгебрийн функцүүдийн систем нь тоонуудтай зэрэгцэн хөгжсөн. Д. Хилберт, тэр дундаа Л. Кронекер нарын онцолсон энэ хоёрын үндсэн зүйрлэл нь янз бүрийн арифметик ухагдахууныг нэгэн жигд бүтээхэд хүргэсэн бөгөөд үүнийг ихэвчлэн глобал гэж нэрлэдэг.
Тогтмолуудын хязгаарлагдмал талбарт судалж буй алгебрийн функцууд нэг хувьсагчтай байвал энэ нь ялангуяа мэдэгдэхүйц юм. Ангийн талбайн онол, хуваагч, салаалах, үр дүн гэх мэт ойлголтууд нь дээрхийг сайн харуулж байна. Энэхүү үзэл бодлыг диофантийн тэгш бус байдлын системд хожим нь нэвтрүүлсэн бөгөөд зөвхөн тоон коэффициент төдийгүй функц болох коэффициент бүхий системчилсэн судалгаа зөвхөн 1950-иад оноос эхэлсэн. Энэ хандлагын шийдвэрлэх хүчин зүйлүүдийн нэг нь алгебрийн геометрийн хөгжил байв. Нэг сэдвийн адил чухал хоёр тал болох тоо, функцийн талбарыг нэгэн зэрэг судалсан нь гоёмсог бөгөөд үнэмшилтэй үр дүнг өгөөд зогсохгүй, хоёр сэдвийг харилцан баяжуулахад хүргэсэн.
Алгебрийн геометрийн хувьд олон янзын тухай ойлголтыг өгөгдсөн K талбар дээрх хувьсах бус тэгш бус байдлын олонлогоор сольж, тэдгээрийн шийдлүүдийг K утгууд эсвэл түүний хязгаарлагдмал өргөтгөлтэй оновчтой цэгүүдээр сольдог. Тиймээс диофантийн геометрийн үндсэн асуудал бол оновчтой цэгүүдийг судлах явдал гэж хэлж болноX(K) алгебрийн олонлогын X нь K талбарт тодорхой тоонууд байна. Бүхэл тоон гүйцэтгэл нь шугаман диофант тэгшитгэлд геометрийн утгатай.
Тэгш бус байдлын судалгаа ба гүйцэтгэлийн сонголтууд
Алгебрийн сортуудын рационал (эсвэл интеграл) цэгүүдийг судлахад хамгийн эхний асуудал гарч ирдэг бөгөөд энэ нь тэдгээрийн оршин тогтнох явдал юм. Хилбертийн арав дахь асуудлыг энэ асуудлыг шийдэх ерөнхий аргыг олох асуудал гэж томъёолсон. Алгоритмын яг тодорхой тодорхойлолтыг бий болгох явцад олон тооны асуудалд ийм гүйцэтгэл байхгүй нь батлагдсаны дараа асуудал нь тодорхой сөрөг үр дүнд хүрсэн бөгөөд хамгийн сонирхолтой асуулт бол Диофант тэгшитгэлийн ангиудын тодорхойлолт юм. Үүний тулд дээрх систем байдаг. Алгебрийн үүднээс авч үзвэл хамгийн энгийн арга бол Хассегийн зарчим гэж нэрлэгддэг: анхны K талбарыг бүх боломжит тооцооллын дагуу Kv төгсөлтийн хамт судалдаг. X(K)=X(Kv) нь оршин байх зайлшгүй нөхцөл бөгөөд K цэг нь X(Kv олонлогийг харгалзан үздэг.) бүх v.-д хоосон биш байна
Хоёр асуудлыг нэгтгэж байгаад чухал ач холбогдолтой. Хоёр дахь нь илүү энгийн бөгөөд үүнийг мэддэг алгоритмаар шийдэж болно. Төрөл бүрийн X нь проекц байх тохиолдолд Hansel-ийн лемма ба түүний ерөнхий дүгнэлтүүд нь цаашдын бууралтыг боломжтой болгодог: асуудлыг хязгаарлагдмал талбар дээрх оновчтой цэгүүдийг судлах хүртэл багасгаж болно. Дараа нь тэр тууштай судалгаа эсвэл илүү үр дүнтэй аргуудаар дамжуулан үзэл баримтлалыг бий болгохоор шийддэг.
