Онгоц хоорондын өнцөг. Онгоц хоорондын өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Сансар огторгуйд геометрийн асуудлыг шийдэхдээ орон зайн өөр өөр объектуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай асуудлууд ихэвчлэн гардаг. Энэ нийтлэлд бид хавтгай ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг ба шулуун шугамыг олох асуудлыг авч үзэх болно.

Сансар дахь шугам

Хавтгай дээрх туйлын дурын шулуун шугамыг дараах тэгшитгэлээр тодорхойлж болно:

y=ax + b

Энд a ба b тоонууд байна. Хэрэв бид ижил илэрхийлэлтэй орон зайд шулуун шугамыг төлөөлвөл z тэнхлэгтэй параллель хавтгай болно. Орон зайн шугамын математик тодорхойлолтын хувьд хоёр хэмжээст тохиолдлоос өөр шийдлийн аргыг ашигладаг. Энэ нь "чиглэл вектор" гэсэн ойлголтыг ашиглахаас бүрдэнэ.

Шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор нь орон зай дахь түүний чиглэлийг харуулдаг. Энэ параметр нь шугамд хамаарна. Сансар огторгуйд параллель векторуудын хязгааргүй олонлог байдаг тул авч үзсэн геометрийн объектыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд түүнд хамаарах цэгийн координатыг мэдэх шаардлагатай.

Байна гэж бодъёцэг P(x₀; y₀; z_{0) ба чиглэлийн вектор v¯(a; b; c), тэгвэл шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар өгч болно:}

(x; y; z)=P + αv¯ эсвэл

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Энэ илэрхийллийг шулуун шугамын параметрт вектор тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. α коэффициент нь ямар ч бодит утгыг авах боломжтой параметр юм. Шугамын координатыг энэ тэгшитгэлийг өргөтгөх замаар тодорхой илэрхийлж болно:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Хавтгайн тэгшитгэл

Орон зайд хавтгайд тэгшитгэл бичих хэд хэдэн хэлбэр байдаг. Энд бид тэдгээрийн аль нэгийг авч үзэх болно. Энэ нь хоёр хавтгайн хоорондох эсвэл тэдгээрийн аль нэг ба шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолоход ихэвчлэн ашиглагддаг.

Хэрэв хүссэн хавтгайд перпендикуляр байрлах n¯(A; B; C) вектор ба P(x₀; y _{нь мэдэгдэж байгаа бол Үүнд хамаарах 0}; z_{0), сүүлийнх нь ерөнхий тэгшитгэл нь:}

Ax + By + Cz + D=0 энд D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Бид энэ илэрхийллийн гарал үүслийг орхигдуулсан бөгөөд энэ нь маш энгийн. Хавтгайн тэгшитгэл дэх хувьсагчдын коэффициентийг мэдсэнээр түүнд перпендикуляр байгаа бүх векторыг хялбархан олох боломжтой гэдгийг энд бид тэмдэглэж байна. Сүүлийнх нь норм гэж нэрлэгддэг ба налуу ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тооцоолоход хэрэглэгддэг.дурын аналогууд.

Онгоцуудын байршил ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн томьёо

Хоёр онгоц байна гэж бодъё. Тэдний орон зай дахь харьцангуй байрлалын сонголтууд юу вэ? Онгоц нь хоёр хязгааргүй хэмжээстэй, нэг тэгтэй тул харилцан чиглүүлэх хоёр л сонголт боломжтой:

тэд хоорондоо параллель байх болно;
тэдгээр нь давхцаж болзошгүй.

Хавтгай хоорондын өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох индекс, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хэвийн n₁¯ болон n_{2¯ хоорондын индекс юм.}

Мэдээж хэрэв тэдгээр нь хавтгайтай параллель байвал тэдгээрийн хоорондох огтлолцлын өнцөг тэг болно. Хэрэв тэд огтлолцсон бол энэ нь тэг биш, гэхдээ үргэлж хурц байна. Онгоцууд хоорондоо перпендикуляр байх үед огтлолцлын онцгой тохиолдол нь 90o өнцөг байх болно.

n₁¯ ба n_{2¯ хоорондох α өнцгийг эдгээр векторуудын скаляр үржвэрээс амархан тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл, томъёо явагдана:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Эдгээр векторуудын координатууд нь: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Дараа нь координатаар дамжуулан векторуудын скаляр үржвэр болон модулиудыг тооцоолох томъёог ашиглан дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Мохоо өнцгийн утгыг оруулахгүйн тулд тоологч дахь модуль гарч ирэв.

Онгоцуудын огтлолцлын өнцгийг тодорхойлох бодлого бодох жишээ

Онгоц хоорондын өнцгийг хэрхэн олохыг мэдсэнээр бид дараах бодлогыг шийднэ. Хоёр хавтгай өгөгдсөн бөгөөд тэгшитгэл нь:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Онгоц хоорондын өнцөг хэд вэ?

