Планиметри нь хавтгай дүрсүүдийн шинж чанарыг судалдаг геометрийн салбар юм. Эдгээр нь зөвхөн сайн мэддэг гурвалжин, дөрвөлжин, тэгш өнцөгт төдийгүй шулуун шугам, өнцөг юм. Планиметрийн хувьд тойрог дахь өнцөг гэх мэт ойлголтууд байдаг: төв ба бичээстэй. Гэхдээ тэд юу гэсэн үг вэ?
Төвийн өнцөг гэж юу вэ?
Төв өнцөг гэж юу болохыг ойлгохын тулд тойргийг тодорхойлох хэрэгтэй. Тойрог гэдэг нь тухайн цэгээс (тойргийн төв) ижил зайд байгаа бүх цэгүүдийн цуглуулга юм.
Тойрогоос ялгах нь маш чухал. Тойрог бол битүү шугам бөгөөд тойрог нь түүгээр хязгаарлагдсан хавтгайн хэсэг гэдгийг санах нь зүйтэй. Олон өнцөгт эсвэл өнцгийг тойрог дотор бичиж болно.
Орой нь тойргийн төвтэй давхцаж, талууд нь тойрогтой хоёр цэгээр огтлолцох өнцгийг төв өнцөг гэнэ. Өнцөг нь огтлолцох цэгүүдээр хязгаарлагдах нумыг өгөгдсөн өнцгийн тулгуурласан нум гэнэ.
Жишээ №1-ийг авч үзье.
Зураг дээр AOB өнцөг төв байна, учир нь өнцгийн орой ба тойргийн төв нь нэг О цэг юм. Энэ нь С цэгийг агуулаагүй AB нуман дээр тулгуурладаг.
Бичээстэй өнцөг нь төвийн өнцөгөөс юугаараа ялгаатай вэ?
Гэхдээ төв хэсгээс гадна бас бичээстэй өнцгүүд байдаг. Тэдний ялгаа юу вэ? Төвийн нэгэн адил тойрогт дүрслэгдсэн өнцөг нь тодорхой нуман дээр тогтдог. Гэхдээ түүний орой нь тойргийн төвтэй давхцахгүй, харин түүн дээр байрладаг.
Дараах жишээг авч үзье.
ACB өнцгийг О цэг дээр төвлөрсөн тойрогт бичээстэй өнцөг гэнэ. С цэг нь тойрогт хамаарах, өөрөөр хэлбэл түүн дээр байрладаг. Өнцөг нь AB нуман дээр тулгуурладаг.
Төвийн өнцөг гэж юу вэ
Геометрийн асуудлыг амжилттай даван туулахын тулд бичээстэй болон төвийн өнцгийг ялгах чадвар хангалтгүй. Дүрмээр бол тэдгээрийг шийдэхийн тулд та тойргийн төв өнцгийг хэрхэн олохыг яг таг мэдэж, түүний утгыг градусаар тооцоолох чадвартай байх хэрэгтэй.
Тиймээс төв өнцөг нь тулгуурласан нумын хэмжүүртэй тэнцүү байна.
Зураг дээр AOB өнцөг нь AB нуман дээр 66°-тай тэнцүү байна. Тэгэхээр AOB өнцөг мөн 66°-тай тэнцүү байна.
Тиймээс тэнцүү нуман дээр суурилсан төв өнцгүүд тэнцүү байна.
Зурагт DC нум нь AB нумантай тэнцүү байна. Тэгэхээр AOB өнцөг нь DOC өнцөгтэй тэнцүү.
Бичээстэй өнцгийг хэрхэн олох вэ
Тойрог дотор бичсэн өнцөг нь төв өнцөгтэй тэнцүү юм шиг санагдаж магадгүй,Энэ нь ижил нуман дээр тулгуурладаг. Гэсэн хэдий ч энэ бол бүдүүлэг алдаа юм. Үнэн хэрэгтээ, зүгээр л зургийг хараад, эдгээр өнцгүүдийг бие биентэйгээ харьцуулж үзвэл тэдгээрийн хэмжүүрүүд өөр өөр утгатай болохыг харж болно. Тэгэхээр тойрогт ямар өнцөг бичигдсэн бэ?
Битсэн өнцгийн градусын хэмжигдэхүүн нь тулгуурласан нумын нэг тал буюу ижил нуман дээр тулгуурласан бол төв өнцгийн хагастай тэнцүү байна.
