Вектор бол геометрийн чухал объект бөгөөд түүний шинж чанаруудын тусламжтайгаар хавтгай болон сансар огторгуйд олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Энэ нийтлэлд бид үүнийг тодорхойлж, үндсэн шинж чанаруудыг нь авч үзэхээс гадна орон зай дахь векторыг хавтгайг тодорхойлоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно.
Вектор гэж юу вэ: хоёр хэмжээст тохиолдол
Юуны өмнө ямар объектын тухай ярьж байгааг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Геометрийн хувьд чиглэсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг. Аливаа сегментийн нэгэн адил энэ нь эхлэл ба төгсгөл гэсэн хоёр үндсэн элементээр тодорхойлогддог. Эдгээр цэгүүдийн координатууд нь векторын бүх шинж чанарыг онцгойлон тодорхойлдог.
Хавтгай дээрх векторын жишээг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр харилцан перпендикуляр х ба у тэнхлэгийг зурна. Дурын P(x, y) цэгийг тэмдэглэе. Хэрэв бид энэ цэгийг эх (О цэг) -тэй холбож, дараа нь P руу чиглэлийг зааж өгвөл бид OP¯ векторыг авна (өгүүллийн сүүлд тэмдэгт дээрх зураас нь векторыг авч үзэж байгааг харуулж байна). Хавтгай дээрх вектор зургийг доор үзүүлэв.
Энд бас өөр AB¯ векторыг харуулсан ба түүний шинж чанар нь OP¯-тэй яг адилхан боловч координатын системийн өөр хэсэгт байгааг харж болно. Зэрэгцээ орчуулгатай OP¯, та ижил шинж чанартай хязгааргүй олон вектор авах боломжтой.
Сансар дахь вектор
Биднийг хүрээлж буй бүх бодит биетүүд гурван хэмжээст орон зайд байдаг. Гурван хэмжээст дүрсүүдийн геометрийн шинж чанарыг судлах нь гурван хэмжээст векторын тухай ойлголттой ажилладаг стереометрийг авч үздэг. Тэдгээр нь хоёр хэмжээстээс ялгаатай нь зөвхөн тэдгээрийн тайлбарт нэмэлт координат шаардагдах бөгөөд үүнийг гурав дахь перпендикуляр x ба у тэнхлэгийн z дагуу хэмждэг.
Доорх зураг нь орон зай дахь векторыг харуулж байна. Тэнхлэг бүрийн дагуух төгсгөлийн координатыг өнгөт сегментээр зааж өгсөн болно. Векторын эхлэл нь бүх гурван координатын тэнхлэгийн огтлолцлын цэг дээр байрладаг, өөрөөр хэлбэл координаттай (0; 0; 0).
Хавтгай дээрх вектор нь орон зайн чиглүүлсэн сегментийн онцгой тохиолдол тул бид нийтлэлд зөвхөн гурван хэмжээст векторыг авч үзэх болно.
Векторын координатууд нь түүний эхлэл ба төгсгөлийн мэдэгдэж буй координатууд дээр суурилсан
Хоёр цэг байна гэж бодъё P(x1; y1; z1) болон Q(x2; y2; z2). PQ¯ векторын координатыг хэрхэн тодорхойлох вэ. Нэгдүгээрт, аль цэг нь векторын эхлэл, аль нь төгсгөл байх талаар тохиролцох шаардлагатай. Математикийн хувьд тухайн объектыг чиглэлийн дагуу бичих нь заншилтай байдаг, өөрөөр хэлбэл P нь эхлэл, Q юм.- төгсөв. Хоёрдугаарт, PQ¯ векторын координатыг төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүгээр тооцоолно, өөрөөр хэлбэл:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Векторын чиглэлийг өөрчилснөөр координат тэмдэг нь дараах байдлаар өөрчлөгдөнө гэдгийг анхаарна уу:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Энэ нь PQ¯=-QP¯ гэсэн үг.
