“Арифметик прогресс” сэдвийг ЕБС-ийн 9-р ангид алгебрийн ерөнхий хичээлээр судалдаг. Энэ сэдэв нь тооны цувааны математикийг цаашид гүнзгийрүүлэн судлахад чухал ач холбогдолтой юм. Энэ нийтлэлд бид арифметик прогресс, түүний ялгаа, мөн сургуулийн хүүхдүүдэд тулгарч болох ердийн ажлуудтай танилцах болно.
Алгебрийн прогрессийн тухай ойлголт
Тоон прогресс гэдэг нь математикийн зарим хуулийг хэрэглэсэн тохиолдолд дараагийн элемент бүрийг өмнөх элементээс авах боломжтой тоонуудын дараалал юм. Прогрессийн хоёр энгийн төрөл байдаг: геометрийн болон арифметик, үүнийг бас алгебрийн гэж нэрлэдэг. Энэ талаар илүү дэлгэрэнгүй ярилцъя.
Ямар нэг рационал тоог төсөөлье, үүнийг a1 тэмдгээр тэмдэглээрэй, энд индекс нь авч үзэж буй цувралын дарааллын дугаарыг заана. 1 дээр өөр тоо нэмээд d гэж тэмдэглэе. Дараа нь хоёр дахь ньцувралын элементийг дараах байдлаар тусгаж болно: a2=a1+d. Одоо d-г дахин нэмбэл: a3=a2+d. Энэхүү математик үйлдлийг үргэлжлүүлснээр та арифметик прогресс гэж нэрлэгдэх бүхэл тооны цувралыг авах боломжтой.
Дээрээс ойлгосноор энэ дарааллын n-р элементийг олохын тулд дараах томъёог ашиглах ёстой: a =a1+ (n -1)d. Үнэн хэрэгтээ илэрхийлэлд n=1-ийг орлуулснаар бид 1=a1 болно, хэрэв n=2 бол томьёо нь: a2=a1 + 1d гэх мэт.
Жишээ нь, хэрэв арифметик прогрессийн зөрүү 5, a1=1 байвал тухайн төрлийн тооны цуваа дараах байдалтай байна гэсэн үг: 1, 6, 11, 16, 21, … Таны харж байгаагаар түүний нөхцөл бүр өмнөхөөсөө 5-аар их байна.
Арифметик прогрессийн зөрүүний томьёо
Үзэж буй тооны цувралын дээрх тодорхойлолтоос үзэхэд үүнийг тодорхойлохын тулд та хоёр тоог мэдэх хэрэгтэй: a1 ба d. Сүүлийнх нь энэ дэвшлийн ялгаа гэж нэрлэгддэг. Энэ нь бүхэл бүтэн цувралын зан төлөвийг онцгойлон тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ d нь эерэг байвал тооны цуваа байнга өсөх ба эсрэгээр сөрөг d тохиолдолд цувааны тоонууд зөвхөн модулиар нэмэгдэх ба n тоо нэмэгдэх тусам тэдний үнэмлэхүй утга буурах болно.
Арифметик прогрессийн ялгаа нь юу вэ? Энэ утгыг тооцоолоход ашигладаг хоёр үндсэн томъёог авч үзье:
- d=an+1-a , энэ томьёо нь тухайн тоон цувралын тодорхойлолтоос шууд хамаарна.
- d=(-a1+a)/(n-1), энэ илэрхийллийг өгөгдсөн томъёоноос d-г илэрхийлэх замаар олж авна. нийтлэлийн өмнөх догол мөрөнд. Хэрэв n=1 бол энэ илэрхийлэл тодорхойгүй (0/0) болно гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь цувралын ялгааг тодорхойлохын тулд дор хаяж 2 элементийг мэдэх шаардлагатай байдагтай холбоотой юм.
Эдгээр хоёр үндсэн томъёог прогрессийн зөрүүг олох аливаа асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Гэсэн хэдий ч танд бас мэдэх хэрэгтэй өөр нэг томъёо бий.
Эхний элементүүдийн нийлбэр
Алгебрийн прогрессийн хэдэн гишүүний нийлбэрийг тодорхойлоход ашиглаж болох томьёог түүхэн баримтаар анх 18-р зууны математикийн "ханхүү" Карл Гаусс олж авчээ. Германы нэгэн эрдэмтэн тосгоны сургуулийн бага ангид сурч байхдаа 1-ээс 100 хүртэлх тооны натурал тоог нэмэхийн тулд эхлээд эхний болон сүүлчийн элементийг нийлбэрлэх ёстойг анзаарсан (үр дүн нь тэнцүү байх болно). эцсийн ба хоёр дахь, эцсийн өмнөх болон гурав дахь элементүүдийн нийлбэр гэх мэт), дараа нь энэ тоог эдгээр дүнгийн тоогоор, өөрөөр хэлбэл 50-аар үржүүлнэ.
