Тойрог гэж юу болох талаар ерөнхий ойлголттой болохын тулд бөгж эсвэл цагирагыг хараарай. Та мөн дугуй шил, аяга авч, цаасан дээр доош нь доош нь тавьж, харандаагаар дугуйлж болно. Олон удаа томруулж үзвэл үүссэн шугам нь зузаан, жигд биш болж, ирмэг нь бүдэгрэх болно. Геометрийн дүрс болох тойрог нь зузаан гэх мэт шинж чанартай байдаггүй.
Тойрог: тодорхойлолт ба тайлбарын үндсэн хэрэгсэл
Тойргийн төвөөс ижил зайд орших нэг хавтгайд байрлах цэгүүдийн багцаас бүрдэх битүү муруйг тойрог гэнэ. Энэ тохиолдолд төв нь нэг хавтгайд байна. Дүрмээр бол энэ нь O үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.
Тойргийн аль нэг цэгээс төв хүртэлх зайг радиус гэж нэрлэх ба R үсгээр тэмдэглэнэ.
Хэрэв та тойргийн аль нэг хоёр цэгийг холбовол үүссэн сегментийг хөвч гэж нэрлэнэ. Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрч буй хөвч нь D үсгээр тэмдэглэсэн диаметр юм. Диаметр нь тойргийг хоёр тэнцүү нум болгон хувааж, радиусын уртаас хоёр дахин их байна. Тэгэхээр D=2R, эсвэл R=D/2.
Хордын шинж чанарууд
- Хэрэв та тойргийн дурын хоёр цэгээр хөвч зурж, дараа нь радиус эсвэл диаметрийг перпендикуляр зурвал энэ сегмент нь хөвч болон түүгээр таслагдсан нумыг хоёуланг нь хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Мөн эсрэгээр нь үнэн: хэрэв радиус (диаметр) хөвчийг хагасаар хуваавал түүнд перпендикуляр байна.
- Хэрэв нэг тойрог дотор хоёр зэрэгцээ хөвч зурвал тэдгээрийн таслагдсан болон тэдгээрийн хооронд бэхлэгдсэн нумууд тэнцүү байна.
- Т цэгт тойрог дотор огтлолцсон PR ба QS хоёр хөвчийг зуръя. Нэг хөвчийн хэрчмүүдийн үржвэр нь үргэлж нөгөө хөвчийн сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл PT x TR=QT x TS.
Тойрог: ерөнхий ойлголт ба үндсэн томьёо
Энэ геометрийн дүрсийн үндсэн шинж чанаруудын нэг нь тойрог юм. Тойргийн тойргийн диаметрийг түүний диаметртэй харьцуулсан тогтмол байдлыг тусгасан радиус, диаметр, тогтмол "π" зэрэг утгуудыг ашиглан томьёог гаргасан.
Тиймээс L=πD, эсвэл L=2πR, энд L нь тойрог, D нь диаметр, R нь радиус.
Тойргийн тойргийн томьёог тухайн тойргийн радиус буюу диаметрийг олох анхны томьёо гэж үзэж болно: D=L/π, R=L/2π.
Тойрог гэж юу вэ: үндсэн постулатууд
1. Шулуун шугам ба тойргийг хавтгай дээр дараах байдлаар байрлуулж болно:
- нийтлэг тал байхгүй;
- нэг нийтлэг цэгтэй, харин шулууныг шүргэгч гэж нэрлэдэг: хэрэв та төв болон цэгийг дундуур нь радиус зурвалхүрвэл шүргэгчтэй перпендикуляр байх болно;
- хоёр нийтлэг цэгтэй, харин шугамыг секант гэж нэрлэдэг.
2. Нэг хавтгайд байрлах дурын гурван цэгээр хамгийн ихдээ нэг тойрог зурж болно.
3. Эдгээр тойргийн төвүүдийг холбосон сегмент дээр байрлах нэг цэг дээр хоёр тойрог хүрэх боломжтой.
4. Төвийн эргэн тойронд ямар нэгэн эргэлт хийснээр тойрог өөрөө болж хувирна.
5. Тэгш хэмийн хувьд тойрог гэж юу вэ?
- аль ч цэг дээр ижил шугамын муруйлт;
- О цэгийн төвийн тэгш хэм;
- диаметрийн талаархи толины тэгш хэм.
6. Хэрэв та ижил дугуй нуман дээр тулгуурлан дурын хоёр бичээстэй өнцгийг бүтээх юм бол тэдгээр нь тэнцүү байх болно. Тойргийн тойргийн хагастай тэнцэх нуман дээр тулгуурласан өнцөг, өөрөөр хэлбэл хөвчний диаметрээр таслагдах нь үргэлж 90 ° байна.
7. Хэрэв бид ижил урттай битүү муруй шугамуудыг харьцуулж үзвэл тойрог нь хамгийн том талбайн хавтгайн хэсгийг зааглаж байна.
Гурвалжин дотор дүрслэгдсэн тойрог
Энэ геометрийн дүрс болон гурвалжны хоорондын хамаарлыг тайлбарлаагүй бол тойрог гэж юу болох тухай ойлголт бүрэн бус байх болно.
- Гурвалжинд бичээстэй тойргийг барихад түүний төв нь гурвалжны өнцгүүдийн биссектрисс огтлолцох цэгтэй үргэлж давхцдаг.
- Хязгаарлагдсан гурвалжны төв нь уулзвар дээр байрланагурвалжны тал бүрийн дунд перпендикуляр.
- Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжны тойргийг дүрслэх юм бол түүний төв нь гипотенузын дунд байх болно, өөрөөр хэлбэл сүүлийнх нь диаметр болно.
- Барилгын суурь нь тэгш талт гурвалжин байвал бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд ижил цэг дээр байна.
Тойрог ба дөрвөлжингийн талаархи үндсэн мэдэгдлүүд
- Гүдгэр дөрвөлжингийн эсрэг талын дотоод өнцгүүдийн нийлбэр нь 180° байвал тойргийг тойруулж болно.
- Эсрэг талуудын уртын нийлбэр ижил байвал гүдгэр дөрвөлжин дотор бичээстэй тойрог байгуулах боломжтой.
- Параллелограммыг тойруулан тойргийн өнцөг нь зөв байвал дүрслэх боломжтой.
- Хэрэв бүх талууд нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл ромб байвал та параллелограмм руу тойрог бичиж болно.
- Трапецын өнцгөөр зөвхөн ижил өнцөгт тойрог хийх боломжтой. Энэ тохиолдолд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь дөрвөн өнцөгтийн тэгш хэмийн тэнхлэг ба хажуу тийш татсан перпендикуляр медиануудын огтлолцол дээр байрлана.