Жишээ авч үзье. ACB өнцгийг 66°-тай тэнцэх нуманд үндэслэсэн.
Тэгэхээр DIA өнцөг=66°: 2=33°
Энэ теоремын зарим үр дагаврыг авч үзье.
- Хэрэв тэдгээр нь ижил нуман, хөвч эсвэл тэнцүү нуман дээр үндэслэсэн бол бичээстэй өнцөг нь тэнцүү байна.
- Хэрэв бичээстэй өнцгүүд нь ижил хөвч дээр суурилж байгаа боловч тэдгээрийн орой нь түүний эсрэг талд байрладаг бол эдгээр өнцгийн хэмжүүрүүдийн нийлбэр нь 180° байна, учир нь энэ тохиолдолд хоёр өнцөг нь нуман дээр суурилдаг. нийт градусын хэмжүүр нь 360° (бүх тойрог), 360°: 2=180°
- Хэрэв бичээстэй өнцгийг өгөгдсөн тойргийн голч дээр үндэслэсэн бол диаметр нь 180°, 180°-тай тэнцүү нум үүсгэдэг тул түүний градусын хэмжигдэхүүн нь 90° байна: 2=90°
- Хэрэв тойрог дахь төв болон бичээстэй өнцгүүд нь ижил нум эсвэл хөвч дээр үндэслэсэн бол бичээстэй өнцөг нь төвийнхтэй тэнцүү байна.
Энэ сэдэвтэй холбоотой асуудлуудыг хаанаас олж болох вэ? Тэдний төрөл ба шийдэл
Тойрог болон түүний шинж чанарууд нь геометрийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг тул планиметрийн тухайлбал тойрог доторх бичээс болон төв өнцгүүд нь өргөн, дэлгэрэнгүй сэдэв юм.сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдсан. Тэдний өмчлөлд зориулагдсан даалгавруудыг улсын үндсэн шалгалт (OGE) ба улсын нэгдсэн шалгалтаас (USE) олж болно. Дүрмээр бол эдгээр асуудлыг шийдэхийн тулд та тойрог дээрх өнцгийг градусаар олох хэрэгтэй.
Ижил нуман дээр суурилсан өнцөг
Энэ төрлийн бодлого нь магадгүй хамгийн хялбар асуудлуудын нэг юм, учир нь үүнийг шийдэхийн тулд та зөвхөн хоёр энгийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй: хэрэв хоёр өнцөг нь нэг хөвч дээр бичигдсэн бол тэдгээр нь тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь байвал тэдгээр нь тэнцүү байна. төв, дараа нь харгалзах бичээстэй өнцөг нь түүний хагастай тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ маш болгоомжтой байх хэрэгтэй: заримдаа энэ өмчийг анзаарахад хэцүү байдаг тул оюутнууд ийм энгийн асуудлыг шийдэхдээ мухардалд ордог. Жишээ авч үзье.
Асуудал 1
О цэг дээр төвтэй тойрог өгөгдсөн. AOB өнцөг нь 54° байна. DIA өнцгийн хэмжүүрийг ол.
Энэ ажлыг нэг алхамаар шийддэг. Үүний хариултыг хурдан олохын тулд танд хэрэгтэй цорын ганц зүйл бол хоёр өнцөгт байрлах нум нь нийтлэг зүйл гэдгийг анзаарах явдал юм. Үүнийг хараад та аль хэдийн танил болсон өмчийг ашиглаж болно. ACB өнцөг нь AOB өнцгийн хагас юм. Тэгэхээр
1) AOB=54°: 2=27°.
Хариулт: 54°.
Ижил тойргийн өөр өөр нуман дээр суурилсан өнцөг
Заримдаа шаардлагатай өнцгийн тулгуурласан нумын хэмжээг асуудлын нөхцөлд шууд заадаггүй. Үүнийг тооцоолохын тулд та эдгээр өнцгийн хэмжээг шинжилж, тойргийн мэдэгдэж буй шинж чанаруудтай харьцуулах хэрэгтэй.
Асуудал 2
О цэгт төвлөрсөн тойрог дотор, AOC өнцөг120°, AOB өнцөг нь 30° байна. ТА булангаа олоорой.