Тодорхой жишээн дээр дурдсан үр дүнг тусгасан томьёог дурын тохиолдол болгон ерөнхийлж болно. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно: S =n/2(a +a1). Заасан утгыг олохын тулд d ялгааг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.хэрэв явцын хоёр нөхцөл мэдэгдэж байгаа бол (a болон a1).
Жишээ №1. a1 ба an
цувралын хоёр гишүүнийг мэдэж, ялгааг тодорхойлно уу.
Өгүүлэлд дээр дурдсан томьёог хэрхэн хэрэглэхийг үзүүлье. Энгийн жишээ хэлье: арифметик прогрессийн зөрүү тодорхойгүй, хэрэв a13=-5, 6, a1 байвал ямар тэнцүү болохыг тодорхойлох шаардлагатай. =-12, 1.
Бид тоон дарааллын хоёр элементийн утгыг мэдэж байгаа бөгөөд тэдгээрийн нэг нь эхний тоо учир d ялгааг тодорхойлохын тулд №2 томьёог ашиглаж болно. Бидэнд: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Илэрхийлэлд энэ серийн дугаартай гишүүн нь n=13 утгыг ашигласан. мэдэгдэж байна.
Бодлогын нөхцөлд өгөгдсөн элементүүд сөрөг утгатай хэдий ч үр дүн нь ахиц дэвшил нэмэгдэж байгааг харуулж байна. Хэдийгээр |a13|<|a13>a1 гэдгийг харж болно. 1 |.
Жишээ №2. №1
жишээ дээрх дэвшлийн эерэг гишүүд
Өмнөх жишээн дээр олж авсан үр дүнг шинэ бодлого шийдвэрлэхийн тулд ашиглая. Үүнийг дараах байдлаар томъёолсон: №1 жишээн дэх прогрессийн элементүүд аль дарааллын дугаараас эерэг утгыг авч эхэлдэг вэ?
Үзсэнчлэн, a1=-12, 1 ба d=0. 54167 нэмэгдэж байгаа тул зарим тооноос зөвхөн эерэг тоо авч эхэлнэ. үнэт зүйлс. Энэ n тоог тодорхойлохын тулд энгийн тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэйматематикийн хувьд дараах байдлаар бичнэ: a >0 эсвэл тохирох томьёог ашиглан бид тэгш бус байдлыг дахин бичнэ: a1 + (n-1)d>0. Үл мэдэгдэх n-ийг олох шаардлагатай, үүнийг илэрхийлье: n>-1a1/d + 1. Одоо ялгаа болон эхний гишүүний мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулах үлдлээ. дарааллын. Бид дараахийг авна: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 эсвэл n>23, 338. n нь зөвхөн бүхэл тоон утгыг авах боломжтой тул үр дүнгийн тэгш бус байдлаас үзэхэд цувралын аль ч гишүүн дараах болно. 23-аас их тоо байвал эерэг байна.
Энэ арифметик прогрессийн 23 ба 24-р элементийг тооцоолохын тулд дээрх томьёог ашиглан хариултаа шалгана уу. Бидэнд: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (сөрөг тоо); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (эерэг утга). Тиймээс олж авсан үр дүн зөв байна: n=24-ээс эхлэн тооны цувралын бүх гишүүд тэгээс их байх болно.
Жишээ №3. Хэдэн лог багтах вэ?
Нэг сониуч бодлого өгье: мод бэлтгэх явцад доорх зурагт үзүүлсэн шиг зүссэн гуалиныг давхарлан овоолохоор шийдсэн. Нийтдээ 10 мөр багтах болно гэдгийг мэдсээр байж хэдэн логийг ингэж овоолж болох вэ?
Иймэрхүү логуудыг давхарласан байдлаар та нэг сонирхолтой зүйлийг анзаарч болно: дараагийн мөр бүрт өмнөхөөсөө нэгээр бага лог байх болно, өөрөөр хэлбэл, ялгаа нь d=1 байх алгебрийн прогресс байна. Мөр тус бүрийн бүртгэлийн тоог энэ прогрессийн гишүүн гэж үзвэл,мөн түүнчлэн a1=1 (зөвхөн нэг гуалин хамгийн дээд хэсэгт багтах болно) гэж үзвэл бид a10 тоог олно. Бидэнд: a10=1 + 1(10-1)=10. Өөрөөр хэлбэл, газар хэвтэж буй 10-р эгнээнд 10 лог байх болно.
Энэ "пирамид" барилгын нийт дүнг Гауссын томъёог ашиглан гаргаж болно. Бид дараахыг авна: S10=10/2(10+1)=55 бүртгэл.