Дахин нэг зүйлийг ойлгох нь чухал. Хавтгайд өгөгдсөнтэй тэнцүү хязгааргүй тооны векторууд байдаг гэж дээр хэлсэн. Энэ баримт нь орон зайн хувьд ч хүчинтэй. Үнэн хэрэгтээ, бид дээрх жишээн дээр PQ¯-ийн координатыг тооцоолохдоо энэ векторын зэрэгцээ орчуулгын үйлдлийг гарал үүсэл нь гарал үүсэлтэй давхцах байдлаар хийсэн. PQ¯ векторыг гарал үүсэлээс M цэг хүртэл чиглэсэн сегмент хэлбэрээр зурж болно((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Вектор шинж чанар
Геометрийн аливаа объектын нэгэн адил вектор нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох өвөрмөц шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийг товч дурдъя.
Вектор модуль нь чиглэсэн сегментийн урт юм. Координатыг мэддэг тул үүнийг тооцоолоход хялбар байдаг. Дээрх жишээн дээрх PQ¯ векторын хувьд модуль нь: байна.
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Вектор модуль асаалттайОнгоцыг зөвхөн гурав дахь координатын оролцоогүйгээр ижил төстэй томъёогоор тооцоолно.
Векторуудын нийлбэр ба зөрүүг гурвалжингийн дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ. Доорх зураг нь эдгээр объектыг хэрхэн нэмэх, хасахыг харуулж байна.
Нийлбэрийн векторыг авахын тулд эхний векторын төгсгөлд секундын эхлэлийг нэмнэ. Хүссэн вектор нь эхний векторын эхэнд эхэлж, хоёр дахь векторын төгсгөлд дуусна.
Хасах векторыг эсрэгээр нь сольж, дараа нь дээр дурдсан нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ гэдгийг харгалзан ялгааг гүйцэтгэнэ.
Нэмэх хасахаас гадна векторыг тоогоор үржүүлж чаддаг байх нь чухал. Хэрэв тоо нь k-тэй тэнцүү бол модуль нь анхныхаас k дахин өөр, чиглэл нь ижил (k>0) эсвэл анхныхаас (k<0) эсрэг талтай векторыг олж авна.
Векторуудыг хооронд нь үржүүлэх үйлдлийг мөн тодорхойлсон. Бид нийтлэлд тусад нь догол мөр гаргах болно.
Скаляр ба вектор үржүүлэх
Хоёр вектор байна гэж бодъё u¯(x1; y1; z1) болон v¯(x2; y2; z2). Векторыг вектороор хоёр өөр аргаар үржүүлж болно:
- Скаляр. Энэ тохиолдолд үр дүн нь тоо байна.
- Вектор. Үр дүн нь шинэ вектор байна.
u¯ ба v¯ векторуудын скаляр үржвэрийг дараах байдлаар тооцно:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Энд α нь өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцөг юм.
У¯ ба v¯ координатуудыг мэдсэнээр тэдгээрийн цэгэн үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолж болохыг харуулж байна:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Векторыг перпендикуляр чиглүүлсэн хоёр сегмент болгон задлахад скаляр үржвэрийг ашиглахад тохиромжтой. Үүнийг мөн векторуудын параллелизм эсвэл ортогональ байдлыг тооцоолох, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тооцоолоход ашигладаг.
u¯ ба v¯-ийн хөндлөн үржвэр нь анхны вектортой перпендикуляр, модультай шинэ векторыг өгнө:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Шинэ векторын доош эсвэл дээш чиглэлийг баруун гарын дүрмээр тодорхойлно (баруун гарын дөрвөн хуруу нь эхний векторын төгсгөлөөс хоёр дахь хэсгийн төгсгөл хүртэл чиглүүлж, эрхий хуруу нь дээшээ наасан байна) шинэ векторын чиглэлийг заана). Доорх зураг нь дурын a¯ ба b¯-ийн хөндлөн үржвэрийн үр дүнг харуулж байна.
Хөндлөн үржвэрийг дүрсүүдийн талбайг тооцоолохоос гадна өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр векторын координатыг тодорхойлоход ашигладаг.
Вектор ба тэдгээрийн шинж чанарыг хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлоход ашиглахад тохиромжтой.
Онгоцны ердийн ба ерөнхий тэгшитгэл
Онгоцыг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг. Үүний нэг нь векторын перпендикуляр болон тухайн хавтгайд хамаарах зарим мэдэгдэж буй цэгийн талаарх мэдлэгээс шууд гарах хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн гарал үүсэлт юм.