Эхлэхийн тулд ижил өнцөгт гурвалжны шинж чанарыг ашиглан энэ асуудлыг шийдэх боломжтой гэдгийг хэлэх нь зүйтэй боловч энэ нь илүү их математикийн үйлдлүүдийг шаарддаг. Тиймээс бид энд тойрог доторх төв болон бичээстэй өнцгийн шинж чанарыг ашиглан шийдлийг шинжлэх болно.
Тиймээс AOC өнцөг нь AC нуман дээр тулгуурлаж төв байрлаж байгаа нь АС нум нь AOC өнцөгтэй тэнцүү гэсэн үг.
AC=120°
Үүнтэй адилаар AOB өнцөг нь AB нуман дээр тогтоно.
AB=30°.
Үүнийг болон бүх тойргийн хэмжүүрийг (360°) мэдэж байгаа тул та BC нумын хэмжээг хялбархан олох боломжтой.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
CAB өнцгийн орой А цэг нь тойрог дээр байрладаг. Тиймээс CAB өнцөг нь сийлсэн бөгөөд CB нумын талтай тэнцүү байна.
CAB өнцөг=210°: 2=110°
Хариулт: 110°
Нумын харьцаанд суурилсан асуудал
Зарим бодлогод өнцгийн өгөгдөл огт агуулаагүй тул зөвхөн мэдэгдэж буй теоремууд болон тойргийн шинж чанарууд дээр үндэслэн хайх шаардлагатай.
Асуудал 1
Өгөгдсөн тойргийн радиустай тэнцэх хөвчөөр бэхлэгдсэн тойрог дотор сийлсэн өнцгийг ол.
Хэрэв та сегментийн төгсгөлийг тойргийн төвтэй холбосон шугамуудыг оюун ухаанаараа зурвал гурвалжин болно. Үүнийг судалж үзээд эдгээр шугамууд нь тойргийн радиус болохыг харж болно, энэ нь гурвалжны бүх талууд тэнцүү гэсэн үг юм. Тэгш талт гурвалжны бүх өнцөг гэдгийг бид мэднэ60°-тай тэнцүү байна. Тиймээс гурвалжны оройг агуулсан AB нум нь 60°-тай тэнцүү байна. Эндээс бид хүссэн өнцгийн суурь болох AB нумыг олно.
AB=360° - 60°=300°
Өнцөг ABC=300°: 2=150°
Хариулт: 150°
Асуудал 2
О цэг дээр төвлөрсөн тойрог дотор нумууд 3:7 харьцаатай байна. Жижиг бичээстэй өнцгийг ол.
Шийдлийн хувьд бид нэг хэсгийг X гэж тэмдэглэвэл нэг нум нь 3X, хоёр дахь нь 7X-тэй тэнцүү байна. Тойргийн хэмжүүр нь 360° гэдгийг мэдвэл бид тэгшитгэл бичиж болно.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Нөхцөлийн дагуу та жижиг өнцөг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв өнцгийн утга нь түүний тулгуурласан нумантай шууд пропорциональ байвал шаардлагатай (жижиг) өнцөг нь 3X-тэй тэнцүү нумантай тохирно.
Тиймээс жижиг өнцөг нь (36°3): 2=108°: 2=54°
Хариулт: 54°
Асуудал 3
О цэг дээр төвлөрсөн тойрогт AOB өнцөг 60°, жижиг нумын урт 50 байна. Том нумын уртыг тооцоол.
Том нумын уртыг тооцоолохын тулд жижиг нум нь том нумтай хэрхэн хамааралтай болохыг пропорциональ болгох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр нумын хэмжээг градусаар тооцоолно. Жижиг нум нь түүн дээр тулгуурласан өнцөгтэй тэнцүү байна. Түүний хэмжүүр нь 60 ° байна. Том нум нь тойргийн градусын хэмжүүр (бусад өгөгдлөөс үл хамааран 360°-тай тэнцүү) ба жижиг нумын зөрүүтэй тэнцүү байна.
Том нум нь 360° - 60°=300°.
300°: 60°=5 тул том нум нь жижиг нумаас 5 дахин их байна.
Том нум=505=250
Хариулт: 250
Тиймээс бусад нь мэдээж бийижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэх арга барил, гэхдээ тэдгээр нь бүгд ямар нэгэн байдлаар төв ба бичээстэй өнцөг, гурвалжин, тойргийн шинж чанарууд дээр суурилдаг. Тэдгээрийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та зургийг сайтар судалж, асуудлын өгөгдөлтэй харьцуулах, мөн онолын мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлэх чадвартай байх шаардлагатай.