СүүлдАнхаарах нэг чухал зүйл бол X(Kv) олонлогууд нь хязгаарлагдмал тооны v-ээс бусад бүхний хувьд хоосон биш байдаг тул нөхцлүүдийн тоо үргэлж хязгаарлагдмал байдаг бөгөөд тэдгээрийг үр дүнтэйгээр шалгаж болно. Гэсэн хэдий ч Хассегийн зарчим градусын муруйд хамаарахгүй. Жишээлбэл, 3x3 + 4y3=5 нь бүх p-adic тооны талбарт оноотой ба бодит тооны системд байгаа боловч оновчтой цэг байхгүй.
Энэ арга нь Хассегийн зарчмаас "газайлт" хийх Абелийн сортуудын үндсэн нэгэн төрлийн орон зайн ангиллыг тодорхойлсон үзэл баримтлалыг бий болгох эхлэлийн цэг болсон. Энэ нь олон талт бүртэй (Тэйт-Шафаревичийн бүлэг) холбоотой байж болох тусгай бүтцийн хувьд тодорхойлогддог. Онолын гол бэрхшээл нь бүлгүүдийг тооцоолох аргыг олж авахад хэцүү байдагт оршино. Энэ ойлголтыг алгебрийн сортуудын бусад ангиудад мөн өргөтгөсөн.
Тэгш бус байдлыг хангах алгоритм хайх
Диофантын тэгшитгэлийг судлахад ашигладаг өөр нэг эвристик санаа бол тэгш бус байдлын багцад хамаарах хувьсагчдын тоо их байвал систем нь ихэвчлэн шийдэлтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ нь аливаа тодорхой тохиолдолд нотлоход маш хэцүү байдаг. Энэ төрлийн асуудалд ерөнхий хандлага нь аналитик тооны онолыг ашигладаг бөгөөд тригонометрийн нийлбэрүүдийн тооцоонд суурилдаг. Энэ аргыг анх тусгай төрлийн тэгшитгэлд хэрэглэж байсан.
Гэвч сондгой зэрэглэлийн хэлбэр нь F бол d-д байдаг нь хожим түүний тусламжтайгаар батлагдсан.ба n хувьсагчтай ба рационал коэффициенттэй бол n нь d-тэй харьцуулахад хангалттай том тул проекцын хэт гадаргуу F=0 нь рационал цэгтэй байна. Артины таамаглалаар энэ үр дүн n > d2 байсан ч үнэн байна.. Энэ нь зөвхөн квадрат хэлбэрийн хувьд батлагдсан. Үүнтэй төстэй асуудлуудыг бусад салбарт ч асууж болно. Диофантийн геометрийн гол асуудал бол бүхэл тоо буюу рационал цэгүүдийн олонлогын бүтэц, тэдгээрийг судлах асуудал бөгөөд энэ олонлог хязгаарлагдмал эсэх талаар тодруулах ёстой хамгийн эхний асуулт юм. Энэ асуудлын хувьд системийн зэрэг нь хувьсагчийн тооноос хамаагүй их байвал нөхцөл байдал нь ихэвчлэн хязгаарлагдмал тооны гүйцэтгэлтэй байдаг. Энэ бол үндсэн таамаглал юм.
Шугаман ба муруй дээрх тэгш бус байдал
X(K) бүлгийг r зэрэглэлийн чөлөөт бүтэц ба n эрэмбийн төгсгөлөг бүлгийн шууд нийлбэрээр илэрхийлж болно. 1930-аад оноос хойш эдгээр тоо нь өгөгдсөн K талбар дээрх бүх зууван муруйн олонлогт хязгаарлагдмал байх эсэх асуудлыг судалж байна.. n мушгиралтын хязгаарлагдмал байдлыг 70-аад онд харуулсан. Функциональ тохиолдолд дурын өндөр зэрэглэлийн муруйнууд байдаг. Тоон тохиолдолд энэ асуултад хариулт алга байна.