Бодлогын асуултад хариулахын тулд хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл дэх хувьсагчдын коэффициентүүд нь чиглүүлэгч векторын координат гэдгийг санацгаая. Заасан онгоцуудын хувьд бид тэдгээрийн хэвийн координатуудтай байна:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Одоо бид эдгээр векторууд болон тэдгээрийн модулиудын скаляр үржвэрийг олоход:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Одоо та олсон тоонуудыг өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томъёонд орлуулж болно. Бид дараахыг авна:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Үйлдвэрлэлийн утга нь нөхцөлд заасан хавтгайн огтлолцлын хурц өнцөгт тохирч байна.даалгавар.

Одоо өөр жишээ авч үзье. Хоёр онгоц өгөгдсөн:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Тэд огтлолцдог уу? Тэдний чиглэлийн векторуудын координатын утгыг бичиж, тэдгээрийн скаляр үржвэр, модулиудыг тооцоолъё:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Тэгвэл огтлолцлын өнцөг:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Энэ өнцөг нь онгоцууд огтлолцохгүй, харин параллель байгааг харуулж байна. Тэд хоорондоо таарахгүй байгаа нь шалгахад хялбар байдаг. Үүний тулд тэдгээрийн эхнийх нь дурын цэгийг авч үзье, жишээлбэл, P(0; 3; 2). Хоёр дахь тэгшитгэлийн координатыг орлуулбал:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Өөрөөр хэлбэл P цэг нь зөвхөн эхний хавтгайд хамаарна.

Тиймээс хоёр хавтгай хэвийн байх үед зэрэгцээ байна.

Хавтгай ба шулуун шугам

Хавтгай ба шулуун шугамын харьцангуй байрлалыг авч үзэх тохиолдолд хоёр хавтгайтай харьцуулахад хэд хэдэн сонголт байна. Энэ баримт нь шулуун шугам нь нэг хэмжээст объект байдагтай холбоотой юм. Шугаман ба хавтгай нь: байж болно.

харилцан зэрэгцээ, энэ тохиолдолд онгоц шулуунтай огтлолцохгүй;
сүүлийнх нь онгоцонд хамааралтай байж болох ч энэ нь мөн түүнтэй зэрэгцээ байх болно;
объект хоёулаа боломжтойзарим өнцгөөр огтлолцоно.

Сүүлчийн тохиолдлыг эхлээд авч үзье, учир нь энэ нь огтлолцлын өнцөг гэсэн ойлголтыг оруулахыг шаарддаг.

Шугам ба хавтгай, тэдгээрийн хоорондох өнцөг

Хэрэв шулуун шугам хавтгайг огтолж байвал түүнд хамаарах налуу гэж нэрлэдэг. Уулзвар болох цэгийг налуугийн суурь гэж нэрлэдэг. Эдгээр геометрийн объектуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлохын тулд аль ч цэгээс хавтгайд перпендикуляр шулууныг буулгах шаардлагатай. Дараа нь перпендикулярын хавтгайтай огтлолцох цэг ба налуу шугамын огтлолцох газар нь шулуун шугам үүсгэдэг. Сүүлийнхийг авч үзэж буй хавтгай дээрх анхны шугамын проекц гэж нэрлэдэг. Шугаман ба түүний проекцын хоорондох хурц өнцөг нь шаардлагатай өнцөг юм.

Хавтгай ба ташуу хоёрын хоорондох өнцгийг бага зэрэг төөрөгдүүлсэн тодорхойлолт нь доорх зургийг тодруулах болно.

Энд ABO өнцөг нь AB шулуун ба a хавтгайн хоорондох өнцөг юм.

Үүний томъёог бичихийн тулд жишээг авч үзье.тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн шулуун ба хавтгай байг.

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Хэрэв та шулуун ба хавтгайн чиглэлийн векторуудын хоорондох скаляр үржвэрийг олбол эдгээр объектын хүссэн өнцгийг тооцоолоход хялбар байдаг. Үүссэн хурц өнцгийг 90o-аас хасаад шулуун ба хавтгай хоёрын хооронд гарна.

Дээрх зураг нь олох алгоритмыг харуулж байнаөнцөг гэж үздэг. Энд β нь хэвийн ба шугамын хоорондох өнцөг, α нь шулуун ба түүний хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Тэдний нийлбэр 90o байгааг харж болно.

Дээр дээр хавтгай хоорондын өнцгийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулах томьёог танилцуулсан. Одоо бид шулуун ба хавтгайд харгалзах илэрхийллийг өгье:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Томъёоны модуль нь зөвхөн хурц өнцгийг тооцоолох боломжийг олгодог. Арксинусын функц нь тригонометрийн функцуудын хооронд харгалзах багасгах томьёог ашигласан тул арксинусын оронд гарч ирсэн (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Асуудал: Онгоц шулуун шугамыг огтолж байна

Одоо дээрх томьёотой хэрхэн ажиллахыг үзүүлье. Асуудлыг шийдье: тэгшитгэлээр өгөгдсөн y тэнхлэг ба хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох шаардлагатай:

y - z + 12=0

Энэ онгоцыг зураг дээр харуулав.