Вектор n¯ (A; B; C) ба P цэг байна гэж үзье (x0; y0; z 0). Хавтгайн бүх Q(x; y; z) цэгүүдийг ямар нөхцөл хангах вэ? Энэ нөхцөл нь PQ¯ векторын хэвийн n¯-д перпендикуляр байхаас бүрдэнэ. Хоёр перпендикуляр векторын хувьд цэгийн үржвэр тэг болно (cos(90o)=0), үүнийг бичнэ үү:
(n¯PQ¯)=0 эсвэл
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Хаалтуудыг нээвэл бид дараахыг авна:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 эсвэл
Ax + By + Cz +D=0 энд D=-Ax0-By0-Cz0.
Энэ тэгшитгэлийг хавтгайд ерөнхий гэж нэрлэдэг. Бид x, y, z-ийн өмнөх коэффициентүүд нь n¯ перпендикуляр векторын координатууд болохыг харж байна. Үүнийг онгоцны хөтөч гэдэг.
Хавтгайн вектор параметрийн тэгшитгэл
Хавтгайг тодорхойлох хоёр дахь арга бол дотор нь байгаа хоёр векторыг ашиглах явдал юм.
векторууд байгаа гэж үзье u¯(x1; y1; z1) болон v¯(x2; y2; z2). Өмнө дурьдсанчлан, орон зайд тус бүрийг хязгааргүй олон ижил чиглүүлсэн сегментээр төлөөлж болох тул хавтгайг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд өөр нэг цэг шаардлагатай. Энэ цэгийг P(x0;y0; z0). PQ¯ векторыг u¯ ба v¯-ийн хослолоор дүрсэлж чадвал Q(x; y; z) дурын цэг нь хүссэн хавтгайд байрлана. Энэ нь бидэнд байна:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Энд α ба β нь зарим бодит тоо юм. Энэ тэгшитгэлээс дараах илэрхийлэл гарч ирнэ:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Үүнийг u¯ ба v¯ 2 вектортой харьцуулсан хавтгайн параметрт вектор тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Дурын α ба β параметрүүдийг орлуулснаар энэ хавтгайд хамаарах бүх цэгийг (x; y; z) олох боломжтой.
Энэ тэгшитгэлээс хавтгайн ерөнхий илэрхийллийг гаргахад амархан. Үүнийг хийхийн тулд u¯ ба v¯ векторуудад перпендикуляр байх n¯ чиглэлийн векторыг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн вектор үржвэрийг ашиглах ёстой.
Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг тодорхойлох бодлого
Геометрийн бодлого бодохдоо дээрх томьёог хэрхэн ашиглахыг үзүүлье. Хавтгайн чиглэлийн векторыг n¯(5; -3; 1) гэж үзье. Та P(2; 0; 0) цэг нь түүнд хамаарахыг мэдэж байгаа тул онгоцны тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй.
Ерөнхий тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ:
Ax + By + Cz +D=0.
Хавтгайд перпендикуляр вектор мэдэгдэж байгаа тул тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно:
5x - 3y + z +D=0.
Чөлөөт D нэр томъёог олоход л үлдлээ. Бид үүнийг P координатын мэдлэгээр тооцоолно:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Тиймээс, онгоцны хүссэн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна:
5x - 3y + z -10=0.
Доорх зурагт үүссэн онгоц ямар байгааг харуулж байна.
Цэгүүдийн заасан координатууд нь x,y,z тэнхлэгтэй хавтгайн огтлолцолтой тохирч байна.
Хоёр вектор ба цэгээр хавтгайг тодорхойлох бодлого
Одоо өмнөх хавтгайг өөрөөр тодорхойлсон гэж бодъё. u¯(-2; 0; 10) ба v¯(-2; -10/3; 0) гэсэн хоёр вектор, мөн P(2; 0; 0) цэг мэдэгдэж байна. Хавтгай тэгшитгэлийг вектор параметрийн хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ? Харгалзах томьёог ашиглан бид дараахийг авна:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Энэ хавтгайн тэгшитгэлийн тодорхойлолт, u¯ ба v¯ векторуудыг ямар ч тохиолдолд авч болно гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ нэг болзолтой: тэдгээр нь параллель байх ёсгүй. Өөрөөр хэлбэл, хавтгайг нэг бүрчлэн тодорхойлох боломжгүй, гэхдээ цацраг эсвэл хавтгайн тэгшитгэлийг олох боломжтой.