Эцэст нь, Морделлийн таамаглалд g>1 төрлийн муруйн хувьд интеграл цэгүүдийн тоо хязгаарлагдмал байна гэж заасан. Функциональ тохиолдолд энэ үзэл баримтлалыг 1963 онд Ю. И. Манин харуулсан. Диофантийн геометрийн төгсгөлийн теоремуудыг батлахад ашигладаг гол хэрэгсэл бол өндөр юм. Алгебрийн сортуудын нэгээс дээш хэмжээс нь абелийн хэмжээ юмЗууван муруйны олон хэмжээст аналогууд болох олон талт муруйнуудыг хамгийн нарийн судалсан.
А. Вайл рационал цэгүүдийн бүлгийн генераторын тооны хязгаарлагдмал байдлын тухай теоремыг аль ч хэмжээсийн Абелийн сортуудад (Мордол-Вейлийн үзэл баримтлал) нэгтгэж, үүнийг өргөтгөсөн. 1960-аад онд Бирч, Свиннертон-Дайер нарын таамаглал гарч ирснээр энэ болон олон талт бүлгийн зета функцийг сайжруулсан. Энэ таамаглалыг тоон баримт нотолж байна.
Шийдэх чадварын асуудал
Аливаа диофантийн тэгшитгэл шийдэлтэй эсэхийг тодорхойлох алгоритмыг олох асуудал. Асуудлын чухал шинж чанар бол аливаа тэгш бус байдалд тохирсон бүх нийтийн аргыг хайх явдал юм. Ийм арга нь P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 эсвэл p21+ ⋯ + P2K=0-тэй тэнцэх тул дээрх системийг шийдвэрлэх боломжийг олгоно. n12+⋯+pK2=0. Бүхэл тоон дахь шугаман тэгш бус байдлын шийдлийг олох ийм түгээмэл аргыг олох асуудлыг Д. Гилберт.
1950-иад оны эхээр Диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм байхгүй гэдгийг нотлох зорилготой анхны судалгаанууд гарч ирэв. Энэ үед Дэвисийн таамаглал гарч ирсэн бөгөөд энэ нь ямар ч тоолж болох олонлог нь Грекийн эрдэмтэнд хамаарна гэсэн үг юм. Учир нь алгоритмын хувьд шийдэгдээгүй олонлогийн жишээнүүд мэдэгдэж байгаа боловч рекурсив тоолох боломжтой байдаг. Үүнээс үзэхэд Дэвисийн таамаг үнэн бөгөөд эдгээр тэгшитгэлийн шийдлийн асуудал гарч ирнэсөрөг гүйцэтгэлтэй байна.
Үүний дараа Дэвисийн таамаглалын хувьд нэгэн зэрэг шийдэлтэй (эсвэл үгүй) тэгш бус байдлыг хувиргах арга байдаг гэдгийг батлахад л үлдэж байна. Дээрх хоёр шинж чанартай бол диофантийн тэгшитгэлийн ийм өөрчлөлт боломжтой болохыг харуулсан: 1) энэ төрлийн аливаа шийдэлд v ≦ uu; 2) дурын k-ийн хувьд экспоненциал өсөлттэй гүйцэтгэл байна.
Энэ ангийн шугаман диофантийн тэгшитгэлийн жишээ нь нотолгоог гүйцээж өгсөн. Эдгээр тэгш бус байдлыг оновчтой тоонуудын хувьд шийдвэрлэх, хүлээн зөвшөөрөх алгоритм байгаа эсэх асуудал нь хангалттай судлагдаагүй чухал бөгөөд нээлттэй асуулт хэвээр байна.