Энэ нь y ба z тэнхлэгүүдийг (0; -12; 0) ба (0; 0; 12) цэгүүдээр тус тус огтолж, x тэнхлэгтэй параллель байгааг харж болно.

y шулууны чиглэлийн вектор координаттай (0; 1; 0). Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр векторыг координатаар (0; 1; -1) тодорхойлно. Шулуун ба хавтгайн огтлолцох өнцгийн томъёог ашиглан бид дараахийг авна:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Асуудал: хавтгайтай параллель шулуун шугам

Одоо шийдьеөмнөх асуудалтай төстэй, асуулт нь өөрөөр тавигддаг. Хавтгай ба шулуун шугамын тэгшитгэлүүд мэдэгдэж байна:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Эдгээр геометрийн биетүүд хоорондоо параллель байгаа эсэхийг мэдэх шаардлагатай.

Бидэнд хоёр вектор байна: шулуун шугамын чиглэл (0; 2; 2) ба хавтгайн чиглэл (1; 1; -1). Тэдний цэгэн бүтээгдэхүүнийг олоорой:

01 + 12 - 12=0

Үйлдвэрлэсэн тэг нь эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг 90o байгааг харуулж байгаа нь шулуун ба хавтгай параллель байгааг харуулж байна.

Одоо энэ шулуун зөвхөн параллель байна уу эсвэл хавтгайд байгаа эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд шугаман дээрх дурын цэгийг сонгож, энэ нь хавтгайд хамаарах эсэхийг шалгана уу. Жишээлбэл, λ=0 гэж үзье, тэгвэл P(1; 0; 0) цэг нь шулуунд хамаарна. P хавтгайн тэгшитгэлд орлуулна уу:

1 - 3=-2 ≠ 0

Р цэг нь хавтгайд хамааралгүй бөгөөд энэ нь бүхэл шулуун дотор нь ороогүй гэсэн үг.

Геометрийн объектуудын хоорондох өнцгийг мэдэх нь хаана чухал вэ?

Дээрх томьёо болон бодлого шийдвэрлэх жишээнүүд нь зөвхөн онолын сонирхол биш юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн призм эсвэл пирамид гэх мэт бодит гурван хэмжээст дүрсүүдийн физикийн чухал хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход ашигладаг. Зургийн эзэлхүүн ба тэдгээрийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохдоо хавтгай хоорондын өнцгийг тодорхойлох чадвартай байх нь чухал юм. Түүнээс гадна, хэрэв шулуун призмийн хувьд эдгээр томьёог ашиглахгүй байх боломжтой бол тодорхойлохзаасан утгууд байвал ямар ч төрлийн пирамидын хувьд тэдгээрийг ашиглах нь зайлшгүй юм.

Дээрх онолыг ашиглан квадрат суурьтай пирамидын өнцгийг тодорхойлох жишээг авч үзье.

Пирамид ба түүний булангууд

Доорх зураг нь пирамидыг харуулж байгаа бөгөөд түүний ёроолд а талтай дөрвөлжин байрладаг. Зургийн өндөр нь h. Хоёр булан олох хэрэгтэй:

хажуугийн гадаргуу ба суурийн хооронд;
хажуугийн хавирга ба суурийн хооронд.

Асуудлыг шийдэхийн тулд эхлээд координатын системд орж, харгалзах оройнуудын параметрүүдийг тодорхойлох шаардлагатай. Зурагт координатын гарал үүсэл нь дөрвөлжин суурийн төв дэх цэгтэй давхцаж байгааг харуулж байна. Энэ тохиолдолд суурь хавтгайг тэгшитгэлээр тодорхойлно:

z=0

Өөрөөр хэлбэл аливаа x ба y-ийн хувьд гурав дахь координатын утга үргэлж тэг байна. Хажуугийн ABC хавтгай нь z тэнхлэгийг B(0; 0; h), y тэнхлэгийг координаттай (0; a/2; 0) цэг дээр огтолж байна. Энэ нь x тэнхлэгийг огтолдоггүй. Энэ нь ABC хавтгайн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно гэсэн үг юм:

y / (a / 2) + z / h=1 эсвэл

2hy + az - ah=0

Вектор AB¯ нь хажуугийн ирмэг юм. Түүний эхлэл ба төгсгөлийн координатууд нь: A(a/2; a/2; 0) ба B(0; 0; h). Дараа нь векторын координатууд:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Бид шаардлагатай бүх тэгшитгэл, векторуудыг олсон. Одоо авч үзсэн томьёог ашиглах л үлдлээ.

Эхлээд пирамид дээр суурийн хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолно.ба хажуу. Харгалзах хэвийн векторууд нь: n₁¯(0; 0; 1) ба n_{2¯(0; 2h; a). Дараа нь өнцөг нь: байх болно.}